专升本高等数学测试及答案(第三章)

高等数学测试（第三章） 一. 选择题（每小题3分，共30分） 1．下列函数在 上满足罗尔定理条件的是（ 　） A．     　B．       C．       D． 2．曲线 的拐点是（ 　）　A．   B．   C．   D． 3．已知函数 ，则 有（ 　）实根 A．一个      　B．两个        C．三个          D．四个 4．设函数 在 内可导，则在 内 是函数 在 内单调增的（ 　） A．必要非充分条件  　B．充分非必要条件    C．充要条件        D．无关条件 5．如果 ，则（ 　） A． 是函数 的极大值      B． 是函数 的极小值 C． 不是函数 的极值      D．不能判定 是否为函数 的极值 6．下列说法正确的是（ 　） A. 函数的极值点一定是函数的驻点        B. 函数的驻点一定是函数的极值点 C. 二阶导数非零的驻点一定是极值点      D. 以上说法都不对 7．若在 上有 ，则曲线 在区间 内是（ 　） A．单调减少且下凹  　B．单调减少且上凹  　C．单调增加且上凹    　 D．单调增加且下凹 8．曲线 的垂直渐近线共有（ 　）A．一条　B．两条　C．三条　D．四条 9．设 在点 的某个邻域内存在，且 为 的极大值，则 （ 　）A．０　B．１　C．２　D．-２ 10．设 在点 的某个邻域内有定义，若 ，则在 处（ 　） A. 的导数存在且             B. 的导数不存在 C. 取得极小值                        D. 取得极大值 二. 填空题（每小题3分，共15分） 11．函数 在 上满足拉格朗日定理的 =________． 12．函数 的单调减少区间是________． 13．函数 的凹区间为_______________. 14．曲线 上的拐点为_______________. 15．函数 的垂直渐近线方程为_______________. 三. 计算题（25分） 16．（5分）计算 .                      17．（5分）计算 . 18．（5分）计算 .                      19．（10分）已知函数 ，讨论其单调性及极值. 四. 应用题（每题10分，共20分） 20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 21.（10分）某厂生产某产品，其固定成本为100元，每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需求函数为 .问产量为多少时，可使利润最大？最大利润是多少？ 五. 证明题（10分） 22.（10分）当 时，试证： . 答案： 一．选择题1—5　CBCBB　6－10 DDAAD 二. 填空题11． ．12． ．13． .14． .15． ． 三. 计算题 16．（5分）计算 【解析】原式= 17．（5分）计算 【解析】原式= . 18．（5分）计算 【解析】令 所以  原式= ． 19．（10分）已知函数 ，讨论其单调性及极值. 【解析】函数 的定义域为 ，且 在定义域内都有意义. 0 3 符号 + 0 + - 0 + 0               令 得驻点 ， ,它们把定义域分成四个区间，列如下： 所以 函数 单调减区间为 ，单调增区间为 ， . 在 时取得极小值 ，无极大值. 四.应用题（每题10分，共20分） 20.（10分）某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20米长的墙壁，问应围成咋样的长方形才能使这间小屋的面积最大？ 【解析】设长方形小屋的长为 米，宽为 米，面积为 平方米，如图所示 则 ， 即有 ， 令 得唯一驻点 ，且 ,即 是极大值点，即为最大值点，此时 ， 故长方形小屋的长为10米，宽为5米，所围成小屋的面积最大. 21.（10分）某厂生产某产品，其固定成本为100元，每多生产一件产品成本增加6元，又知该产品的需求函数为 .问产量为多少时，可使利润最大？最大利润是多少？ 【解析】设产量为 时，利润函数 ,则目标函数： ,即 ,则 ，令 ，得 ，且此时 .故 是唯一的极值点，且为极大值点，即为最大值点，最大值 .所以，该产品产量为200时，最大利润为300元. 五.证明题（10分） 22.（10分）当 时，试证： . 【证明】构造函数 ，它在区间 内连续且可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在 ，使得 ，即有 ， 而有                    ， 所以                    .