南京航空航天大学飞行器 结构力学 课后习题答案 第2章_0

南京航空航天大学飞行器 结构力学 课后习题答案 第2章_0 第二章 薄板的弯曲 2-1 写出2-1图所示矩形薄板的边界条件。OA为简支边，并作用有分布的弯 矩M。BC边为固支边，OC边为简支边。AB边为自由边。 Mx解:OA边:wx 0 0; 2w 2w 2w ,D(2,u2) ,D2 x yx 0 x ,M x 0 x 0 MyOC边:wy 0 0; y 0 2w 2w 2w ,D(2,u2) ,D2 y xy 0 y 0 y 0 BC边:wx a 0; w x 0 x a AB边:My y b 2w 2w ,D(2,u2) 0 y xy b Myx x ) y b (Q y, 3w 3w ,D[3,(2,u)2] 0 y x yy b 2-2 如图2-2所示，矩形薄板OA边和OC边为简支边，AB和BC为自由边，在点B受向下的横向集中力P。试证w mxy可作为该薄板的解答，并确定常数m、 ,D(2,u2),0 y xy 0 OA边上:wx 0 2w 2w 0; ,D(2,u2),0 x yx 0 2w 2w 3w 3w 0; ,D[3,(2,u)2] 0 AB边上:,D(2,u2) y xy b y x yy b 2w 2w 3w 3w 0; ,D[3,(2,u)] 0 BC边上:,D(2,u2) x yx a x x y2x a 2w) ,2D(1,u)m ,P 在B点上:,2D(1,u)( x yx a,y b m P 2D(1,u) 所以w Pxy 2D(1,u) 2w 2w 2w 2wMx ,D(2,u2) 0;My ,D(2,u2) 0; y x x y Mxy 2wP ,D(1,u) , ; Qy ,D 2w 0 Qx ,D 2w 0; x y2 y x 2wRA ,2D(1,u)() ,P RC; RO P x yA 2-3 有一矩形薄板，边长为a和b。若其挠度函数为w=Cxy(a-x)(b-y)，求该薄板受什么样的载荷和边界的支持条件。 解: w Cxy(a,x)(b,y) Cabxy,Caxy2,Cbx2y,Cx2y2 w Caby,Cay2,2Cbxy,2Cxy2; x w Cabx,2Caxy,Cbx2,2Cx2y; y 2w 2w22 ,2Cax,2Cx ,2Cby,2Cy;; 22 y x 4w 4w 4w 4C;4 0;4 0 x2 y2 x x 由 4w q/D 2 4C q/D q 8CD x 0时:wx 0 0; w x 0不是固支边，是简支边 x 0 (Mx)x 0 2w ,D2 x 2CD(y2,by) Mx x 0 x a时:wx a 0; w x 0不是固支边，是简支边 x a (Mx)x a 2w ,D2 x w y 2CDy(b,y) Mx x ay 0时:wy 0 0; 0不是固支边，是简支边 y 0 (My)y 0 2w ,D2 y 2CDx(a,x) My y 0 y b时:wy b 0; w y 0不是固支边，是简支边 y b (My)y b 2w ,D2 y 2CDx(a,x) My y b 2-5 四边简支正方形薄板，边长为a，在板中点受横向载荷P，试求最大挠度。 解:具体求解过程参照P52 P55。针对边长为a的四边简支正方形薄板 在板中点受横向载荷P。最大挠度为 wmax4P 42 Da 4Pa 4D2a4 222m 1n 1(m,n) 1 222m 1n 1(m,n) 精度取决于取多小项。 当取m n 1时，最大挠度为 wmax 0.0103Pa2/D ，受横向分布载荷q q0sin试证挠度函 2-5四边简支矩形薄板，边长为a和b 数w msin xasin yb， x asin y b是该板的解。并求最大挠度、最大弯矩及其位 置。 解:挠度函数w msin x asin y b满足四边简支的边界条件。即 2w在x 0,x a处，w 0,2 0 x 2w在y 0,y a处，w 0,2 0 y 由于 4w 4 x y msinsin44 xaab 4w 4 x y msinsin y4b4ab 4w 4 x y msinsin2222 xyabab 所以 4w (1214 x y,,) msinsina4a2b2b4ab q0 x y sinsinDab m 4(q0121 ,,) 4224aabbD q0a4 m 4 (1,a2b2)2D 则挠度函数为 q0a4 x yw 4sinsin 222 (1,ab)Dab 在x a/2,y b/2处，挠度取得最大值 wmaxq0a4 4 222 (1,a)D 弯矩 2w 2w 2 2 x yMx ,D(2, 2) Dm[2, 2]sinsin x yabab 2w 2w 2 2 x yMy ,D(2, 2) Dm[2, 2]sinsin y xbaab 在x a/2,y b/2处，弯矩取得最大值 (Mx)maxq0a2(1, a22) 2(1,a2b2)2(My)maxq0a4(1, b2a2) 22 222 b(1, ab) 2-6 已知圆形薄板的挠度方程为 w C[(5, )a4,2(3, )a2r2,(1, )r4] 式中a是板的半径，C是常数。试确定该挠度方程对应于怎样的边界条件和什 么样的载荷,并求出板的弯矩方程式。 解:因为挠度方程只是关于r的函数，故该圆形薄板的弯曲是轴对称弯曲。 (w)r a C[(5, )a4,2(3, )a2a2,(1, )a]4 C[(5, )a4,(6,1, )a4] 0 (1) )a3,4(1, )a3] (2) dr (dw)r a C[,4(3, ,8Ca3 d2w(2)r a C[,4(3, )a2,12(1, )a2] (3) dr 8 Ca3 (Mr)r ad2w dw ,D[2,]drrdr ,D[8 Ca2, 0 a8Ca2] (4) 由(1)式、(4)式(wr)r a 0,(Mr)r 的边界条件为简支边。 a 0知道该挠度方程所对应的圆形薄板 轴对称圆形薄板弯曲的基本微分方程为 d21d2(2,)w qDdrrdr d4w2d3w1d2w1dw 4,,2,3 qD 32rdrrdrrdr dr C 64(1, ) qD q 64CD(1, ) 圆板的弯矩达式 d2w dwMr ,D(2,) drrdr 4CD(1, )(3, )(a2,r2) 1dwd2wM ,D(, 2)rdrdr 22 4CD(1, ) (3, )a,(1,3 )r) 2-7 半径为a的圆形薄板，周边简支，在中心受集中载荷P，试求薄板的挠度 和 (1) 根据边界条件: 在r 0处 dw 0 C1 0 (2) dr dw 2C2rlnr,C2r,2C3rdr 1dw 2C2lnr,C2,2C3 rdr d2w 2C2lnr,3C2,2C3dr2 d2wudwMr ,D(2,)drrdr ,D[2(1, )C2lnr,(3, )C2,2(1, )C3] dd2w1dwQr ,D(2,)drdrrdr 4C ,D2 r P(b很小) 2 b 4CPP D2 (3) C2 b2 b8 D 将(2)式、(3)式代入(1)式得 集中载荷P可化为分布载荷 Pr2 4) 8 D w lnr,C3r2,C4 ( 在r=a处 wr a 0(Mr)r a 0 即 Pa2 lna,C3a2,C4 0 (5) 8 D , )lan, 2C2(1,( 3C2),2, (1C3 ) 0 (6) 联立(3)、(5)、(6)式，解得 PlnaP(,3 ),8 D1 6D(,1 ) (7) 2Pa(3, )C4 16 D(,1 )C3 , 4)，得到薄板挠度函数表达式 将(7)代入( w Pr3, 22[2r2ln,(a,r)] 16 Da1, 薄板的内力 Qr ,P 2 r Pa Mr (1, )ln4 r PaM [(1, )ln,(1, )]4 r 2-8 半径为a的圆形薄板，周边固定，沿半径r=b(b<a)的圆周受有均布线载 荷，每单位长度上的集度为q0，试求此薄板的挠度表达式。 解:将圆板分为0 r b和b r a两部分。 根据轴对称圆形薄板弯曲的特点， 设挠度表达式为 w C1lnr,C2r2lnr,C3r2,C4 dw1 C1,2C2rlnr,C2r,2C3rdrr1dw1 C12,2C2lnr,C2,2C3 rdrrd2w1 ,C12,2C2lnr,3C2,2C32 drr d2wudw Mr ,D(2,) drrdr 1 ,D[,C1(1, )2,2C2(1, )lnr,C2(3, ),2C3(1, )] rdd2w1dw Qr ,D(2,) drdrrdr 4C ,D2 r 对于在r=a处，wr 0drMr’ Mr Qr’,Qr q0 dw’dw drdr C1lna,C2a2lna,C3a2,C4 0 1 C1,2C2alna,C2a2,2C3a2 0 a ‘ C1lnb,C2b2lnb,C3b2,C4 C3’b2,C4 1’ C1,2C2blnb,C2b2,2C3b2 C3’b2,C4 b ’C1 ,2C2(1, )lnb,C2(3, ),2C3(1, ) 2C3(1, ) ,(1, )2b 4D C q02 b q0b3qb C1 C2 0 4D4Dq0bq0b2q0b3b22 C3 ,(1,2)C4 (a,b),lna 8Da8D4D 2 qb1bbC3’ 0[(1,2),ln] 4D2aaq0a2bb2b1b2’ C4 [ln,(1,2)] 4Da2a2a 因此，薄板的挠度表达式为 q0a2br2b2b1b2r2 w [(2,2)ln,(1,2)(1,2)] 4Daaa2aaq0a2br2b2r1b2r2 w [(2,2)ln,(1,2)(1,2)] 4Daaa2aa (0 r b) (b r a) 2-9半径为a的圆形薄板，周边简支，中心有连杆支座，在边界上受均布弯矩 M0作用，试求薄板的挠度和内力。 解:设挠度的表达式为 w C1lnr,C2r2lnr,C3r2,C4 dw1 C1,2C2rlnr,C2r,2C3rdrr1dw1 C12,2C2lnr,C2,2C3 rdrrd2w1 ,C12,2C2lnr,3C2,2C3 dr2r d2wudw Mr ,D(2,) drrdr 1 ,D[,C1(1, )2,2C2(1, )lnr,C2(3, ),2C3(1, )] r dd2w1dwQr ,D(2,)drdrrdr 4D ,C2r w 0 C1 C4 0，于是 在r=0处， w C2r2lnr,C3r2 在r=a处，wr a 0(Mr)r a M0，即 C2a2lna,C3a2 0 ,D[2C(1, )lna,C(3, ),2C(1, )] M2230 C2 , w ,M0(3, )DC3 M0lna (3, )DM0M0r2lnr,lnar2 (3, )D(3, )D M0r2a ln(3, )Dr 薄板的内力 Qr 4M0 (3, )r 2,1, ,r Mr M0 1,ln 3, a M0 r M 1,3 ,21, ln,,,,3, a