构造长方体模型解题

构造长方体模型解题 江苏省太仓高级中学 黄晓峰 一、构造长方体模型解“有关位置关系的判断问题”( 1.如图，在正方体ABCD,ABCD中，M、N、P、Q分别是AA、AD、CC、BC的中点，给出以下四11111111个结论: ?AC?MN;?AC?平面MNPQ;?AC与PM相交;?NC与PM异面(其中不正确的结论是 111 A(? B(? C(? D(? 解析 如图所示～AD?AD～AD?DC～ 111 ?AD?平面ADC～ 11 ?AD?AC. 11 又?AD?MN～?AC?MN～故?正确, 11 在矩形ACCA中～易得AC与PM相交～故?正确( 111 又?PM?平面MNPQ～ ?AC与平面MNPQ相交～故?错误( 1 易知N?平面MNPQ～C?平面MNPQ～PM?平面MNPQ～N?PM～ ?NC与PM异面～故?正确～所以选B. 答案 B 2. 在正方体ABCD ,ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则以下结111111 论:?EF与CC垂直;?EF与BD垂直;?EF与AC异面;?EF与AD1111 异面，其中不成立的序号是________( 解析 连结AB～在?ABC中～EF?AC～所以?～?～?正确～?错( 11111 答案 ? 二、构造长方体模型解“有关三视图问题” 3.(一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 解析:将这个几何体的三视图还原成实体，以如下的长方体模型作为 1S,，，,42343手术台，这个几何体的底面积 2 11DCVsh,,，，,43238体积， 33 BA22三、构筑模型求有关体积问题 234( 在三棱锥A,BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，?ABC，?ACD，?ABD的面积分别为，，22 1 6，则三棱锥A,BCD的外接球体积为________( 2 答案 6π 解析 如图～以AB～AC～AD为棱把该三棱锥扩充成长方体～则该 长方体的外接球恰为三棱锥的外接球～ ?三棱锥的外接球的直径是长方体的对角线长( AB?AC,2～AB,2～,, AC,1～据题意解得 AC?AD,3～,, ,,AD,3～AB?AD,6～ 222?长方体的对角线长为AB，AC，AD,6 5( 如图所示，已知在多面体ABC—DEFG中，AB，AC，AD两两垂直， 平面ABC?平面DEFG，平面BEF?平面ADGC，AB,AD,DG,2， AC,EF,1，则该多面体的体积为________( 答案 4 解析 (补形法)如图所示～将多面体补成棱长为2的正方体～那么显 1V,然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半(于是所求几何体为 2 3×2,4. 四、利用模型位置关系 6(如图，在正方体ABCD,ABCD中，M，N，G分别是AA，DC，AD的中点( 111111 (1)求证:MN?平面ABCD; (2)设α是过MN的任一平面，求证:α?平面BBG. 1 证明 (1)取CD的中点E～连接NE～AE～ ,N为CD的中点1,,?NE?MA且NE,MA～ E为CD的中点,, 所以MAEN为平行四边形( 所以MN?AE. MN?AE,,MN?平面ABCD?MN?平面ABCD. , ,AE?平面ABCD, (2)在正方形ABCD中～易证?BAG??ADE～ 所以?DAE，?AGB,?ABG，?AGB,90?. 所以AE?BG. ,BB?平面ABCD1,,?BB?AE. 1 AE?平面ABCD,, AE?BG,,BB?AE?AE?平面BBG. 1,1 ,BG?BB,B,1 又MN?AE～所以MN?平面BBG. 1 2 ,MN?平面BBG1,,?α?平面BBG. 1 MN?α,, 7.如图所示，在直四棱柱ABCD,ABCD中，底面是正方形，E，F，G分别是1111 棱BB，DD，DA的中点(求证:平面ADE?平面BGF. 111 证明: ?E～F分别是BB和DD的中点～?DF綊BE～ 111?四边形BEDF是平行四边形～?DE?BF. 11 又?DE?平面BGF～BF?平面BGF～?DE?平面BGF. 11?FG是?DAD的中位线～?FG?AD. 11 又AD?平面BGF～FG?平面BGF～?AD?平面BGF. 11又?AD?DE,D～?平面ADE?平面BGF. 1111 8.如图所示，在正方体ABCD,ABCD中，E是棱DD的中点( 11111(1)证明:平面ADCB?平面ABE; 111 (2)在棱CD上是否存在一点F，使BF?平面ABE,证明你的结论( 1111(1)证明 如图～因为ABCD,ABCD为正方体～所以BC?面ABBA. 11111111 因为AB?面ABBA～所以BC?AB. 111111 又因为AB?AB～BC?AB,B～ 111111 所以AB?面ADCB. 111 因为AB?面ABE～所以平面ADCB?平面ABE. 11111(2)解 当点F为CD中点时～可使BF?平面ABE. 1111证明如下: 1易知:EF?CD～且EF,CD. 112 1设AB?AB,O～则BO?CD且BO,CD～ 1111112所以EF?BO且EF,BO～ 11 所以四边形BOEF为平行四边形( 1 所以BF?OE. 1 又因为BF?面ABE～OE?面ABE. 111 所以BF?面ABE. 11 3