线性代数证明题

线性代数证明 1设A,B是n阶矩阵,证明:AB与BA具有相同的特征值。 证明: 只需证明:若λ是AB的特征值，则λ也是BA的特征值。分两种情况: (1)λ?0。由λ是AB的特征值，存在非零向量x使得ABx=λx。所以 BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx，且Bx?0(否则λx=ABx=0，得λ=0，矛盾)。这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量，特别地λ也是BA的特征值。 (2)λ=0。此时存在非零向量x使得ABx=λx=0，所以AB不满秩，知det(AB)=0。从而det(BA)=det(AB)=0，BA不满秩，所以存在非零向量x使得BAx=0=λx。这说明λ=0也是BA的特征值。 证毕。 2设A是实可逆对称矩阵,B是实反对称矩阵且AB=BA证明A+B是可逆矩阵。 (证明要用到实反对称矩阵的特征值只能是0或者纯虚数) 3证明:A,B为n阶矩阵，I-AB可逆，则I-BA可逆 我们可以用反证法来证明:假设I-BA不可逆则必存在非零列向量X，使得(I-BA)X=0 即X=BAX;令Y=AX(Y不等于0，否则由X=BY可知X=0),则X=BY。则(I-AB)Y=Y-ABY=Y-AX=O;即存在非零解Y，使得(I-AB)Y=0 故r(I-AB)