第十一讲 小数加减法的简算和方阵
知识概要
1、掌握小数加、减法的计算法则,能够正确的进行计算。会用竖式计算连加和连减的小数加减法式题。
2、学习并掌握求平均数的方法:平均数=总数量÷总份数。能够解决一些简单的求平均数的实际问题。
经典例题
例1 用竖式计算。
(1)4.52+21.5+36.183+0.94+1.267=64.4
(2)75.36-42.5-8.493-15.7=7.667
例2有6个同学的身高分别是1.51m、1.52m、1.50m、1.49m、1.53m、1.51m。他们的平均身高是多少?
分析与解:
移多补少求平均数。
把条件中的六个数按从小到大的顺序排列:
1.49 1.50 1.51 1.51 1.52 1.53
1.49比1.51少0.02,而1.53比1.51多0.02,从1.53中拿出0.02,补给1.49,两各个数都是1.51;同理从1.52中拿出0.01,补给1.50,两各个数都是1.51。所以六个数的平均数是1.51。
答:六个人的平均身高是1.51m。
例3王师傅在一周内加工零件,前3天平均每天加工42个,后4天平均每天加工49个,这7天平均每天加工多少个?
分析与解:
方法1:按常规方法解答,总数量÷总份数。
(42×3+49×4)÷7
= 322÷7
= 46(个)
方法2:如果把“后4天平均每天加工49个”转变为“后4天平均每天加工42个”,每天就多加工7个,4天就多加工7×4=28个,把28个再分配到4天里,这就是移多补少的方法。
42+(49-42)×4÷7
= 42+7×4÷7
= 46(个)
答:王师傅平均每天加工46个。
例4 王叔叔加射击比赛,前四次的平均成绩是94环,第五次射击后,他的平均成绩下降了2环。王叔叔第五次的成绩是多少环?
分析与解:
方法1:用五次的总成绩减去前四次的成绩就是第五次的成绩。
(94-2)×5-94×4
= 460-376
= 84(环)
方法2:“移多补少”画长方形图求平均数。
王叔叔第五次成绩低于94-2=92环,而五次的平均成绩是92环,是由于其他四次的平均成绩高于92环。用多出的环数补给第五次,才能使五次的平均成绩达到92环。
从图中看出,ABCD的面积
示前四次的总成绩,CEJI的面积表示第五次的成绩,AHGD的面积表示前四次的成绩比92环多的环数之和,GIJF的面积表示补给第五次的环数。AHGD的面积和GIJF的面积相等。
94-2-2×4
= 92-8
= 84(环)
答:王叔叔第五次的成绩是84环。
例5 在一次数学考试中,甲、乙、丙、丁四名同学的得分恰好是四个连续的自然数。在计算四名同学的平均成绩时,甲、乙、丙、丁四名同学的计算结果分别是95分、96分、96.5分和96.25分。但是这四名同学的计算结果只有一人是正确的。那么,四名同学中得分最高的人得了多少分?
分析与解:
方法1 :把四人的成绩按从小到大的顺序排列。前三人的成绩分别加上3分、2分、1分,则分别与第四人的成绩相同。因此四人的总分加上3+2+1=6(分)后应是最高分的4倍。因为每人的分数都是自然数,因此只有96.5+6是4的倍数,所以丁算的结果是正确的。
(96.5×4+6)÷4
= 392÷4
= 98(分)
方法2 :四个连续的自然数,一定有一个数除以4余数是0,有一个数除以4余数是1,有一个数除以4余数是2,有一个数除以4余数是3。因此这四个数的和除以余数是2,2除以4末尾一定是0.5,所以丁算的结果是正确的。求出四人的总分后再除以2,就是最高分与最低分的和,他们两人的差是3,最后根据“和差问题”的方法解答。
96.5×4÷2=193(分)
(193+3)÷2=98(分)
方法3:用移多补少的方法求平均数。
把四个人得的分数按从小到大的顺序排列,四个人的平均成绩应等于中间两个数和的一半。所以一定是96.5分。可按方法二解答。
由方法三可得出两条重要的结论:
(1)奇数个连续自然数的平均数是整数。
(2)偶数个连续自然数的平均数是一个十分位是5的小数。
基本训练
1、用竖式计算。
(1)9.63+18.4+12.568+7.54+3.572=
(2)90.25-32.8-8.456-27.624=
2、求2.2、2.5、2.6、2.7、2.8、2.3、2.4、2.5这八个数的平均数。
3、某厂第一季度中,一月份生产机床1780台,二月份比一月份多生产的机床220台,三月份比二月份多生产100台,这三个月平均每月生产机床多少台?
4、一个修路队修一条路,前2天平均每天修71米,后3天平均每天修96米。这个修路队平均每天修路多少米?
5、绿色环保小学三年级的四个班同学参加植树活动,一班和二班平均每班植树57棵,三班和四班平均每班植树55棵,三年级平均每班植树多少棵?
拓展提高
1、王静语文、数学、英语三门的平均成绩是95分,其中数学、英语两科的平均成绩是97分,语文多少分?
2、幸福小学三1班、三2班和三3班参加学校的为“希望小学”捐课外
活动,三1和三2两个班平均捐书128本,三2和三3两个班平均捐书112本,三1和三3两个班平均捐书150本,三个班平均捐款多少元?
3、食品店把2千克的奶糖、4千克的水果糖和3千克的酥糖混合成什锦糖,每千克的奶糖13元,每千克的水果糖10元,每千克的酥糖8元,什锦糖每千克售价多少元?
奥赛训练
1、一位运动员进行登山训练,从山脚出发,山路长12千米,上山每小时行3千米,走到山顶后按原路返回,下山时每小时行6千米。这位运动员平均速度是多少千米?
2、在一次测验中,甲、乙的平均成绩是92分,乙、丙的平均成绩是90分,甲、丙平均成绩是94分。甲、乙、丙的成绩分别是多少?
第十二讲 小数加减法及简算
知识概要
1、掌握把整数加、减法的运算定律应用到小数加、减法中进行简算。加法交换律加法:a+b=b-a,加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、进一步学习求平均数问题,掌握求平均数的方法:平均数=总数量÷总份数。能够解决求平均数的实际问题。
经典例题
例1 6.6+2.52+3.4+5.3+7.48
分析与解: 6.6+2.52+3.4+5.3+7.48
=(6.6+3.4)+(2.52+7.48)+3.4
= 10+10+3.4
= 23.4
加法交换律加法:a+b=b-a,加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c),可以应用到小数加法中。
例2 9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8+999999.8
分析与解:9.8+99.8+999.8+9999.8+99999.8+999999.8
=9.8+100+1000+10000+100000+1000000-1
=1111109.8-1
=1111108.8
例3 25.9+24.8+26.3+25.5+24.9+25.1+24.8+26.1
分析与解:
这些个加数有的比25稍微大,有的比25稍微小,所以以25为基准数, 25.9比25大0.9, 就加上0.9; 24.8比25小0.2,就减去0.2……,共有八个数就先用25×8,再加上或减去差的部分。
25.9+24.8+26.3+25.5+24.9+25.1+24.8+26.1
= 25×8+0.9-0.2+1.3+0.5-0.1+0.1-0.2+1.1
= 200+3.8-0.4
= 203.4
例4 把45表示成若干个(多余一个)连续自然数的和。
分析与解:
(1)由于45=9×5,所以可把45看作5个9的和。从移多补少的角度考虑,把9看做中间数,依次在9的前后两边分别写出两个相邻的自然数。得到:7+8+9+10+11。
同理,45=5×9,15×3,3×15。
得到:1+2+3+4+5+6+7+8+9;14+15+16;5+6+7+8+9+10。
(2)任何大于1的数的奇数都可以表示成两个连续自然数的和。得到:22+23。
所以此题的答案一共有六个。
例5 三年级进行口算比赛。第二名到第六名平均每人做对120道题,比前六名做对题目的平均数少2道。问第一名同学做对多少道题?
分析与解:
方法1:先求六名同学做对的总的题数,再减去第二名到第六名 做对的总题数,就是第一名做对的题数。
(120+2)×6-120×5
= 732-600
= 132(题)
方法2:前六名平均每人做对的题数比第二名到第六名的平均数多2道题,6人就一共多做对2×6=12(题),这12道题就是第一名在计算人的平均数时拿出来的,因此再加上六人的平均数,就是第一名做对的题数。
120+2×6=132(题)
答:第一名同学做对132道题。
例6 李小宁参加六次测试,第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分。如果后三次平均分比前三次平均分多3分。那么,第四次比第三次多得多少分?
分析与解:
根据“第三、四次的平均分比前两次的平均分多2分,比后两次的平均分少2分”可以知道第三、四次的和比前两次的和多2×2=4分,比后两次的和少2×2=4分。那么第五、六两次的和比第一、二两次的和多4+4=8分。又根据“后三次平均分比前三次平均分多3分”, 可以知道后三次的和比前三次的和多3×3=9分。所以第四次比第三次多9-8=1分。
2×2=4(分) 2×2=4(分) 4+4=8(分)
3×3=9(分) 9-8=1(分)
答:第四次比第三次多得1分。
基本训练
1、用简便方法计算下面各题
(1)3.2+0.43+4.9+6.8+0.57+5.1 (2)15.3+78.2+5.67+84.7+4.33
(3)15.9+16.3+15.6+16.4+16.2
(4)1999.9+199.9+19.9+1.9
2、星关小学四年级四个班的同学植树,一班、二班和三班平均每班植树51棵,二班、三班和四班平均每班植树55棵。四班比一班多植树多少棵?
3、把165表示成六个连续自然数和的形式。
4、已知15个连续自然数的和是2055,依次写出这15个自然数。
拓展提高
1、小琦跳了三次绳,平均每次跳了156下,要想使跳四次的平均数是160下,他第四次要跳多少下?
2、小明在一次考试中,前四科的平均分是80分,数学成绩比五科的平均分高4分。小明的数学成绩是多少分?
3、甲、乙二人合买了若干千克苹果,平均分后甲又向乙要了3千克,所以甲多付了18元。这种苹果每千克多少元?
4、甲、乙、丙三人参加春游,甲带了5个面包,乙带个面包带了3个面包,午餐时三人平均分吃了这些面包,于是丙拿出了6元4角给了甲、乙二人。甲乙二人如何分这些钱?
奥赛训练
1、小丽参加了数学、语文、英语三个学科的测试,如果不算数学平均成绩是90分,如果不算语文平均成绩是91分,如果不算英语平均成绩是95分。小丽这三个学科的平均成绩是多少分?
2、一次跳绳比赛中,前七名同学跳的平均成绩是94个,第一名到第五名的平均成绩是98个,第六名比第七名多跳2个,第七名同学跳了多少个?
3、五个人参加射击比赛,其中四个人的成绩分别是90环、82环、93环和97环,第五个人的成绩比五个人的平均成绩高出6环,第五个人的成绩是多少环?
第十三讲 小数加减法及简算
知识概要
1、掌握把整数加、减法的运算定律应用到小数加、减法中进行简算。加法交换律加法:a+b=b-a,加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c),减法的运算性质:a-b-c= a-(b+c)。
2、学习方阵的有关知识,掌握求方阵每层的个数,每边的个数,中实方阵、中空方阵的总数的方法。
经典例题
例1 25.06-1.27-4.6-3.34-5.4-0.39
分析与解:
25.06-1.27-4.6-3.34-5.4-0.39
= 25.06-(1.27+3.34+0.39)-(4.6+5.4)
= 25.06-5-10
= 10.06
减法的运算性质:a-b-c= a-(b+c),可以应用到小数加法中。
例2 24.6+3.56-2.89+25.4+1.27-3.38+2.17-3.64
分析与解: 24.6+3.56-2.89+25.4+1.27-3.38+2.17-3.64
=(24.6+25.4+1.27+2.17+3.56)-(2.89+3.38+3,64)
= 57-6.89
= 50.11
交换加数和减数的位置,要连同数前面的运算符号一起”搬家”,这样运算结果不会改变。
例3 0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+…+0.97+0.99
分析与解:
这道题一共有50个加数,前5个数构成了公差是0.2的等差数列,后面的45个数构成了公差是0.02的等差数列。
0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+…+0.97+0.99
=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.99)×45÷2
= 1×5÷2+1.1×45÷2
= 2.5+24.75
= 27.25
方阵问题
例如:把36枚棋子摆成6×6的正方形(如图1),叫做中实方阵。这个中实方阵共有3层。第一层(最外层),每边有6粒棋子,这一层共有20粒棋子;第二层,每边有4粒棋子,这一层共有12粒棋子;第三层,每边有2粒棋子,这一层共有4粒棋子。这种方阵叫中实方阵。中间没有,就叫做中空方阵(如图2)。
方阵中每相邻的两边个数相差2,每相邻的两层个数相差8。
中实方阵总数=最外层每边个数×每边个数。
中空方阵总数先算出每边的个数。把这个方阵看成中实方阵,把中间空的部分也看成中实方阵,两个方阵的差就是中实方阵的总个数。
一层的个数:
方法1 每边个数×4-4, 6×4-4=20
方法2 (每边个数-1)×4 (6-1)×4=20
图1 图2
例4 用棋子排成中实方阵,最外层共有84粒,这个中实方阵一共有多少粒棋子?
分析与解:
首先要求出最外层每边有多少粒棋子。84÷4=21(粒),是每边不包括角上的一粒棋子,所以求每边棋子数时还要加1。然后再求棋子总数。
84÷4+1=22(粒)
22×22=484(粒)
答:这个中实方阵一共有484粒棋子。
例5 用若干枚棋子摆放成一个中空方阵,最外层有40个棋子,最内层有24个棋子。这个中空方阵一共有多少粒棋子?
分析与解:
方法1:40÷4+1=11 方法2:在方阵中每相邻的两层个数相差
24÷4+1=78。 依次减8,一直减到24为止。
7-2=5 40-8=32
11×11-5×5=96 32-8=24
答:这个中空方阵一共有96粒棋子。 40+32+24=96
例6 一队士兵若干人,若他们站成中实方阵则多出6人,如果再增加26人,就可以站成一个比原来多一层的中实方阵。这队兵一共有多少人?
分析与解:
在6人的基础上再增加26人,就可以站成一个比原来多一层的中实方阵,所以6+26=32人就是这时最外一层的总人数。
6+26=32(人)
32÷4+1=9(人)(最外一层每边的人数)
9×9=81(人)(增加26人后的总人数)
81-26=55(人)(原来的人数)
答:这队兵一共有55人。
基本训练
1、用简便方法计算下面各题
(1)7.3+3.85+2.7+1.34+2.15+9.66 (2)15.3+78.2+5.67+84.7+4.33
(3)6.32+16.5-3.87-15.4+13.5+3.68-1.13
(4)9.8+9.7+9.6+9.5+9.4+……+8.3+8.2+8.1+8.0+7.9
2、有一队士兵排成中实方阵,最外层一周为36人。这个方阵共有士兵多少人?
3、由若干名士兵组成一个中实方阵,每边16人,最外层一共有多少名士兵?这个中实方阵一共有多少名士兵?
4、有一队学生排成一个中空的方阵,最外层人数共52人,最内层人数共28人,问这队学生有多少人?
5、苗圃里把若干棵小树苗栽成一个中实方阵,最外一层一共有116棵小树。这个中实方阵一共有多少棵小树苗?
拓展训练
1、360人站成了一个6层的空心方阵,这个空心方阵最外层每边有多少人?
2、若干盆花,如果摆成一个中实方阵则多2盆,如果添上26盆就可以在原有方阵基础上排成多一层的方阵,求原有多少盆花?
3、学生军训组成一个中实方阵,最外层一共52人,若把这个方阵分成同样大的4个小方阵,每个小方阵最外层每边有多少人?
奥赛训练
1、四年级同学排练节目,若站成三层的中空方阵,则多9人,若站成四层的中空方阵,则少7人,四年级有多少同学在排练节目?
2、一队士兵若干人,若他们站成中实方阵则多出6人,如果再增加26人,就可以站成一个比原来多一层的中实方阵。这队兵一共有多少人?
第十四讲 植树问题(一)
知识概要
学习植树问题的有关知识。
植树问题的基本概念:路长、段长(株距)、段数、棵数。
植树分为在直线上植树和在封闭的曲线上植树。
(1)在直线上植树,分为三种情况:
★两端都植:路长÷段长+1 = 棵数,段长×(棵数-1)= 路长,
路长÷(棵数-1)= 段长。
· 一端植,一端不植:路长÷段长 = 棵数,段长×棵数= 路长,
路长÷棵数= 段长。
· 两端都不植:路长÷段长-1 = 棵数,段长×(棵数+1)= 路长,
路长÷(棵数+1)= 段长。
(2)在封闭的曲线上植树:路长÷段长 = 棵数
经典例题
探索:在一条路的一侧植树,两端都植。路长、段长、段数和棵数有什么关系?
例1 一条路长500米,从一端开始,每隔5米栽一棵树。在这条路的两侧一共能栽树多少棵?
分析与解:
先求在路的一侧能栽树多少棵,因为是从端点开始的,所以要用路长÷段长+1,然后再求两侧的。
500÷5+1=101(棵) 101×2=202(棵)
答:一共能栽树202棵。
例2 在学校操场的甬路边的一侧栽树15棵,每两棵树之间的距离是3米。这条甬路长多少米?
分析与解:
段长×(棵数-1)= 路长
3×(15-1)=3×14=42(米)
答:这条甬路长42米。
例3 一条路长2000米,在路的两侧按路灯,每隔40米设电线杆一根,每侧两端各设一根,每两个电线杆之间种7棵树。共需要多少根电线杆?一共种了多少棵树?
分析与解:
先求路的一侧需要电线杆的根数,路长÷段长+1 = 棵数,然后再乘以2。“每两个电线杆之间种7棵树”,也就是说有多少段就有多少个7根。先求路的一侧种树的棵数,然后再乘以2。
(2000÷40+1)×2 7×(2000÷40)×2
= 51×2 = 7×50×2
=102(根) = 700(棵)
答:共需要102根,一共种了700棵树。
例4 有5根木料,把每根木料都锯成4段,每锯开一处需要6分钟。全部锯完这5根木料,需要多少分钟?
分析与解:
把一根木料锯成2段,只需要锯开一处,把一根木料锯成4段,需要锯开(4-1)处。
6×(4-1)×5
= 6×3×5
= 90(分钟)
答:锯完这5根木料,需要90分钟。
例5 学校操场周长380米,开运动会时,在它的四周每隔20米插一面彩旗。操场四周共插了多少面彩旗?
分析与解:
操场是个环形,它是一个封闭图形,在这样的四周插彩旗,彩旗的数量与操场被彩旗分成的段数同样多。
380÷20=19(面)
答:操场四周共插了19面彩旗。
例6一块长方形地,长200米,宽80米。在这块地的四周每隔20米栽一棵杨树,在相邻的两棵杨树之间等距离地栽4棵小松树。一共栽杨树多少棵?小松树多少棵?
分析与解:
长方形的四条边首尾相接,两端重合,是个封闭图形,所以种树棵树与段数相等。即用长方形的周长÷段长=段数(棵数)。小松树的棵数=段数×4。
(200+80)×2÷20 = 28(棵)
答:一共栽杨树28棵。
28×4=112(棵)
答:柏树112棵。
基本训练
1、一条公共汽车线路,从起点到终点站15个车站,每两个车站间平均相距500米,求这条公共汽车线路全长多少米?
2、在一条公路的两旁,连两端在内共有树182棵,每两棵中间的距离是5米,这条公路长多少米?
3、一条路长100米,在路的两边从头到尾每4米植树一棵,问需要植多少棵?
4、计划在一条长840米的水渠边植树,连两端在内,共植树169棵,问每相邻两棵间的距离是多少米?
5、一个圆形养鱼池周长是500米,在周围每隔4米栽1棵柳树,问共栽柳树多少棵?
6、一个湖泊周围长1800米,沿湖泊周围每隔3米栽1棵柳树,每两棵柳树中间栽2棵月季花,湖泊周围栽了柳树多少棵?月季花多少棵?
拓展提高
1、把一根木料锯成4段,需要12分钟完成,如果把这根木料锯成16段,需要多少分钟完成?
2、在一个正方形池塘四周栽树,四个顶点各栽一棵,这样每边都栽有25棵,相邻的两棵树之间的距离都是3米。这个正方形池塘的周长是多少米?
3、一座大钟4时时钟响4下,7时时钟响7下,几时就响几下,4时时从第一下到最后一下响完一共用了12秒。8时时从第一下到最后一下响完一共要用多少秒?
4、有两棵大树,它们之间的距离都是220米,现在在这两棵树之间等距离的补种了21棵树。第1棵到第12棵之间的距离是多少米?
奥赛训练
1、一根电线长5米,一端按有一个插头。在距离50厘米处开始,每隔30厘米安装一盏彩灯,彩灯的安装顺序是:2盏红色、3盏黄色、2盏紫色、1盏绿色……,一共安装了多少盏彩灯?最后一盏灯是什么颜色的?
2、有20张长5厘米、宽2厘米的小长方形纸条,把它们拼接在一起,成为一个宽2厘米的大长方形。如果相接的两张小长方形纸条接缝是1厘米,这个大长方形的面积是多少平方厘米?
第十五讲 植树问题(二)
知识概要
1、继续学习植树问题的有关知识,掌握植树问题的基本概念:路长、段长(株距)、段数、棵数。在直线上植树和在封闭的曲线上植树,正确处理路长、段长(株距)、段数、棵数的关系。
2、在解决植树问题的经基础上,解决与周期问题、过桥问题等相复合的实际问题。
经典例题
例1 在一个周长为1400米的水库四周,每隔8米种一棵大树,后来又在两棵大树之间等距离地补栽了3棵小树。水库四周一共种了多少棵树?
分析与解:
水库四周是个封闭线路,首尾相接,两端重合。所以种树的棵数与段数相等。
大树:1400÷8 = 175(棵)
小树:3×175=525(棵)
一共:175+525=700(棵)
答:水库四周一共种了700棵树。
例2 小明在早晨上学前,总以均匀的速度在马路的一侧跑步。他从第1根电线杆跑到第11根电线杆用5分钟。小明准备晨练40分钟。问:他跑到第几根电线杆就应该返回?
分析与解:
沿路一侧跑步,路线不是封闭的,从第1根到第11根的段数=根数-1,然后可以求出小明每分钟跑几个段长。即5分钟跑10个间隔,每分钟跑2个间隔。30分钟是往返的时间,所以跑15分钟就要返回。
每分钟跑几个段长:(11-1)÷5 =2(个)
跑多少分钟返回: 40÷2 =20(分钟)
20分钟跑几个段长:2×20= 40(个)
跑到第几根电线杆返回:40+1=41(个)
答:他跑到第41根电线杆就应该返回。
例3 四年级学生在公路的一侧植树,每隔5米种一棵,其中一位同学负责运送树苗,树苗堆放在公路的一端,他每次运送15棵小树苗分发到各植树点,运完45棵后就在最后一个植树点植树。这个同学一共行了多少米?
分析与解:
方法1:根据要求,这个学生要运送45÷15=3(趟)。
第一趟:5×(15-1)×2=140(米)
第二趟:5×(30-1)×2=290(米)
第三趟:5×(45-1)=220(米)
一共行:140+290+220=650(米)
答:这个同学一共行了650米。
方法2:假设第3次运完后也返回到起点,则第二次往返的路程就是三次往返路程的平均数,所以第二次往返路程的3倍减去第三次返回的路程,就是这个学生一共行的米数。
5×(30-1)×2×3-5×(45-1)
= 870-220
=650(米)
例4 一个汽车运输队共有26辆,要通过一座长度是450米大桥,已知每辆车的车身长5米,两辆车之间的行进距离是8米,如果车队行进的速度是每分钟30米。那么,车队全部通过大桥需要多少分钟?
分析与解:
车队的长度包括26车长和25个间隔。“全部通过大桥”是从第一辆车上桥到最后一辆车离开大桥,所以车队走的路程是车队的长度加上大桥的长度。所以首先要先求出车队的长度。
车队的长度:5×26+8×(26-1)=330(米)
车队走的路程:330+450=780(米)
通过的时间:780÷30=26(分钟)
答:这列车队通过大桥共需要26分钟。
例5 小刚植树,他把第1棵树植在离端点4米处,第2棵树植在离端点8米处,第3棵树植在离端点12米处……(如图),他把第12棵树植在离端点多少米处?
分析与解:
思路1:第1棵种在4×1米处,第2棵种在4×2米处,第3棵种在4×3米处……,第n棵种在4×n米处,所以第12棵种在4×12米处。
思路2:把在直线上种树,想成为在环形上种树,最后一棵种在端点上,路长=段长×棵数。
两种思路计算方法相同: 4×12=48(米)
答:他把第12棵树植在离端点48米处。
例6 一块横幅标语布的长是8米,上面写了12个字(如图)。两边留的距离都是45厘米,每个字的宽是50厘米,相邻的两个字之间的距离是多少厘米?
分析与解:先求出12个字的总宽(长)度,再从布的总长度中分别减去字的总长度和两边留的距离,用剩下的长度再除以间隔数。
字的总长度:50×12=600(厘米)
剩下的长度:800-600-45×2=110(厘米)
字之间距离:110÷11=10(厘米)
答:相邻的两个字之间的距离是10厘米。
基本训练
1、一座楼房,每上一层楼要走19个台阶。小强从一层走到家,走了76个台阶。小强家住在几层?
2、同学们美化校园栽花,每9棵花间的距离是16米,照这样计算,第7棵花与第40棵花之间的距离是多少米?
3、学校开运动会,在主席台对面的甬路上插彩旗,每两面彩旗之间的距离相等,已知第2面到第6面之间的距离是16米,第1面到第18面之间的距离是多少米?
4、一块横幅标语布的长是9米,上面写了“同一个世界 同一个梦想”共10个字标语。两边留的距离都是75厘米,每个字的宽是55厘米,其中“界”和“同”之间的距离是80厘米,其它相邻的两个字之间的距离是多少厘米?
5、星光小学六年级有学生250人,每2人站成一横排,每两横排前后间隔1米。他们行走的速度是每分40米。这个队伍通过一座桥共用了7分钟,这座桥的长度是多少米?
拓展提高
1、小刚植树,他把第1棵树植在离端点6米处,第2棵树植在离端点12米处,第3棵树植在离端点18米处……(如图),他把第几棵树植在离端点150米处?
2、一座居民楼有18层,每两层的台阶数相同。小刚和小红两人从一层开始,进行上楼梯比赛。小刚上到第5层时,小红才上到第3层,如果每人的速度都不变,继续往上走,小刚上到第13层时,小红才上到第多少层?
3、运动会的入场式上有10个方阵通过主席台。每个方阵由72人组成,每9人站成一横排,每两横排前后间隔1米。每两方阵之间的距离是5米,他们行走的速度是每分55米。主席台的长度是50米。这10个方阵通过主席台要用多少分钟?
奥赛训练
1、有500名士兵,排成4列纵队,每两排之间的距离是1米,以每分钟45米的速度通过一座大桥,从排头上桥到排尾离桥一共用了8分钟。这座大桥长多少米?
2、一个口袋里装有一些球,球的大小和重量完全相同。其中有红色球8个,12个绿色球,5个黄色球。现在闭着眼睛从口袋里摸球,至少摸出多少个球能保证一定有两个球的颜色相同?
第十六讲 综合
1、用简便方法计算下面各题。
(1)630÷45 (2) 125×25×5×64
(3)146×64+146×38 (4)537×333+321×999
(5)35.7+43.2-35.7+43.2 (6)42×15÷42×15
(7)34.8+17.2-2.89+23.5+17.6-3.38+21.7-3.64
(8)7-6.9+6.8-6.7+6.6-6.5+……+1.4-1.3+1.2-1.1
(9)0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.11+0.13+0.15+0.17+0.19+…+0.37+0.39
(10)不用笔算,请你指出下面哪道题的得数最大?
24×66 42×48 37×53 45×45 46×44
2、填空。
(1) (2)
有( )条线段
有( )个正方形 有( )个三角形
(3) (4)
内角和是( )度 有( )个长方形
3、已知等差数列1,7,13,19,25,31,37,……问355是这个数列的第几项?
4、在数列4,7,10,13,16,19,……中,第20个数是多少?前20个数的和是多少?
5、规定m、n是自然数,且m⊙n=(m+2×n)÷3
求(1)9⊙15的值 (2)(1⊙7)⊙(12⊙15)的值
6、学校食堂的大米比面粉多12袋,大米的袋数是面粉袋数的5倍,食堂有大米和面粉各多少袋?
7、6个同学排成一横排一起照相,一共可以有多少种不同的站法?
8、甲、乙、丙三人共有75张画片。如果甲给乙13张,丙给甲6张,则三人所有的画片数都相等。三人原来各有多少张?
9、甲水池有水32吨,乙水池有水10吨,用抽水机从乙池向甲池抽水,抽多少吨水后,甲池的水就是乙池水的6倍?
10、一个修路队修一条路,前2天一共修路162米,后3天平均每天修96米。这个修路队平均每天修路多少米?
11、商店上午卖出洗衣机5台,下午卖出同样的洗衣机7台,下午比上午多收货款1520元。上午和下午各收货款多少元?
12、把50拆乘两不同的数相加的形式,并且要使这两个数的乘积尽可能的大,这两个数的乘积是多少?
13、星光小学三年级的四个班同学向希望小学捐课外书,一班和二班平均每班捐书57本,三班和四班平均每班捐书55本,三年级平均每班捐书多少本?
14、有一队士兵排成一个中空的方阵,最外层人数共60人,最内层人数共36人,问这队士兵有多少人?
答案
第十一讲 小数加减法的简算和方阵
基本训练
1、(1)9.63+18.4+12.568+7.54+3.572 = 51.71
(2)90.25-32.8-8.456-27.624 = 21.37
2、以2.5为
,2.2和2.8,2.6和2.4,2.7和2.3,2.5,所以这八个数的平均数是2.5。
3、(220+220+100)3=180 1780+180=1960(台)
4、(71×2+96×3)÷(2+3)=86(米)
5、(57×2+55×2)÷4=56(棵)
拓展提高
1、95×3―97×2=91(分)
2、(128+112+150)÷3=130
3、13×2+10×4+8×3=90(元) 90÷(2+4+3+)=10(元)
奥赛训练
1、12×2÷(12÷3+12÷6)=4(千米)
2、三人总分:92+90+94=276 甲:276―180=96
乙:276―188=88 丙:276―184=92
第十二讲 小数加减法及简算
基本训练
1、原式=(3.2+6.8)+(0.43+0.57)+(5.1+4.9)
= 10+1+10 = 21
(2)原式=(15.3+84.7)+(5.67+4.33)+78.2
= 100+100+78.2 = 278.2
(3)原式=15.9+16.3+15.6+16.4+16.2
= 16×5+0.4 = 80.4
(4)原式=2000+200+20+1.9 -0.3 =2221.6
2、55×3=165 51×3=153 165153=12(棵)
3、把165÷6=27 这六个数依次是:25 、26、27、28、29、30
4、2055÷15=137,依次写出:130、131、132、133、134、135、136、137、138、139、140、141、142、143、144。
拓展提高
1、160×4-156×3=172(下)
2、80+4÷4=81 81+4=85(分)
3、18÷(2×3)=3(元)
4、甲、乙、丙三人平均分吃了5+3=8个面包,把每个面包都平均分成3份,一共24份,平均每人吃8份,丙吃了甲的7份,吃了乙的1份。丙拿出了6元4角应平均分成8份,每份8角。所以乙应分得8角,甲应分得5元6角。
奥赛训练
1、总分:90+91+95=276 语文:276-91×2=94(分)
数学:276-90×2=96(分) 英语:276-95×2=86(分)
2、94×7-98×5=168 (168-2)÷2=83(个)
3、(88+82+93+97)÷4=90 90+4÷4=91 91+4=95(环)
第十三讲 小数加减法及简算
基本训练
1、用简便方法计算下面各题
(1)原式=(7.3+2.7)+(3.85+2.15)+(9.66+1.34)
= 10+6+11 = 27
(2)原式=(15.3+84.7)+(4.33+5.67)+78.2
= 100+10+78.2 =188.2
(3)原式=(6.32+3.68)+(16.5+13.5)-(3.87+1.13+15.4)
=10+30-20.4 = 19.6
(4)原式=(9.8+7.9)×20÷2=177
2、36÷4+1=9(人)9×9=81(人)
3、最外层:(16-1)×4=60(人) 一共:16×16=256(人)
4、52-8=44 44-8=36 36-8=28 52+44+36+28=160(人)
5、116÷4+1=30(棵) 30×30=900(棵)
拓展训练
1、360÷6=60(人)60+4+8+8=80 80÷4+1=21(人)
2、(2+26)÷4+1=8(盆) 8-2=6(盆) 6×6+2=38(盆)
3、52÷4+1=14(人) 14÷2=7(人) (7-1)×4=24(人)
奥赛训练
1、 10+26-8=28 28-8=20 20-8=12 28+20+12+10=70(人)
2、(6+26)÷4+1=9(人)9-2=7(人)7×7+6=55(人)
第十四讲 植树问题(一)
基本训练
1、500×(15-1)=7000(米)
2、182÷2=91(棵) 5×(91-1)=450(米)
3、100÷4+1=26(棵)
4、840÷(169-1)=5(米)
5、500÷4=125(棵)
6、柳树:1800÷3=600(棵)月季花2×600=1200(棵)
拓展提高
1、12÷(4-1)=4(分) 4×(16-1)=60(分)
2、(25-1)×3×4=288(米)
3、12÷(4-1)=4(秒) 4×(8-1)=28(秒)
4、220÷(21+1)=10(米) 10×(12-1)=110(米)
奥赛训练
1、8米=800厘米 (800-50)÷30+1=26(盏) 26÷(2+3+2+1)=3……5
答:一共安装了26盏彩灯,最后一盏灯是黄颜色的。
2、20×5-(20-1)×1=81(厘米) 81×2=162(平方厘米)
第十五讲 植树问题(二)
基本训练
1、76÷19+1=5(层)
2、16÷(9-1)=2(米) 2×(40-7)=66(米)
3、16÷(6-2)=4(米) 4×(18-1)=68(米)
4、9米=900厘米 (900-55×10-75×2-80)÷8=15(厘米)
5、40×7=280(米) 280-(250÷2-1)=156(米)
拓展提高
1、150÷6=25(棵)
2、(5-1)÷(3-1)=2 (13-1)÷2+1=7(层)
3、72÷9-1=7(米) 7×10+5×(10-1)+50=165(米) 165÷55=3(分)
奥赛训练
1、45×8=360(米) 360-(500÷4-1)=236(米)
2、3×1+1=4(个)
第十六讲 综合练习
1、用简便方法计算下面各题。
(1)原式= 630÷45 (2)原式=125×25×5×64
= 630÷9÷5 =(125×8)×(25×4)×(5×2)
= 70÷5 = 14 = 1000×100×10 = 1000000
(3)原式=146×64+146×38 (4)原式= 537×333+321×999
=146×(64+38) = 179×999+321×999
=146×102 = 999×(179+321)
=146×100+146×2 = 999×500
=14600+292=14892 = 499500
(5)原式= 35.7-35.7+43.2+43.2 (6)原式= 42÷42×15×15
= 43.2+43.2 = 86.4 = 15×15 = 225
(7)原式=(34.8+17.2+23.5+17.6+21.7)-(3.38+3.64+2.89)
=(52+63.8)-9.89 = 115.8-9.89
= 115.8-10+0.11 = 105.91
(8)原式=(7-6.9)+(6.8-6.7)+……+(1.4-1.3)+(1.2-1.1)
= 0.1+0.1+……+0.1 = 6
(9)原式=(0.1+0.9)×5÷2+(0.11+0.39)×15÷2
= 2.5+3 = 5.5
(10)45×45得数最大。
2、填空。
(1)有55个正方形 (2)有60条线段,有30个三角形
(3)内角和是1080度 (4)有150 个长方形
3、(355-1)÷6+1=70
4、4+(20-1)×3=61,(4+61)×20÷2=650
5、(1)9⊙15=(9+2×15)÷3=13
(2)(1⊙7)⊙(12⊙15)
=(1+2×7)÷3⊙(12+2×15)÷3
= 5⊙14=(5+2×14)÷3=11
6、面粉:12÷(5-1)=3(袋)大米:3×5=15(袋)
7、6×5×4×3×2×1=720(种)
8、75÷3=25(张)丙25+6=31(张)乙25-13=12(张)甲75-31-12=32(张)
9、(32+10)÷(6+1)=6(吨) 10-6=4(吨)
10、(162+96×3)÷(2+3)=150(米)
11、1520÷(7-5)=760 上午:760×5=3800(元) 760×7=5320(元)
12、24×25=600
13、(57×2+55×2)÷4=56(本)
14、60-8=52 52-8=44 44-8=36 60+52+44+36=192(人)
J
H
C
F
D
I
E
G
A
B
94分
92分
几个数连减,要依次减,竖式可以一层一层的写。
7 5.3 6
- 4 2.5
3 2.8 6
- 8.4 9 3
2 3.3 6 7
- 1 5.7
7.6 6 7
几个数连加,可以写成一个竖式,并且把能够凑成整十的数先相加。
4.5 2
2 1.5
3 6.1 8 3
0.9 4
+ 1.2 6 7
6 4.4 1 0
第1棵
第?棵
第3棵
第2棵
端点
18米
150米
6米
12米
发 展 体 育 运 动 增 强 人 民 体 质
第1棵
第12棵
第3棵
第2棵
端点
12米
?米
4米
8米
45
30
15
路长÷段长+1 = 棵数
段长×(棵数-1)= 路长
路长÷(棵数-1)= 段长
段长×段数 = 路长
5米
5米
5米
5米
5米
5米
1