理论力学（范钦珊、刘燕清华大学出版社）第2章力系的等效与简化习题解

理论力学（范钦珊、刘燕清华大学出版社）第2章力系的等效与简化习解 第2章 力系的等效与简化 2,1试求图示中力F对O点的矩。 习题2-1图 M(F),M(F)，M(F),M(F),Fsin,,l解:(a) OOxOyOy M(F),Fsin,,l (b) O M(F),M(F)，M(F),,Fcos,Fl,sin,(l，l) (c) OOxOy213 22M(F),M(F)，M(F),M(F),Fsin,l，l (d) OOxOyOy12 2,2 图示正方体的边长a =0.5m，其上作用的力F=100N，求力F对O点的矩及对x轴的力矩。 F 解: M(F),r，F,a(i，k)，(,i，j)OA2 Fa,(,i,j，k)A 2rA ,35.36(,i,j，k)kN,m M(F),,35.36kN,m (a) x习题2-2图 2,3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F=100N，AB=100mm，BC=400mm，CD=200mm，, = 30?。试求力F对x、y、z轴之矩。 解: 2 M(F),r，F,(0.3j,0.4k)，F(sin,i,sin,cos,j,cos,k)AD22 ,,100cos,(0.3，0.4sin,)i,40sin,j,30sin,k 力F对x、y、z轴之矩为: (M),,F100cos(,0.3，0.4sin),,,503(0.3，0.2),,43.3N,mx 2 M()F,,40sin,,,10N,my 2 M()F,,30sin,,,7.5N,mz习题2-3图 2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内沿对角线AE有一个力F， 图中θ =30?，试求此力对各坐标轴之矩。 — 6 — 解: M(F),r，F,ai，F(,cos,cos45:i，cos,sin45:j，sin,k)OA ,aF(,sin,j，cos,sin45:k) 力F对x、y、z轴之矩为: M(F),0x aF F,,,:,,M()aFsin30y2 6习题2,4图 MaFFa(F),cos30:sin45:,z4 2,5 如图所示，试求力F对A点之矩及对x、y、z轴之矩。 解:M(F),r，F AAB rijkAB ,-ddd43FF055 1 = Fd(,3i，4j,7k)5 F习题2,5图 M(F),dj，(4i，3j)(a) O5 4力F对x、y、z轴之矩为:;; M(F),0M(F),0MFd(F),,xyz5 2—6 在图示工件上同时钻四个孔，每孔所受的切削力偶矩均为8N?m，每孔的轴线垂直于相应的平 面。求这四个力偶的合力偶。 M,M，M，M，M 解: M3 1234 43 ,,(M，M)i,Mj,(M，M)kM4 14234553 4 ,,14.4i,8j,12.8kN,m M2 M1 习题2,6图 (a) 2,7 已知一平面力系对A(3,0)，B(0,4)和C(–4.5,2)三点的主矩分别为:M = 20kN?m，M = AB 0，M =–10kN?m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。 C 解:由已知M = 0知合力F过B点; 由M = 20kN?m，M = -10kN?m知F位于BRACR A、C间，且 AG,2CD (图a) 在图(a)中，设 OF = d，则 d,4cot, (d，3sin,),AG,2CD (1) dCD,CEsin,,(4.5,)sin, (2) 2 d(d，3)sin,,2(4.5,)sin,即 习题2,7图 2 d，3,9,dd,3 ， F点的坐标为(-3, 0) 合力方向如图(a)，作用线如图过B、F点; — 7 — 4 , tan,y3EG44AG,6sin,,6，,4.8 5C M,F，AG,F，4.8,ARRD22025F,,kN R,3d4.86,4.5AOxF510F,(,)kN 即 R23FR 4y,x，4 作用线方程: 3(a) 讨论:本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。 ,F 2,8 已知F = 150N，F = 200N，F = 300N，F == 200N。求力系向点O的简化结果，并求力123 系合力的大小及其与原点O的距d。 Fy80,F1yy3F2MFo3dxxxooo110011F,FR2.7R21F2001 习题2,8图 12解: ,F,,Fcos45:,F,F,,437.6 Nx123105 31 ,F,,Fsin45:,F，F,,161.6 Ny123105 1 ,M(F),Fsin45:，0.1，F，0.2,0.08F,21.44 N,mO135 向O点简化的结果如图(b);合力如图(c)，图中 '22F,(,F)，(,F),466.5 NM,21.44 N,m ， xyOR M'OF,F,466.5 N合力， d,,45.96 mmRRFR 2 2,9 图示平面任意力系中F = 40N，F = 80N，F = 40N，F = 110M，M = 2000 N?mm。各力1234作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm。求(1)力系向O点简化的结果;(2)力系的合力的大小、方 向及合力作用线方程。 yyy F1F(0,30)245:MM(20,20)o,Fxxx(-50,0)Rooo FR(0,-6)F3(20,-30)F4 习题2,9图 F,,F,Fcos45:,F,F,,150 N解: Rxx124 F,,F,Fsin45:,F,0 Ryy13 — 8 — '22F,(,F)，(,F),150 N xyR M,,M(F),30F，50F,30F,M,,900 N,mm OO234 向O点简化结果如图(b);合力如图(c)，其大小与方向为 'F,F,,150i N RR 设合力作用线上一点坐标为()，则 x,y M(F),M,xF,yF ORORyRx ''FMFy,,6 mm将、和值代入此式，即得合力作用线方程为: RyRxO 2,10 图示等边三角形板ABC，边长a，今沿其边缘作用大小均为F的力，方向如图(a)所示，求P三力的合成结果。若三力的方向改变成如图(b)所示，其合成结果如何, FP FFFC,AR d PP FM PA,FFFFRAPF BFA PP P P 习题2,10图 'F,,F,0解(a) iR 33 ,,,(逆) MFaFaAPP22 3合成结果为一合力偶(逆) ,MFaP2'F,,2Fi (b)向A点简化(?) RP 3M,Fa (逆) AP2 M3AA'再向点简化， d,,a'4FR F,,2Fi 合力(?) RAP 2,11 图示力系F = 25kN，F = 35kN，F = 20kN，力偶矩m = 50kN?m。各力作用点坐标如图。试123 计算(1)力系向O点简化的结果;(2)力系的合力。 解(1)向O点简化 'F,,F,10k kN iR M,,M(F) OO i j ki j ki j k ,50j，3 -2 0，2 2 0，-3 2 0 习题2,11图 z0 0 250 0 -350 0 20 ,F,(,80i，105j) kN,mR M0F,10k kN(2)合力 RFR(x,y,0)设合力作用线过点，则 yoMa(a,0,0)A x — 9 — i j k x y 0,M,,80i，105jO 0 0 10 y,,8.0 ，， x,,10.5z,0合力作用线过点(-10.5，-8.0，0)。 2,12 图示载荷F=1002N， F=2002N，分别作用在正方形的顶点A和B处。试将此力系向OPQ点简化，并求其简化的最后结果。 F,100(,i，k) N解: P F,200(,i,j，k) N Q i j ki j k M(F),1 0 0，1 1 0O ,100 0 100,200 -200 200 ,(200i,300j) N,m 习题2,12图 'F,,F,(,300i,200j，300k) N iR M,r，F，F，FOAPBQ 'F,F,(,300i,200j，300k) N合力 RR x,y,0设合力过点()，则 i j k x y 0,M,200i,300jO ,300 -200 300 2y,得 x,1，，z,0 3 21,,0即合力作用线过点()。 3 2,13 图示三力F、 F和 F的大小均等于F，作用在正方体的棱边上，边长为a。求力系简化的123最后结果。 解:先向O点简化，得 'M,Faj，FakF,Fk ， OR 'F,M,0因，故最后简化结果为一力螺旋。 OR 'F,FkM,Fak该力螺旋， R ,O(x,y,0)设力螺旋中心轴过，则 习题2,13图 r，F,M,Faj ,OR1 i j k 即 x y 0,Faj 0 0 F y,0z,0x,,a得 ，， ,a,0,0即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为()。 — 10 — =F=F=F= F，问力系向点A和B简化的结果是什麽,二者是否2,14 某平面力系如图所示，且F1234 等效, 解:(1)先向A点简化，得 ,F,2F(i,j)M,2Fa ; RA (2)再向B点简化，得 ,F,2F(i,j)M,0 ; RB 二者等效，若将点B处的主矢向点A平移，其结果与(1)通。 习题2,14图 2,15 某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗,可能是一个力偶吗,可能平衡吗, 解:可能是一个力，也可能平衡，但不可能是一个力偶。 因为(1)，平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩，而由已知是:向两点简化 ,,F,M,0F,M,0的主矩皆为零，即简化结果可能为()，()(主矢与简化中心无RARB',F,0F,F关)，若，此时已是简化的最后结果:一合力经过A点，又过B点。 RRR ,F,0(2)若该主矢，则此力系平衡，这显然也是可能的;最后结果不可能是一力R 偶，因为此时主矩不可能为零，与(1)矛盾。 2,16 平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果可能是一个力吗,可能是一个力和一个力偶吗, 解:平面汇交力系向汇交点(设为A点)简化的结果要么是一个力，要么是平衡，若不平衡，则为过汇交点A的一个合力，这个力再向汇交点外某点(设为B点)简化，如果过汇交点A的合力方向与AB连线重合，同该汇交力系向汇交点A以外的B点简化，则可能是一个力;如果过汇交点A的合力方向与AB连线不重合，则该汇交力系向汇交点以外的B点简化(由力平衡定理知)结果可能是一个力和一个力偶。 — 11 —