弹性力学与有限元方法作业

弹性力学与有限元作业 院系: 机械学院 专业: 机械及理论 学号: 姓名: 一、下面给出平面应力问(单连通域)的应力场和应变场，试分别 判断它们是否为可能的应力场与应变场(不计体力)。 (1)? x?C1x?C2,?y?C3x?C4y,?xy?C4x?C1y; (2)? x?axy2,?y?bx2y,?xy?2Cxy2; 解: (1)将式子代入平衡方 程: ???x??xy??X?0??C???C1??0??x?y ? 可得 ?1 ??yx??y(?C4)?0?C4????Y?0??y??x 再将式子代入相容方程: ??2?2? ???x2??y2????x??y??0 ?? ?x??y??C1?C3?x?C4y?C2 ??2?2? 则可得 ???x2??y2????x??y??0 ?? 以上两个方程均满足，所以式(1)是一组应力场。 (2)将式子代入应变表示的相容方程: 22?2?x??y??xy ??22?x?y?y?x ??y??xy?2?x 则可得: ?2ax 2?2by ?4Cy 2?x?x?y?y 22?2?x??y??xy ???2ax?2by?4Cy?2ax?2?b?2C?y?0 22?x?y?y?x22 所以式(2)不是一组可能的应力场。 二、 请描述平面结构有限元求解的基本步骤。 针对平面结构问题只须考虑平行于某个平面的位移分量、应变分量与应力分量，且这些量只是两个坐标的函数，平面问题分平面应力问题和平面应变问题两类。针对二维的连续介质，对平面结构的有限元分析步骤如下: 1)用虚拟的直线把原介质分割成有限个平面单元，这些直线是单元的边界，几条直线的焦点即为节点。 2)假定个单元在节点上互相铰接，节点位移是基本的未知量。 3)选择一个函数，用单元的三个节点的位移唯一的表示单元内部任一点的位移，此函数称为位移函数。 4)通过位移函数，用节点位移唯一的表示单元内任一节点的应变;再利用广义 的胡克定律，用节点位移可唯一的表示单元内任一点的应力。 5)利用能量原理找到与单元内部应力状态等效的节点力;再利用单元应力与节点位移的关系，建立等效节点力与节点位移的关系。 6)将每一单元所承受的载荷，按静力等效原则移置到节点上。 7)在每一节点建立用节点位移表示的静力平衡方程，得到一个线性方程组;解出这个方程组，求出节点位移;然后可求得每个单元的应力。 三、 如何描述根据虚位移原理来获得单元的刚度矩阵的公式推导过程。(可以 三节点三角形单元为例) 答:根据虚位移原理对单元进行分析时，单元是在等效节点里的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为 ?R??RiTe?RT jTRm???UT iViUjVjUmVm ?T 假设在单元中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m的虚位移为 ?????ui ?e??vi?uj?vj?um?vm?T 且假设单元内各点的虚位移为f?，并具有与真实位移相同的位移模式。故有 f???N??? e?????? 单元内的虚应变??为 ????B??? e?????? ???于是作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可以写为 ? 而单元内的应力在虚应变上所做的功为 ???? ????R? eTe?????tdxdy?????????B??D??B????tdxdy TT?eTeT?eeT?eTe根据虚位移原理，可得到单元的虚功方程 即 ?????R??????????B??D??B????tdxdy eTe eT所以可得 ?R?????B??D??B?tdxdy??? 记 ?k?????B??D??B?tdxdy 则有 ?R?e??k?e???e e上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，?k?就 是单元刚度 矩阵。 四、请利用专业方向有关有限元软件，做任选一个简单机械结构做应力分析，给出具体流程及结果。 题目:齿轮的接触分析 分析问题:一对啮合的齿轮在工作时产生接触，分析其接触的位置、面积和接触力的大小。 1. 相关系数: ? ? ? ? ? ? ? ? 齿顶直径:24 mm 齿底直径:20mm 齿数:10 厚度:4mm 密度:7.8E3 弹性模量:2.06E11 摩擦系数:0.1 中心距:44mm 2. 建立模型 2.1 设定分析作业名和标题 (1)从菜单中选择File>Change Jobname，打开“Change Jobname”命令，修改文件名。自定义新的文件名为“gearscontact”，单击【OK】按钮，完成文件名的修改。 (2)从实用菜单中选择File>Change Directory,打开“Change Directory”命令，可以自定义该文件的目标文件夹，单击【确定】按钮。 (3)从实用菜单中选择File>Change Title，打开“Change Title”命令，可以自定义修改文件标题。新的文件标题为“contact analysis of two gears”，为本实例的标题名。 单击【OK】按钮确定。 (4) 从实用菜单中选择Plot>Replot命令，自定义的标题”contact analysis of two gears”将显示在窗口左下角。 (5)从主菜单中选择Preference命令，在对话框中选择“Structural”复选框，单击【OK】按钮。 2. 2 定义单元类型 (1)从主菜单中选择Preprocessor>Element Type>Add/Edit/Delete,打开“Element Type”对话框，单击【Add】。 (2)在下图的列表框中选择“Solid”, “4node 182”,单击【OK】。 (3)在下图的Element Types对话框中单击【Options】弹出单元选项对话框，对PLANE182单元进行设置。设置完成后点击【OK】，然后【Close】。 2.3 定义实常数 (1)从主菜单中选择Preprocessor>Real Constants>Add/Edit/Delete，打开如下图的“实常数”对话框，点击【Add】,设置实常数单元类型。 2)在弹出的对话框中点击【OK】，弹出如下对话框，点击【OK】，在弹出的对话框中将厚度设置为4。设置完毕，点击【OK】。 设置完毕后， 点击【Close】关闭实常数对话框。 2.4 定义属性 (1)从主菜单中选择Preprocessor>Material Props>Material Models，如下图所示依次双击Structural>Linear>Elastic>Isotropic。 在弹出的对话框中设置材料的弹性模量EX=2.06E11,泊松比PRXY=0.3。如下图所示。设置完毕后点击【OK】，回到材料属性对话框界面。 (2)依次双击Structural>Density，设置材料密度为7.8E3。完毕点击【OK】退出。 (3)依次双击Structural>Friction Coefficient，打开材料摩擦系数对话框。如下图，设置摩擦系数为0.1。完毕点击【OK】，并退出材料属性设置对话框。 2.5 建立齿轮面模型 2.6 对齿面划分网格 (1)从主菜单中选择Preprocessor>Meshing>MeshTool。 (2)选择“Mesh”域中的“Areas”，点击【Mesh】，如右图所示。弹出面选择对话框，要求选择要划分的面，点击【Pick All】。 2.7 定义接触对 (1)从应用菜单中选择Select>Entities，在类型下拉列表中选“Lines”,点击 【Apply】，如下左图所示。 (2)打开先选择对话框，选择一个齿轮上可能与另一个齿轮相接触的线，点击 【OK】，如下右图所示。 (3)在实体选择对话框中选择“Nodes”,在选择方式中选择“Attached to ”,在单选列表中选择“Lines, all”。 (4)从实用菜单中选择Select>Como/Assembly>Create Component，在“Component name”文本框中输入”node1”,点击【OK】。 (5)从实用菜单中选择Select>Everything。 (6)在实体选择对话框中在类型下拉列表中选“Lines”,选择方式选“By Num/Pick”,点击【Apply】，弹出线选择对话框，选择另一个齿轮上可能与前一个齿轮相接触的线，点击【OK】。 (7)在实体选择对话框中选择“Nodes”,在选择方式中选择“Attached to ”,在单选列表中选择“Lines, all”。 (8)从实用菜单中选择Select>Como/Assembly>Create Component，在“Component name”文本框中输入”node2”,点击【OK】。 (9)从实用菜单中选择Select>Everything。 (10)点击工具栏中的【接触定义向导】按钮(最后一项)，ANSYS会打开对话框，选择工具条中的第一项，会打开下一步操作向导，在对话框中选择”NODE2”，并点击【Next】，在对话框选取“NODE1”，点击【NEXT】。点击【Create】,显示建立接触对的结果: 3. 定义边界条件并求解 3.1 施加位移边界 (1)将当前坐标系设置为总体柱坐标系。从实用菜单中选择 WorkPlane>Change Actives CS to>Global Cylindrical。 (2)从主菜单中选择 Preprocessor>Modeling>Move/Modify>Rotate Node CS>To Active CS，打开节点选择的对话框，要求选择欲旋转的坐标系的节点。 (3)选择第一个齿轮内径上所有节点: a.点击【Pick All】,节点的节点坐标系都将被旋转到当前激活的总体坐标系下。 b.从实用菜单中选择Select>Entities，弹出实体选择对话框, (4)从主菜单中选择Solution>Define Loads>Apply>Structural>Displacement>on Nodes，代开节点选择对话框，要求选择欲施加位移约束的节点。 (5)选择第一个齿轮内径上所有节点，点击【Pick All】，打开在节点上施加位移约束对话框。如下图所示。选择”UX”方向，即施加径向位移约束，点击【OK】。 4. 查看结果 4.1 查看von Mises等效应力 从主菜单中选择General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu,打开“Contour Nodal Solution Data”对话框，选择“Stress”,复选“von Mises stress”。点击【OK】。出现“von Mises”等效应力分布图。 4.2 查看接触应力 从主菜单中选择General Postproc>Plot Results>Contour Plot>Nodal Solu,打开“Contour Nodal Solution Data”对话框，选择“Contact>Contact pressure”。点击 【OK】。等效应力分布图: