群的定义

群的等价定义及证明风雷 摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用. 关键词:群；等价性；单位元；逆元 1  引言 近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群. 群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“ ”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 ，而写 ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析. 2 群的第一定义 设 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于的 任意三个元素都成立; Ⅲ 中有单位元素的存在，即存在元素e，使的对于 的每一元素 ，都有 Ⅳ 中元素有逆元，即对于 的每一个元素 ，存在的 元素 ，使得 . 当群的运算“ ”满足交换律时，称 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z关于数的加法构成交换群 ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆. 例1 设 为整数集，问： 对运算 是否作成群？ 解：由于对任意整数显然 为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有 同理有 . 因此，对 中任意元素 有 即Ⅱ成立. 又因为对任意整数 均有 . 即Ⅲ成立. 最后，由于 即Ⅳ成立. 因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群. 例2  设 ={1,-1,i,-i}，“。”为数的乘法，则 是一个交换群. 解： 因 中任意两个元的乘积还是的 一个元，于是 在“。”下是封闭的，数的乘法总是满足结合律和交换律. 的单位元是1，并且 , ， 的两个元素的运算可以用表（1）表示，这个表成为群的乘法表. 如下表所示: 1 -1 - 1 1 -1 - -1 -1 1 - - -1 1 - - 1 -1           表（1） 在群的定义一中有些条件是多余的，我们可以省去其中的一半，而把它们换成 Ⅴ 中有元素e，叫做的左单位元，它对 中每个元素 ，都有 ; Ⅵ 对 中每个元素 ，在 中都有元素 ，叫做 的左逆元，使 = 由此我们得到: 3  群的第二定义 设 是一个非空集合，它对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于 的任意三个元素都成立; Ⅴ 中有元素 ，叫做 的左单位元，它对 中每个元素 ，都有 Ⅵ 对 中每个元素 ，在 中都有元素 ，叫做 的左逆元，使 = . 在证明群的这两个定义的定价性之前我们先看以下几个定理. 3.1  定理1 群 的元素的左逆元，也是 的一个右逆元，既有 = = . 证明：因为 ∈ ，故 在 中也有左逆元，设为 ，即由此可得 = ( )= ( )( ) = [( ) ]= ( ) = = 从而                = = . 3.2  定理2群 的一个左单位元也是它的一个右单位元，既对群中任意元素均有 . 证明：因为  = ( )=( ) = =         故 . 3.3  定理3 群 的单位元及每个元素的逆元都是惟一的. 证明：设 与 都是 的单位元，则根据单位元的定义，有 , 其次，设 及 都是 的逆元，即有 由此进一步得 即  , 的逆元是惟一的. 下面证明群的第一定义与群的第二定义是等价的. 证明：由Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ显然可推得Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ，Ⅵ. 通过定理一，定理二，定理三，显然可得Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ. 因此群的这两个定义定义显然等价. 4 群的第三定义  设 是一个非空集合，它对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于 的任意三个元素都成立; （Ⅴ） 中有元素 ，叫做 的右单位元，它对中每个元素 ，都有 = ; （Ⅵ）对 中每个元素 ，在 中都有元素 ，叫做的右逆元 使 = . 证明：利用定理1，定理2的结果以及此二定理的类似证法立即得证. 这个定理说明，在群的定义里，可同时将左单位元改为右单位元，把左逆元改为右逆元. 例3 全体n次单位根对于数的普通乘法作成一个群，这个群记为 ，并称为n次单位根群. 事实上，由于任二n次单位根的乘积以及n次单位根的逆均仍为n次单位根，又1是n次单位根，故 作成群，而且是一个n阶有限交换群. 例4 设 是模n 剩余类构成的集，定义“+”的运算为 ,任意 ∈ ,证明( ，+) 是一个交换群. 证明：我们看以下上面规定的“+”是否封闭，这就需要证明运算的结果与代表的取法无关.假如 , ，于是 ，[ ]+[ ]= [ + ] 下面证明        由于              , 于是              , 即                ,  n/ -b 所以              因此                即“ +” 封闭，对于任何 ,[b],[c]∈ 有 于是                  即“+”满足结合律，单位元为 的逆元为 . 因此( ，+)是群，由于 所以 ( ，+) 是交换群. 5  群的第四定义  设 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于 的任意三个元素都成立; Ⅶ 对于的任意两个元素 , 来说，方程 , 都在 中有解. 下面证明群的第四定义与群的第二定义的等价性. 证明 ： 我们可以看到有Ⅴ,Ⅵ可以推出Ⅶ来即有 ， 显然分别为两个方程的解. 反之，设对 中任意元素 ， 所给两个方程在 中都有解，则对 中任意一个固定元素 ，设方程 在 中的解用 表示，即有 . 再任取 ，设方程 在 中的解为 ，即有 . 于是 即 是 的左单位元. 最后，对 中的任意元素 ，由于方程 在 中有解，即 在 中有左逆元.故由Ⅶ可以推出Ⅴ，Ⅵ. 所以这两个定义等价. 例5 只包含一个元 ，乘法是 ， 对于这个乘法来说作成一个群. 因为 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： Ⅶ 有解，就是 有解，就是 例6 是所有不等于零的整数的集合， 对于普通乘法来说不作成一个群，因为固然 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于G的任意三个元素都成立; 但 ,没有整数解Ⅶ不能被满足. 一个群的元素个数可以有限也可以无限，我们规定: 5.1  定义 一个群叫做有限群，假如这个群的元素的个数是一个有限整数，不然的话这个群叫做无限群，一个有限群的个数叫做这个群的阶，当群有 个元素时记作： 对于一个有限群我们常用到一个定义，这个定义与以上的一般定义稍微有点不同，因为有限群在群论里占一个极重要的地位，我们对与这个定义还要讨论一下. 5 有限群的另一定义  设 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 Ⅰ 对于这个乘法来说是闭的； Ⅱ 结合律成立： 对于 的任意三个元素都成立; Ⅷ 消去律成立，即 . 证明：必要性显然.下证充分性.设 且 ，令在 中取任意元素 ， .由于 满足消去律，从而易知 . 于是在 中必有 即方程 在 中有解. 同理可证方程在 中也有解，故有群的第四定义知 作成群. 例7 ={所有不等于零的整数} 对于普通乘法来说这个 满足结合律，消去律，但它不满足群的第四定义的，故 不作成一个群. 但如果 是一个有限集合时，情形就不同了. 有上面的例子，我们知道，这个定义所要求的条件比一般群的定义所要求的要少一点，所以在证明一个有限集合是一群时，这个定义是一个很有力的工具.至于这个定义不能用到无限集合上去，有上面同一例可以知道. 我们知道，一个有限集合的代数运算常用一个表来表明.一个有限群的乘法若用表来表明，那么许多群的性质都可以直接从表上看出，单位元的存在告诉我们，表里一定有一行元素同横线上的元素一样，也一定有一列元同垂线左边的元一样.消去律告诉我们群的全体的元也必在每一列里出现.所以给了一个有限集合，一个代数运算，若是我们列表来一看，以上条件不合就知道这个集合不作成一个群，可惜结合律不易看出. 例8 设 ， 的结合法由下表给出. b c b c b b c c c b         表（2） 试证 是一个群. 证明 ：由上表可知“。”确为的一个二元运算， 的每两个元惟一确定的元仍在 中. 中的全体元素在每一行每一列中出现，故满足消去律.证明适合结合律比较麻烦要验证 次，但是由于第一行，第一列分别与表头的行列相同，故有 ，这样三个元中只要出现 ，则必然适合结合律，因此我们只对不包含 的任意三个元验证结合律即可，因而只需验证 次即检验以下个等式是否全部成立 ， ， ， , ， ， ， . 这里只验证第一个 ， 经过验证，上面8个等式都成立，即适合结合律. 继续阅读