4.4 高斯公式
一、教学目标及基本
通过对本节课的学习,使学生掌握积分的高斯求积公式。
二、教学
及学时分配
本节主要介绍高斯求积公式。具体内容如下:高斯点、基于埃尔米特插值的高斯型求积公式、高斯型求积公式的数值稳定性。
三、教学重点难点
1.教学重点:高斯型求积公式。
2. 教学难点:高斯型求积公式数值稳定性。
四、教学中应注意的问题
多媒体课堂教学为主。适当提问,加深学生对概念的理解。
五、正文
Gauss公式
1 引言
牛顿—柯特斯型求积公式是封闭型的(区间[a,b]的两端点a, b均是求积节点)而且要求求积节点是等距的,受此限制,牛顿—柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n (n为奇数)或n+1 (n为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅
而且
也加以选取,这就可以增加自由度,从而可提高求积公式的代数精确度。
2.高斯求积公式和高斯点
例:
其中,
固定在
,
可以适当选取,得到的是梯形公式,其代数精确度只有1。如果对求积节点
也进行适当选取,得到如下公式:
这个积分公式的代数精确度为3,这就是高斯型求积公式,上面的求积节点
称为高斯点。
定义1:高斯型求积公式和高斯点
对于含有2n+2个参数
的求积公式:
,适当选取这2n+2个参数,可以使得数值积分公式的代数精确度达到2n+1,我们称这一类求积公式为高斯型求积公式,称这类求积公式的积分节点为高斯点。
定义2:如果n+1个求积节点的求积公式的代数精确度为2n+1,则这n+1个求积节点称为高斯点。
高斯公式求积区间为[-1,1],对于任意求积区间[a,b],可通过变换:
,可以转到区间[-1,1]上,这时:
求积公式写为
由于
式是插值型求积公式,只要节点
确定了,求积系数
也随之确定,因此,解决问题的关键在于节点
的选取,即构造高斯求积公式的关键是求高斯点。
3. 高斯点的特征
定理:插值型求积公式
中,节点
为高斯点的充分必要条件是:在区间[-1,1]上,以这些点为零点的n+1次多项式
与任意的次数都不超过n的多项式
正交,即:
证明:(必要性)设
为高斯点,则对于任意次数不超过
次多项式
,
是次数不超过
次的多项式,高斯公式对
是准确成立的,且注意到
,故
。
可见以高斯点为零点的n+1次多项式
与一切次数不超过n的多项式
正交。
(充分性)设对于一切次数不超过
次的多项式
,成立
,
又设
是次数不超过
次的多项式,用
去除
,商
,余
,即
,可知,
和
均是不超过n次的多项式,从而
由正交条件
有
又因求积公式是插值多项式的构造导出的,由
的选取,其代数精确度可以达到n,而
是次数不超过n次的多项式,因此成立
又注意到
由于
是次数不超过
次的多项式,因此该积分公式的代数精确度至少为
,因而节点
是高斯点。
可以根据正交条件直接求得高斯点,但涉及解线性方程组,需要寻找新
。
4 高斯—勒让德求积公式
Legendre多项式
称为勒让德(Legendre)多项式。其具有前面提到的正交性质,即对于任意次数不超过
的多项式
,成立
。
因此,多项式
的零点就是相应的高斯—勒让德求积公式的高斯点。勒让德多项式的前几项如下:
,
,
当取一个节点
时,因
,其零点为
,以
为节点,其公式为
,令其对
精确成立,得
,所以,高斯-勒让德求积公式为:
(一点高斯公式)
当取两个节点
时,因
其零点为
,
。以
为节点构造其公式为:
令其对
都精确成立,得
从而得两点高斯-勒让德公式:
(两点高斯公式)
当取三个节点
时,因
其零点为
,
,
。以
为节点构造其公式为:
令其对
都精确成立,得
例 用三个节点的高斯-勒让德求积公式,求
解:积分区间是[0,1],先做变换:
,把区间[0,1]化为[-1,1]上的积分,有:
用复合梯形求积公式计算,对积分区间二分11次,用2049个函数值,才取得7位有效数字,用龙贝格积分公式,对积分区间二分三次,用了9个函数值,取得了同样的结果。本例仅用了三个函数值,取得同样结果,这说明高斯求积公式的精度是非常高的。
(1)含义:
积分公式的一般形式;
以前的节点是按等间距来选择,为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值。
(2)一点高斯公式
设一点高斯公式的形式为:
其实
都是需要待定的值。根据代数精度概念,
令
,使积分公式准确成立,有
解得:
,
,故一点高斯公式为:
,即为中矩形公式,它具有1次代数精度。
(3)二点高斯公式
设一点高斯公式的形式为:
其实
都是需要待定的值。根据代数精度概念,
令
,使积分公式准确成立,有
该方程组不是线性方程组,故其求解比较困难,最后解得:
解得:
,
,故二点高斯公式为:
,它具有3次代数精度。
n点高斯公式具有至少2n-1次代数精度。
(4)勒让德多项式
,
………..
可以证明,勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式:
(5)三点高斯公式
确定公式
中的6个参数。
3次勒让德多项式
则其零点为:
。令
,使积分公式准确成立,有
解线性方程组,得
,故三点高斯公式为:
小结
这节课我们主要学习了高斯型求积公式及其数值稳定性的探讨。
作业:课后相应习题。