基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析

基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析 基于概率密度演化方法的地下结构可靠度 分析 第3O卷第4期 2009年12月 力学季刊 CHINESEQUARTERLYOFMECHANICS Vo1.3ONo.4 Dec.2009 基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析 何涛,李未1 (1.同济大学建筑工程系,上海200092;2.上海宝钢工程技术有限公司,上海201900) 摘要:本文提出基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析,通过求解极限状态的概率密度演化方程, 可以得到响应量的概率密度函数曲线.相比于传统的随机模拟方法,概率密度演化方法考虑了样本点之间的概 率联系,因此在求解效率以及精度上都得到大大提高.文中结合上海市轨道交通M6线地铁工程进行了基于概 率密度演化方法的可靠度分析,与随机模拟的结果相比表明,基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析方 法具有更好的效果.文中还介绍了基于等价极值事件的结构体系可靠度分析方法,并将等价极值事件的基本思 想推广到复杂失效准则下地下结构的可靠性分析之中.结果表明此方法可以对地下结构可靠度给出较为准确 的评价. 关键词:地下结构;可靠度分析;概率密度演化;等价极值事件;体系可靠度 中图分类号:U451iTU9文献标识码:A文章编号:0254—0053(2009)04—530?07 ReliabilityAnalysisofUndergroundStructuresBased onProbabilityDensityEvolutionMethod HETao,.LIJie (1ThedepartmentofbuildingengineeringofTongjiUniversity,Shanghai200092,China 2.ShanghaiBaosteelEngineering&TechnologyCo.,Ltd.,Shanghai201900,China) Abstract:Thereliabilityanalysisofundergroundstructurebasedonprobabilitydensityevolutionmethod waspresented.Theprobabilitydensityfunctioncurvewasobtainedbysolvingtheprobabilitydensitye— auationoflimitstatefunction.Theprobabilityrelationofdifferentsamplepointwasconsideredinthe probabilitydensityevolutionmethod,SOitsresulthashighaccuracyandefficiencybycontrastwiththe traditiona1stochasticsimulation.Thereliabilityanalysisofundergroundstructurebasedonprobability densityevolutionmethodwasusedonthemetroline6inShanghai.Theresultsofreliabilityassessment werecomparedwiththoseevaluatedbyMonteCarlosimulation.Theinvestigationshowsthatthepro. posedapproachhasbettereffect.Atlast,thestructuralsystemreliabilitybasedonequivalentextreme valueeventwasalsodiscussedandappliedtoreliabilityanalysisofundergroundstructuresundercomplex fa订 urecriteria.Theresultsclearlyprovethatthismethodcangiveaccurateevaluationonthereliabilityof undergroundstructures. Keywords:undergroundstructure;reliabilityanalysis;probabilitydensityevolution;equivalentextreme valueevent;systemreliability 1947年,美国学者Freudenthal发表了"结构安全度",之后,人们开始较为集中的研究土木工程 结构的可靠性问题.由于岩土介质参数的复杂性与不确定性,地下工程是可靠性理论应用的重要领域. 收稿日期:2009—06—03 基金项目:国家自然科学基金委优秀创新研究群体科学基金资助(5O321803);上海市重大科技攻关资助项目(04DZ12010) 作者简介:何涛(1981一),男,安徽无为人,博士.研究方向:结构的安全性监测与可靠性分析.ht?tju@126.corn 第4期何涛,等:基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析 1989年,ShigeyukiKohno对隧道支护结构进行了可靠度分析,提出了隧道支护体系可靠度的概念及分析 方法.1991年,谭忠盛和谢锦昌首先采用Monte—Carlo法分析隧道衬砌荷载效应的统计特征,得出荷载效 应的统计参数.1993年,张弥教授通过模型试验研究了明洞荷载统计特征及其计算模式不定性,并利用 响应面方法分析了铁路明洞结构的荷载效应.是响应面方法在我国隧道可靠度分析中的首次应用.1994 年,张清等用随机有限元法结合一次二阶矩法计算了隧道衬砌结构的可靠度.2002年景诗庭教授编着的 《隧道结构可靠度》一书较为系统的论述了隧道结构的可靠性分析.目前,对于地下工程进行可靠性 分析的方法都是从地上结构沿袭而来,主要方法有直接积分法,随机有限元法,一次二阶矩法和数值模拟 法等.分析可知随机有限元方法通常只能确定结构响应的某些数值特征,如均值,方差等,难以确定结构 响应的概率分布,故不能很好的满足可靠度分析的要求".2002年以来,李杰和陈建兵根据概率守恒原 理,推导给出了随机结构反应的概率密度演化分析方法,可以求解结构反应的联合 概率密度分布.在他们 的后续的研究中,又将这一方法推广到随机结构的可靠度分析中.可以说,概率密度演化方法的出现为基 于概率密度函数的,精细的结构可靠度计算开辟了新的道路.本文即在这一方法基础上进行地下结 构可靠度分析研究.2006年,李杰和陈建兵又提出基于等价极值事件的结构体系可靠度计算方法,从而 为结构可靠度计算建立了一套完整的体系u…. 1基于概率密度演化的地下结构可靠度分析方法 1.1两种极限状态方程 地下衬砌结构有两种极限状态方程 (1)混凝土整体式衬砌抗压承载能力极限状态式为 bh,N?0(1) 上式中,N为截面的轴向力(N);为结构纵向弯曲系数,衬砌取1.0;a为轴向力偏心影响系数,a=1— 1.5e./h;f为混凝土轴心受压强度(MPa);b,h为截面宽度,高度(mm).相应的功能函数为 Z=R—S=fcbh—N (2)混凝土整体式衬砌抗裂极限状态设计式为 6e/h一??0(2)n一1" 上式中,厂.为混凝土轴心受拉强度(MPa);e.为轴向力偏心距(m),e.=M/N.相应的功能函数为 z=R—s=N一c3 上述式中M,』V为随机结构单元的弯矩和轴力. 1.2基于极限状态函数的概率密度演化方程 对于结构抗力与效应可以分别描述为 R=G(,@)(4) S=Gl(.,,@,@,)(5) 其中为结构的确定性参数,@为结构的随机参数,?为岩土体的确定性参数,@为岩 土体的随机参 数. 定义Z=R—S,物理意义表示为结构的安全裕量.Z=0表示结构处于极限状 态,Z>0表示结构处 于可靠状态,Z<0表示结构处于失效状态.结合式(4)与(5),可得 Z=G(,回)(6) 力学季刊第30卷 其中=[.,]为系统中的确定性参数,@=Eo.,@IN系统中的随机参数. ).'0 构造虚拟随机过程H=(Z,r)=(,@,r),其中Z=(,rl一 当@取为某一样本时,随机变量H以概率1等于(,O,r),即 厂H.(h10,r)=[h一声(,0,r)] 式中f..(?)表示H关于O的条件概率密度函数,?]为一维Dirac函数. 得 )? 0rd凡 又根据条件概率密度函数和联合概率密度函数的关系有 l厂H,@(h,,r)=fHI@(hf6,r)?-厂@() 由式(8)与(9)不难得到 旦+(,,).旦:0 0ro 式(10)即为基于极限状态函数的概率密度演化方程.其初始条件为 厂,.(h,0,rl:.)=f.()?(h) fz(2)f()l一. (7) 对上式两端关于r求导,可 (8) (9) (10) (11) (12) 因此,结构的可靠概率可用数学表达式描述如下 r.. P=Pr{z>0}=I1.厂.(0),z()d0d?=lfz(z)dz=Ifz(2)dz(13) 00 1.3基于概率密度演化方法的可靠度分析步骤 采用基于概率密度演化方法求解结构可靠度基本步骤如下 (1)确定随机输入变量及其分布类型,采用数论方法对各随机变量进行选点(选点数为n个). (2)对结构进行n次确定性分析,得出结构内力响应的数值结果,分别求解衬砌结构两种极限状态 方程Z,Z的功能函数值. (3)采用概率密度演化方法求解得出z,z.的概率密度,对其概率密度进行积分即可获得可靠概率 r P=Pr(Z>0)=lf,()d. JZ>0 1.4基于等价极值事件的体系可靠度分析 前面我们讨论的都是结构各单元截面的失效概率,但是仅考虑单一的失效模式是无法反映整个结构 的失效概率的.在存在多种失效模式的情况下,应该考虑进行体系可靠度分析.在经典理论框架内,由于 存在基本事件组合爆炸问题,结构体系可靠度分析一直是一个困难的问题口.文献[101阐明了等价极 值事件的概念,指出在对等价极值事件的概率积分过程中内蕴了不同事件之间的相关性信息.针对一般 的复杂失效准则下的结构可靠度分析问题,可以构造相应的等价极值事件,将结构可靠度分析问题转化为 极值分布的计算与积分问题.与最弱链假设相比较,等价极值事件反映了相关问题的本质. 地下结构的可靠度由抗裂可靠度控制,因此结构体系可靠度可以定义为 R=Pr{ng(@)>0}(14) J—l 其中g(@),g(@),…,g(@)为各单元的极限状态函数,根据文献ElO3,构造等价极值 Ziming(@)(15) 1Jm 从而可以定义结构的体系可靠度为 第4期何涛,等:基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析 m RPr{ngj(@)>0)Pr(Z>0)lPz()dz7—1J0rain 其中Pz … ()为Zmin的概率密度函数. 2工程实例 (16) 2.1工程概况 上海市轨道交通M6线地铁工程浦电路一蓝村路区间隧道采用盾构法施工.区问隧道由两条并行的 单线隧道组成,上行线隧道长748.77m,下行线隧道长747.46m,隧道埋深8,14m.图1为该区间的平面 图.隧道衬砌采用预制钢筋混凝土管片,管片环外径6200mm,内径5500mm,管片厚度350ram.表1为 土层参数表. 标高? 图1上海市轨道交通M6线地铁工程浦电路一蓝村路区间平面图 Fig.1TheplanegraphofMetroline6betweenPudianroadandLancunroad 表1地基土参数表 Tab.1Theparameterofsoil 2.2ANSYS有限元模型的建立 取现场实测的隧道断面建立二维ANSYS有限元模型,按照浅埋隧道的要求,上边界取自地表,为自由 边.另三边为约束边,两侧受水平向约束,底边为竖向约束,约束边至洞中心的距离为洞室平均半径的5 倍以上.岩土体单元采用PLANE42平面应变单元,屈服准则采用D—P准则.二维衬砌结构用梁单元 (BEAM3)模拟.为了协调两个单元的变形,采用了刚性臂单元的方法.网格划分采用四边形单元,在 关注的区域即衬砌结构附近的区域,网格划分细密,在以外区域,为了提高求解效率,取较少网格划分.管 片结构划分为72个单元.由于实际的土层分布比较复杂,因此有必要找到一种等效模型.等效的 为:等效土层的容重取为所有土层的加权平均容重,而土体的内摩擦角与粘聚力取为衬砌结构所在的土层 力学季刊第3O卷 的实际内摩擦角与粘聚力.模型分别如下图2,3所示.通过两种模型的分析结果对比可以得出,等效模 型可以很好的代替原来的实际地层模型.限于篇幅,这里不再列出两种模型的计算结果对比. 2.3随机变量的确定 定义衬砌结构的混凝土弹性模量,密度,岩土体的弹性模量,密度,内摩擦角,粘聚力为输入随机变量, 参考现场实测资料与文献[1],其分布形式如表2所示.定义衬砌结构的单元截面内力M,N为输出随机 变量. 图2实际地层的ANSYS有限元模型 Fig.2TheactualPEmodelofAnsys 图3等效的ANSYS有限元模型 Fig.3TheequivalentFEmodelofAnsys 表2输入随机变量的分布 Tab.2Thedistributionofinputstochasticvariable 2.4随机变量的灵敏度分析 在进行结构随机分析前,首先进行随机变量的灵敏度分析,灵敏度即求导信息,灵敏度分析是一种度 量,是一种评价因设计变量或参数的改变而引起结构响应特性变化率的方法.本节采用的结构灵敏度分 析的方法是基于有限元理论的差分法.图4,5分别给出了六个输入变量和输出变量之间的灵敏度系数. 由图4,5可知,岩土体的弹性模量对于输出变量即衬砌结构的内力灵敏度较大,而岩土体的内摩擦角和 混凝土的容重对于输出变量即衬砌结构的内力灵敏度较小.因此,在后续的结构可靠度计算当中,可以将 土体的内摩擦角与混凝土的容重作为确定性变量考虑. 2.5单元可靠度分析 Monte—Carlo方法被认为是研究随机响应统计特征的有力方法,只要抽样数目足够大,就可以得到正 确的结果,但是计算工作量是巨大,而且Monte.Carlo方法在本质上具有随机收敛性.基于概率密度演化 方法的可靠度分析采用数论方法构造随机变量积分域中单位超立方体内的均匀散布点集,从而给出高维 数值积分的近似值并给出确定性的误差估计.本文采用数论选点方法选取910个样本点,进行可靠度 分析,并将计算结果与Monte—Carlo模拟结果对比.由于地下结构由抗裂控制,抗开裂极限状态的目标可 靠指标定为2.5,若假设响应为正态分布,则保证率为0.9938,失效概率为0.0062.根据N?IO0/P的 原则,Monte—Carlo方法的抽样次数可定为20000次.图6为单元编号在结构中的位置示意图.对应于不 第4期何涛,等:基于概率密度演化方法的地下结构可靠度分析 图46个随机变量对于弯矩的灵敏度系数 Fig.4Thesensitivitycoefficientbetweenmoment and6inputstochasticvariables 图56个随机变量对于轴力的灵敏度系数 Fig.5ThesensitivitycoefficientbetweenfcIrce and6inputstochasticvariables 同的可靠状态图7给出了采用基于概率密度演化方法(PDEM)计算的结构可靠概率与采用Monte—Carlo 方法(MCS)计算的结构可靠概率的对比,其中Monte—Carlo方法分别采用直接法与拉丁超立方法(LHS)两 种方法进行抽样,在图中,横坐标的单元编号对应于衬砌单元. 单元 单元19 单元55 单元37 图6单元编号在结构中的位置示意图 Fig.6Theelementnumberofstructure 元箱号 图7PDEM与MCS计算的结构可靠概率的对比 Fig.7Thecontrastofreliabilityprobability calculatedbyPDEMandMCS 通过对比上述两种方法计算的结果可以发现,得到的结构单元可靠概率基本一致,采用Monte—Carlo 直接法抽样误差较大,而拉丁超立方法避免了重复抽样,取相同个数的样本得到的精度更高,但是Monte— Carlo方法的结果本质上是随机收敛的,而基于概率密度演化方法计算的可靠概率已经在文献E53中证明 了其与精确解答的符合性.因此可以相信基于概率密度演化方法计算的可靠概率 是更精确的.同时概率 密度演化方法比Monte—Carlo方法在计算效率上,提高了22倍.从计算的结构单元可靠概率可以发现, 结构单元的抗压可靠概率都为1,而抗裂可靠概率最低为0.99789,高于规范规定保证率0.9938.其位置 分别出现在管片结构的顶部与底部. 2.6体系可靠度分析 采用类似于前面的计算方法,可给出Z的概率密度函数与概率分布函数如图8所示.图8b的横坐 标为0处的概率分布函数值为0.0022,此即结构的体系失效概率,由此给出结构的体系可靠概率为 0.9978 536力学季刊第3O卷 妊 闭 鼬 斟 童 a]Theprobabilitydensityfunction 闰 嚣 彘 姗 整 fb)Thecumulatedprobabihtvdistributionfunction 图8Z的概率密度函数与概率分布函数 Fig.8Theprobabilitydensityfunctionandthecumulatedprobabilitydistributionfunctionof Zi 3结语 地下结构可靠性分析是一个重要的问题,本文介绍了基于概率密度演化思想的地下结构可靠性分析 方法.在此方法中,通过求解概率密度方程,可以得到响应量的概率密度函数曲线,相比于其它随机分析 方法,具有更高的精度,而且在计算效率上也得到大大提高.文中还介绍了基于等价极值事件的结构体系 可靠性分析方法,并将等价极值事件的基本思想推广到复杂失效准则下地下结构的可靠性分析之中.研 究表明:采用概率密度演化分析,可以对地下结构可靠度给出较为准确的评价. 参考文献: [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] 景诗庭,朱永全,宋玉香.隧道结构可靠度[M].北京:中国铁道出版社,2002. 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