毕业论文---大数定律的对比与应用

毕业论文---大数定律的对比与应用 山东师范大学本科毕业论文()摘要 学院:数学科学学院 专业:信息与计算科学 班级:2007级信计1班 付静 姓名 潘炳燕 学号 200708020322 指导教师 论文(设计) 大数定律的对比与应用 题 目 6153 关键词 大数定律、 随机变量 、概率 论文(设计)字数 内容摘要: 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质:平均结果的稳定性(概率是频率的稳定值)，是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式，条件的强弱上进行对比，并分析了几种常见大数定律的关系，同时总结分析了大数定律的简单应用。 成绩 学院负责人(签名) 年 月 日 注:文科论文摘要不少于50，理科不少于300字。 本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保存 本科毕业论文 论文题目: 大数定律的对比与应用 学生姓名: 潘炳燕 学号: 200708020322 专业: 信息与计算科学 指导教师: 付静 学 院: 数学科学学院 2011 年 5 月20 日 论文(设计) 大数定律的对比与应用 题 目 论文(设计) 选题时间 2010-10-25 完成时间 2011-5-20 6153 字数 关 键 词 大数定律 随机序列 概率 论文(设计)题目的来源、理论和实践意义: 人们的长期实践表明:随着试验重复次数 n的增加，频率会稳定在某个常数a附近:比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的中得以体现。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。 在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率” 论文(设计)的主要内容及创新点: 本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并给出简单应用:在分布型未知的情况下估计数学期; 在数学分析中的应用,在实际应用 在误差领域的应用. 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种 附:论文(设计) 本人签名: 年 月 日 目录 中文摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1 英文摘要 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 1 一、引言„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2 二、大数定率的发展 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 2 (一) 大数定律产生的背景 „„„„„„„„„„„„„„ 2 (二)大数定律的发展 „„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 (三)大数定律的概述 „„„„„„„„„„„„„„„„„ 3 三、常用大数定律的对比 „„„„„„„„„„„„„„„„„ 4 (一)几个常见大数定律„„„„„„„„„„„„„„„„ 4 (二)大数定律的的对比„„„„„„„„„„„„„„„„ 7 1. 几个大数定律在条件的对比„„„„„„„„„„„ 7 2.几个大数定律在表现形式上的对比„„„„„„„„ 8 3.几个大数定律的关系„„„„„„„„„„„„„„ 10 四、大数定律的应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„ 10 (一)在分布型未知的情况下估计数学期望和方差„„„„„„ 11 (二)在数学分析中的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 12 (三) 在实际应用 „„„„„„„„„„„„„„„„„„ 13 (四) 在误差领域的应用„„„„„„„„„„„„„„„„„15 (五) 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种„„„„„16 参考文献 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 19 大数定律的对比和应用 潘炳燕 摘要:大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质。平均结果的稳 定性(概率是频率的稳定值)是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几 种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式及条件的强弱上进行对比，并 给出一些简单应用。 关键词:大数定律 随机序列 概率 Contrast and application of law of large numbers PanBingyan Abstract: The law of large numbers strictly expresses the fundamental properties of random phenomena through the mathematical form. The stability of average results (the probability is a random value of the frequency) is the manifestation of the phenomenon of statistical regularity. This paper introduces several common law of large number, and contrasts them from their proof process, forms and the strength of conditions, giving some simple applications. Key words: Law of large numbers statistical random sequence probability 一(引言 人们的长期实践表明:随着试验重复次数 n的增加，频率会稳定在某个常数a附近:比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多后，达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。这种情况下，偶然中包含着必然。必然的规律与特性在大量的样本中得以体现。在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。 二.大数定律发展 (一)大数定律产生背景: 我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，如果扔的次数很少，比如三、五次，这样统计一下出现“正面”的频率，会发现波动很大;但当我们上抛硬币的次数足够多后，比如100次，就会发现出现“正面”的频率大约在1/2上下徘徊。达到上万次甚至几十万几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以我们都能接受扔硬币出现正面的概率是“1/2”的说法。但大家必须明白，“概率”是无法测量的，只有“频率”是可以被测量的。大数定律的产生告诉我们，用“频率”去推测“概率”是合理的。 在大量重复出现的条件下，往往呈现几乎必然的统计特性，这个规律就是大数定律。简单地说，大数定理就是“当试验次数足够多时，事件发生的频率无穷接近于该事件发生的概率” (二)大数定律的发展 十七、十八世纪之交，有不少的数学家从事过概率的研究。伯努利的巨著《猜度术》就是一项重大的成就，其中的“伯努利定理”就是“大数定理”的最早形式，概率论中的第一个极限定理即“在多次重复试验中，频率有越趋稳定的趋势”。之后，棣莫佛和辛普生又作了巨大的推进。 十八世纪，法国自然哲学家布丰在《概率算术试验》中导入“投针问题”，后来，有许多人用同样的方法计算值(其中最为神奇的是意大利数学家拉兹瑞尼，他在1901年宣称进行了多 次投针试验得到了的值为3.1415929(这与的精确值相比，一直到小数点后七位才出现不同～ 十九世纪，概率论有了飞跃的进展，拉普拉斯的经典著作《分析概率论》总结了这一时代的概率论的研究，提出了概率的古典定义。高斯奠定了最小二乘法和误差论的基础。泊松推广了“大数定律”，引入了十分重要的“泊松分布”，切比雪夫和他的学生马尔可夫分别创建了“大数定律”和“马尔可夫链”。 (三)大数定律的概述 大数定律又称大数法则、大数率，它是概率论与数理统计学的基本定律之一。通俗地说，这个定律就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件发生的频率趋于一个稳定值，这个稳定值就是随机事件发生的概率。比如，我们向上抛一枚硬币，硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的，但当我们上抛硬币的次数足够多，达到上万次甚至几百万次以后，我们就会发现，硬币每一面向上的次数约占总次数的二分之一。所以，我们说抛硬币这一事件中，正面和反面出现的概率都是0.5，而掷骰子事件中每个面出现的概率都是1/6。 大数定律讨论了n个随机变量的平均值的稳定性，是对随机现象进行概型化研究的重要基础。用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理，称为大数定律( 三(常用的几个大数定律的对比 定义:设有一个随机变量序列,X,，假使它具有形如，对任意的 >0， ,n nn11limP,,-,<,=1 E(X)X,,,iin,,nni,1i,1 的性质，则称该随机变量序列,X,服从大数定律。 n 不同的大数定律的差别只是对不同的随机变量序列,X,而言，有的n是相互独立的随机变量序列，有的是相依的随机变量序列，有的是同分布的随机变量序列，有的是不同分布的随机变量序列等。 (一) 几个常见的大数定律: 1. 伯努利大数定律 ,设为n重伯努利试验中事件A发生的次数，p为每次试验中A出n 现 概率，则对任意的 >0,有 , ,n P,,-p,,=1 lim,,n,,n ,n伯努利大数定律说明:随着n的增大，事件A发生的频率与其频n ,n率P的偏差,-p, 大于预先给定的精度的可能性愈来愈小，小到可,n 以忽略不计。这就是频率稳定于概念的含义，或者说频率依概率收敛于概率。 伯努利大数定律提供了用频率来确定概率的依据。譬如要估计某种产品的不合格率 p,则可从该产品中随机抽取n件，当n很大时，这n件产品中的不合格产品的比例可作为不合格品率p 的估计值。 2. 切比雪夫大数定律: 设,X,为一列两两不相关的随机变量序列，若每个X的方差存ni 在，且 有共同的上界，即Var(X)? c，i=1，2，„„，则,X,服从大数定律，in即对任意的>0 , 有 , nn11lim P,,-,<,=1 E(X)X,,,iin,,nni,1i,1 成立。 注意， 切比雪夫大数定律只,X,互不相关，不要求它们是同分布的。n 假如,X,是独立分同分布的随机变量序列，且方差有限，则,X,nn 必定服从大数定律。 3. 马尔可夫大数定律: 对随机变量序列,X,，若 n n1Var()0 X,,i2i,1n 成立，则,X,服从大数定律，即对任意的>0， ,n nn11P,,-,<,=1 limE(X)X,,,iin,,nni,1i,1 成立。 马尔可夫大数定律的重要意义在于:对,X,已经没有任何同分布，n 独立性，不相关的假定，切比雪夫大数定律显然可由大数定律推出。 4. 辛钦大数定律 设,X,为一独立同分布的随机变量序列，若X的数学期望存ni 在，则,X,服从大数定律，即对任意的>0， ,n nn11limP,,-,<,=1 E(X)X,,,iin,,nni,1i,1 成立。 辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E(X)的近似值的方法。设想对随机变量X独立分布重复观察n次，第K次观察值为，则X ，1XkX „„ X应该是相互独立的，且它们的分布应该与X的分布相同。所以，n2 在E(X)存在的条件下，按照辛钦大数定律，当n足够大时，可以把平均观察值 n1 X,ini,1 作为E(X)的近似值。这样做法的一个优点是我们可以不必去管X的分布究 是怎样的，我们的目的只是寻求数学期望 5.泊松大数定律 如果在一个独立试验序列中，事件A在第K次试验中出现的概率为P，k ,以记在前n次试验中事件A出现的次数，则对任意>0，都有: ,n ppp，，？，,n12nlim P,,,,,=1 ,,n,,nn 6. 伯恩斯坦大数定律 设,X,是方差一致有界的随机变量序列，且当,k-l, 时，一致,，,n 地有 Cov(X ，X) 0, ,kl 则,X,服从大数定律，即对任意的>0， ,n nn11P,,-,<,=1 limE(X)X,,,iin,,nni,1i,1成立。 (二) 大数定律的对比 1. 几个大数定律在条件上对比 1.1马尔可夫大数定理条件是: 1XXXVar(*(++„))0，(n) ,,,12nn 1.2. 切比雪夫大数定理的条件是: ,Var(X)c， i由此可以推出 1,XXXVar(*(++„))1/(n*n)*c*n=c/n， 12nn 满足马尔可夫大数定理的条件 i1.3. 伯努利大数定理要求是:X独立服从二点分布，由此可以推出 iVar(X) = p(1-p) 从而 1XXX*(++„))=p(1-p)/n， Var(12nn 从而满足马尔可夫大数定理的条件 i1.4 辛钦大数定理的条件是:X的期望存在，并且X独立同分布，其取消了i 方差的条件，但是增加了新的条件，伯努利大数定理可以看成其一个特例，辛钦大数定理的一个应用是可以用 1XXX*(++„) 12nn 的值来拟近期望值 。 因此我们可以看见，几个大数定律的条件由弱到强依次是: 马尔可夫大数定,切比雪夫大数定律,伯努利大数定律,辛钦大数定律。切 比雪夫大数定律，伯努利大数定律和辛钦大数定律的条件都可以看作是马尔 可夫大数定律条件的特殊形式。 2. 几个大数定律在表现形式上的对比 2.1. 马尔可夫大数定理 对随机变量序列,X,，若 n n1Var()0。 X,,i2ni,1 马尔可夫大数定律的重要意义在于:对,X,已经没有任何同分布，独n 立性，不相关的假定 2.2. 切贝雪夫大数定理 XXX 设，，„，是一列两两相互独立的随机变量，服从同一分布，且存12n 2,在有限的数学期望 a 和方差，则对任意小的 ε>0，满足公式 nn11limP,,-E(X),<,=1 X,,,iin,,nni,1i,1 该定律的含义是:当n很大，服从同一分布的随机变量的算术平均数将依概率接近于这些随机变量的数学期望。 将该定律应用于抽样调查，就会有如下结论:随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。 2.3. 伯努里大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意ε>0，有 ,nP,,-p,,=1 lim,,n,,n 该定律是切贝雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出 现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 2.4 辛钦大数定律 设,X,为一独立同分布的随机变量序列，若X的数学期望存在，则ni ,X,服从大数定律 n 辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E(X)的近似值的方法。设想对随 XXX机变量X独立分布重复观察n次，第K次观察值为X，则，，„，应k12n该是相互独立的，且它们的分布应该与X的分布相同 3. 几个大数定律的关系 3.1 伯努利大数定律是泊松大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中， 如果P=p,则泊松大数定律也会死就是伯努利大数定律。伯努利大数k 定律证明了事件在完全相同的条件下重复进行的随机试验中频率的稳 定性，而泊松大数定律表明，当独立进行的随机试验的条件变化时， 频率仍然具有稳定性:随着n的无限增大，在n次独立试验中，事件 A的频率趋于稳定在各次试验中A出现的频率的算数平均值附近， 3.2 泊松大数定律是切比雪夫大数定律的特例。在泊松大数定律的条件中 D-pq?1, 因此也满足切比雪夫大数定律的条件。 ,nni 3.3 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例。在切比雪夫大数定律 的条件中D? c(i=1，2，„„)，由随机变量序列的两两不相关性,i 可知: nnc11n,,DD (,),(,),,,,,0,,ii22nnn11i,i, 故也满足马尔可夫大数定律的条件。 因此，博努力大数定律、泊松大数定律也是马尔可夫大数定律的特例。 3.4 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情形。 在伯努利大数定律中，可以定义随机变量 1，第i次出现A,,= ,i0，第i次不出现A, , 则,,独立同分布，都服从伯努利分布: n ,1,0,, P,,=p，P,, ii ,并且E()=p,因此满足辛钦大数定律的条件。 n 但是，辛钦大数定律不是泊松大数定律和切比雪夫大数定律的推广， 因为辛钦大数定律必须要求同分布。 四.大数定律的应用 (一) 在分布型未知的情况下估计数学期望和方差 , 若及,,都是随机变量，则有 ,i nn211pp2,,,E(),,,,E() ， ,,,,,iinni,1i,1 n1估计n较大,,,,,,样本: E() ,,ini,1 n21估计n较大2,,,,,E() ,,,ini,1 nn21122p2E(,),,,,E() -〔〕-〔〕=D() ,,,,,iinni,1i,1 nn112估计n较大2,,,,,, 样本: -〔〕 D() ,,,,iinni,1i,1 例 1 按照辛钦大数定律，当n足够大时，可以把平均观察值 n1 X,ini,1 作为E(X)的近似值。这样做法的一个优点是我们可以不必去管X的分布究竟是怎样的，我们的目的只是寻求数学期望。 事实上，用观察值的平均去作为随机变量的均值在实际生活中四常用的方法。譬如，用观察到的某地区5000个人的平均寿命作为该地区的人均寿命的近似值是合适的，这样做法的依据就是辛钦大数定律。 (二)在数学分析中的应用 例 2.设0?f(x)?1,求f(x)在区间(0，1)上的积分值: 1 J=dx f(x),0 解 设(X，Y)服从正方形,0?x?1,0?y?1,上的均匀分布，则可知X 服从〔0，1〕的均匀分布，Y也服从〔0，1〕上的均匀分布，且X与Y独立。 又记事件 A=,Y?f(X), 则A的概率为 11f，，x p=P(Y?f(X))=dydx=dx=J f(x),,,000 即定积分的值J就是事件A的概率p，由伯努利大数定律，我们可以用重复 试验中A出现的频率作为p的估计值。这种求定积分的方法也称为随机投 点法，即将(X，Y)看成是向正方形,0?x?1,0?y?1,内随机投点，用 随机点落在区域,y?f(x),中的频率作为定积分的近似值。 或 为计算定积分 1J=dx f(x),0 设随机变量X服从(0，1)上的均匀分布，则Y,f(X)的数学期望为 1 E(f(X))=dx=J f(x),0 所以估计J的值就是估计f(X) 的数学期望值。由辛钦大数定律，可以用f(X)的观察值的平均去估计f(X)的数学期望的值。具体做法如下:先用计算机产生n个(0，1)上的平均分布的随机数:x,i=1,2 „，n。然后对每个i x计算f(x), 最后得到J的估计值为 ii n1 J? f(),xini,1 (三) 为在实际应用中用将大量重复测量值的算术平均值作为精确值 的估计提供了理论依据 例3 设随机变量X1, X2,???, X10相互独立并且服从相同的分布, 已知它们的数学期望等于0, 方差等于1, Y = X1+ X2+ ??? + X10, 请估算概率 P{,100.01,?= 24nnn0.01 56当 n=10时，大偏差发生的可能性小于1/40=2.5%. 当n=10时，大偏差发生 的可能性小于1/400=0.25%. 可见试验次数愈多，偏差发生的可能性愈小。 例 5 现有一大批种子，其中良种占1/6,今在其中任选6000粒，试计算这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%DE 概率是多少, 解 设取出的种子中良种的粒数为x，则XB( n, p),于是 ~ 1 Ex= np=6000×=1000 6 15 Dx=np(1-p)=6000×× 66 5 =×1000 6 要估计的规律为 ,,x11P ,,,P,,X,1000,60,,60006100,, 相当于在切比雪夫不等式中取=60，于是 , ,,DXX11 P?1- ,,,P,,X,1000,60,,26060006100,, 1DX5由题意有1-=1-×1000×=0.7685，即用切比雪夫不等式估计此概率26360060 不小于0.7685。 (四) 在误差领域的应用 例 6 xxx？x某种仪器测量已知量A时，设n次独立得到的测量数据为, 123n n12如果仪器无系统误差，问:当n充分大时，能否取作为仪器测量误(x,A),in,1i 差的方差的近似值, 解 把x视为n个独立同分布的随机变量x(i=1，2，„ n)的观察值，ii 2,,则E(x)=，D( x)=( i=1，2，„n)。仪器第,次测量的误差x-Aiii 2,,的数学期望E(x-A)=-A，方差D(x-A)=。 ii 2i 设Y=(x-A)( i=1，2，„ n)则Y也互相独立同分布。在仪器无系ii ,统误差时，E(x-A)=0，即有=A i 22 E(Y)=E〔(x-A)〕=E〔(x-E x)〕 iiii 2, =D(x)=( i=1，2，„ n) i 由切比雪夫大数定律可知: n,,12 ,,=1 PY,,lim,,,i,,nn,1i,, 即 n,,12 ,,,=1 limP(xA),,,,,i,,nn,1,,i n122,从而确定，当n时，随机变量依概率收敛于，故当n(x,A),,,in,1i n12充分大时，我们可以取作为仪器测量误差的方差。 (x,A),in,1i (五)用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种 进行人身保险精算首先需研究被保险人遭受危险事故的出险率及出险率的变动规律。出险率即保险事故发生的概率。人身保险精算主要是寿险精算，人寿保险的出险率是死亡概率和存活概率，而死亡概率和存活概率又是互补的，因此通常只研究其中一个的变动规律即可，人身保险是以生命表方法来研究和表述被保险人的死亡规律的。在医疗保险中，出险率就是被保险人的发病概率。在伤残保险中，出险率就是被保险人的伤残概率。在确定了保险事故发生的概率的基础上，保险人方可确定应收的保费。 例 7 假如某保险公司有10000个同阶层的人参加人寿保险，每人每 年付12保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保 险公司领得1000元。试问:平均每户支付的赔偿金5 .9 元至6.1元的概率 是多少,保险公司亏本的概率有多大,保险公司每年利润大于4万的概率是 多少, 表示保险公司支付给第i户的赔偿金，则， 设Xi E(x)=6，D(x)=5.964(i=1，2，„，10000)，X互相独立。iii 则 100001X = X,i10000i,1 表示保险公司平均对每户的赔偿金， ,4XXE()=6，D()=5.964×10. 由中心极限定理， 2(6，0.0244) X~ 5.9,66.1,,,,X,(4.09),1P(5.9<<6.1)==2=0.99996 ,,,,,,,0.02450.0245,,,, 虽然每一家的赔偿金差别很大，但保险公司平均对每户的支付几乎恒等于6元，险 公司赔本，也就是赔偿金额大于1000×120=12万，即死亡人数大于120人的概率。设死亡人数为Y，则Y~B(10000，0 .006),E(Y)=60,D(Y)=59.64. 由中心极限定理，Y近似服从正态分布N~(60,59,64)，那么 P(Y>120)=1-P(Y?120)=0 这说明，保险公司亏本的概率几乎为0.应设此险种。 在保险市场中，有时降低保费和提高赔偿金，对保险公司的收益是一样的， 但是提高赔偿金比降低保费更能吸引头保户。 参考文献: 〔1〕 茆诗松，程依明，濮晓龙 .概率论与数理统计教程.北京:高等教育出版 社.2008.12第11版 〔2〕 华东师范大学系 概率论与数理统计习题集〔M〕北京:高等教育出版社.2005 〔3〕 周少强.大数定律与中心极限定理之间的关系〔J〕. 三峡大学学报(自然科学版). 2005, 27(3):284-285. 〔4〕 中山大学统计科学系.概率论与数理统计〔M〕. 北京:高等教育出版社.2005. 山东师范大学本科毕业论文(设计)摘要 学院:数学科学学院 专业:信息与计算科学 班级:2007级信计1班 付静 姓名 潘炳燕 学号 200708020322 指导教师 论文(设计) 大数定律的对比与应用 题 目 6153 关键词 大数定律、 随机变量 、概率 论文(设计)字数 内容摘要: 大数定律以严格的数学形式表达了随机现象的根本性质:平均结果的稳定性(概率是频率的稳定值)，是随机现象统计规律性的具体表现。本文介绍了几种常用的大数定律，从他们的证明过程，表现形式，条件的强弱上进行对比，并分析了几种常见大数定律的关系，同时总结分析了大数定律的简单应用。 成绩 学院负责人(签名) 年 月 日 注:文科论文摘要不少于500字，理科不少于300字。 本页一式两份，一份装入学生档案，一份由学院保存 山东师范大学本科毕业论文,设计,题目审批表 学院:数学科学学院 (章) 系别:信息与计算科学 时间:2010年10月25日 题目名称 大数定律的对比与应用 课 课题性质 A基础研究 B基础应用研究 C应用研究? 题 教师姓名 付静 职称 讲师 学位 硕士 情 A.科研 B.生产 C.教学 D. 学生自拟? 课题来源 况 E. 其它 成果类别 A.论文? B.设计 论文先阐述了几个常见大数定律包括:马尔科夫大数定律，切比雪 夫大数定律，伯努利大数定律，泊松大数定律及辛钦大数定律，伯恩斯 坦大数定律，分析了几个常用的大数定律的关系，在此基础上，重点总 结论述了大数定律的应用。 研究目标是: 通过对几个常见大数定律的对比，加深对大数定律的主要 理解。在此基础上，分析了大数定律的应用，包括:在分布型未知的情研究 况下估计数学期;在数学分析中的应用,在实际应用 在误差领域的应用. 内容 与 用在保险公司测定是否应该施行一个新的险种并将理论知识运用到实际研究 的工作，学习当中。 目标 指导教师(签名): 年 月 日 选题学生(签名): 年 月 日 系所 或教 研室 审题 负责人(签名): 年 月 日 意见 学院 审批 意见 学院学位分委员会主任(签名): 年 月 日 山东师范大学 本科毕业论文,设计,开题

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论文题目: 大数定律的对比与应用 学院名称: 数学科学学院 专 业: 信息与计算科学 学生姓名: 潘炳燕 学 号: 200708020322 指导教师: 付静 2010年 11 月 16日 一、选题的性质 应用性研究 二、选题的目的和意义 选此题主要是对大数定律的对比及相互之间的关系进一步学习和总结，并对大数定律在个领域的应用有一些了解。概率统计学是一门研究随机现象统计规律的数学学科，它的应用十分广泛，涉及到数学分析，社会经济学科，保险等。而大数定律是概率论中的重要内容之一。设计此论文是为将来把大数定律的意义更进一步用到现实经济领域，保险领域。 三、与本课题相关的国内外研究现状，预计可能有所创新的方面 大数定律作为概率论中的重要内容，其理论成果相对比较完善。但几个常用定律之间的对比与应用方面比较少。出于进一步了解学习的目的，本文通过对大数定律的对比和相互关系作出系统的分析，主要研究和讨论几个大数定律之间的关系和他们的应用。所以对教学和应用领域有一定的参考价值。预计创新，是大数定律在金融和保险领域的进一步应用。 四、课题研究的可行性分析 (1)所选课题具有很强的应用性和现实意义，对大数定律在实际生活和教学与学习中具有重要的参考意义. (2)大学本科阶段没有开设《概率论与数理统计教程》课程，由于所选课题的引理和定理是源于此门课程，自主学习相关知识.在导师的指导下，选定题目进行分析. 五、课题研究的策略、方法和步骤 课题研究的策略和方法:在学习的现有知识的理解上，通过阅读大量的参考文献以及数学学报，查阅了大量的资料完成了论文的初稿。 步骤:1、阅读许多有关大数定律的资料，加深对大数定律本质含义的理解。 2、通过大量的阅读和总结，完成了论文的基本骨架。 3、多次进行指标选择和数据运算，并对其多次修改丰富了论文的内容。 4、对论文整体全面的修改完成了论文最后定稿。 六、预期成果形式描述 预期完成不少于6000字的论文。 七、指导教师意见 指导教师(签名): 年 月 日 八、学院学位分委员会意见 学院学位分委员会主任(签名): 年 月 日 表5(学生教师合用) 山东师范大学本科毕业论文,设计,教师指导记录表 学院:数学科学学院 系别:信息与计算科学 专业:信息与计算科学 论文(设计)题目:大数定律的对比与应用 学生姓名 潘炳燕 学号 200708020322 指导教师 付静 职称 讲师 计划完成时间:2011年5月18日 指导情况纪录(含指导时间、指导内容) 2010年10月15日 介绍论文的基本情况，主要就论文的题目给予详细的指导 2010年11月10日 就论文开题的基本内容进行了指导 2010年11月16日 论文开题，老师对论文题目及内容指导和评价 2011年05月16日 老师审阅了论文初稿 2011年05月19日 老师审阅了已修改的论文 指导教师(签名): 学生(签名): 学院学位分委员会主任(签名): 年 月 日 注:本科论文,设计,的指导应不少于5次～如表格空间不足可另附页。 指导教师意见 (包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价) 成绩: 指导教师(签名): 年 月 日 注:成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。 评阅人意见 (包括选题的意义，资料收集或实验方法、数据处理等方面的能力，论证或实验是否合理，主要观点或结果是否正确，有何独到的见解或新的方法，基础理论、专业知识的掌握程度及写作水平等，并就该论文是否达到本科毕业论文水平做出评价) 成绩: 评阅人(签名): 年 月 日 注:成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。 答辩委员会意见 (应根据论文内容和答辩情况，并参考指导教师意见、评阅人意见对论文的综合水平做出具体 评价) 成绩: 答辩委员会主任(签名): 年 月 日 学院学位分委员会意见 成绩: 学位分委员会主任(签名): (公章) 年 月 日 注:成绩按优、良、中、合格、不合格五级分制计。 表6(学院用) 山东师范大学本科毕业论文,设计,答辩记录表 学院:数学科学学院(章)系别:信息与计算科学 专业:信息与计算科学 论文(设计)题目:大数定律的对比应用 学生姓名 潘炳燕 学 号 200708020322 指导教师 付静 职 称 讲师 答辩时间 2011年5月25日 答辩地点 B112 姓 名 性别 职 称 职 务 其它 杨泽中 男 教授 组长 答辩委员会张霞 女 讲师 组员 名单 付静 女 讲师 组员 荐金峰 男 讲师 秘书 答辩记录: 记录人(签名): 答辩委员会主任(签名): 年 月 日 年 月 日