求n阶实方阵的任意个模最大的特征值及其相应特征向量的规范化幂法
求n阶实方阵的任意个模最大的特征值及
其相应特征向量的规范化幂法 第l7卷第6期
2001年12月
工科
JOURNAIOFMATHEMATICSFORTECHNOIOGY Vo1.17.,..6
Dec2001
求咒阶实方阵的任意个模最大的特征值
及其相应特征向量的规范化幂法
侯风波',
(1.承德石油高等专科学校,承德067000
汪永高
2华北矿业高等专科学校,北京1016011
[摘要]本文蛤出井论证了当阶实方阵A具有r(1?r?)个模最大的特征值及其相应特征向量的
力法.实施规范化
,使得行范数等于l,在电子计算机上不会产生溢出停机,这是一种有宴用价值的算法.
[美键词]幂法;规范化;行范数;迭代
:中国分类号:()lj1.21[文献标识码:A[文章编号:1007—4120(2001)06004105
l前言
幂法是一种计算实方阵A的模最大的特征值的一种迭代方法 指出:应用迭代公式
+一AX
得出了足够多的向量以后,应当检查是否出现了以下3种情况: 1近似地等于乘以某一常数r;
2近似地等于乘以某一常数5;
3,…2是否线性相关.
它的最大特点是方法简单.文:1]中
只要出现上列任何一种情况,都可根据文:1]中的方法求出方阵A的一个或两个模最大的特征值
及其特征向量.文E23指出:当实方阵A的个特征值满足}一…一}}>一}?…?l,且一^:
一?一
^时.用幂法可得到A的一个模最大的特征值和其对应的一个特征向量.如果方阵A的特征值
不满足以上几种情况.就得改用其它方法去求方阵A的模最大的特征值及其特征向量.
用幂法求方阵A的特征值时,往往会出现过大或过小的数值,容易溢出.为了避免不应有的溢出,
在计算迭代向量序列{}的每一步中.都用的行范数ll(为
写方便.文中将行范数1.1一律
将其转化为行范数等于1的向量.其迭代式为 简记为0)的倒数乘此向量,
Iv一,<一f{f
一0.1,2.….(1)
I.一A,
按(1)式求实方阵A的模最大的特征值的方法称为规范化幂法.本文挑实方阵A具有r(1?r?
)个模最大的特征值时,给出了1种求A的全部模最大特征值及其相应特征向量的规范化幂法.这就进
一
步完善了求方阵A的模最大的特征值及其相应特征向量的幂法理论. 2定理
定理设阶实方阵A有个线性相关的特征向量?,n".n,且它们所对应的特征值^.,^. [收稿日期]1999—05—06
工科数学第17卷
…
,已按模的大小排列为
-一z_.-?一>?…?II.(2) 如果初始向量.一H.+nH+…+H的选择满足?n.…???o.则由迭代式(1)所得迭代序
列满足:
1当矗充分大时,一.一.线性相关; 2.若".为超定方程组
{一十nl^.l+…+LH+嘶^一0 的晟小二乘解,则A的r个模晟大的特征值.…,分别为一元r次方程
++…++6,一0
的r个根,其中
6L—ll"l,
6:一I一.II...
6,一I+.1_一I…
l一….…II?
3.A的对应于特征值的特征向量 =
+?6
(3)
(4)
(5)
其中
b一一(+2+…+).
b:一(一1):(l2一…l^+…+), b一(一1)(?3+l2{…一2一L), ……(5)
.
一
(1)(t…,+…+…..一2…),I
bL一(1)一(】…1T…^2…),l
一
(一1)…,J
即等于从特征根,.…,中每次取^个(不同的)一切可能乘积之和,若^是偶数则取正号.
若^为
奇数,则取负号.
3定理的
定埋分4步让明如:
第一步,假设迭代公式为
}一.k--0,l,2,…,
其中j一一H+H一…_-吼H为定理所设.所以有 一
A一-+z+…+砖%"一l-+:鲁jaz+' 令一奎J,则有
+…+:鲁j"+.J..l.J 等一nJ毗
叉据条件(2)得一0,故当^充分大时,有 等一-H-+等",+…+鲁J.…'.l^.』…l.』"""' (7)
(8)
第5期侯风波等:求阶实方阵的任意个模最犬的特征值及其相应特征向量的规范
化幂法43
即当充分大时,有
{一n.?+…+.?.
i..一目H..+:_.+…+^H砖...
?…???????…??????-?_????????????????
?????…?
豆+,一n一啦砖+…+H嚣".
【9)
+^.+…+^)一:+…+(一1)^-^2…靠一0.(10) 【b.一(+^一…一^.).
16一(1).(^.^!一…一-^.+…+一), lb一(1).(^.^:^一.^.^+…+一!一). <
b一一(一1)..(^.+…+^…^),
b一(1)}…^.
则有
.十+.+…+一0;
第二步,若迭代公式为(1),则有
=Y--A(xH/fff)一?--A%(ff一-『fff1."fff.),
由于--A,所以
一/(I.I?I…III).
.一./(II?I1."I).
_????????_???????????_…?????????…???
??_??…??????_…?' 【+一./(I?扎一:1.??I).
当充分大时,幽(12)式中解出;,代人(11)式后,两边再同除以JJ一一,Jj一1.?'llJ得
一"J一1+"2+…+,一0,
其中
(6)
(12)
(3)
L--b】/I一I.
--
b:(I一11一),
??????????_…??????????…????……??????
???'_…???
(13)
d,一b./(.1."I一.11). n一/(1—l?l+.1.??l) 将(13)式变形即得定理中(4)式. 第三步,由,元r次方程根与系数的关系及(6)式,便知:A的特征值^-,^,…,^为一元
次方程
+:+.+…+一2^+一^+6一0 的"个根.
第四步,证明I中定理的第3条结论.即证A的对应于特征值的特征向量确为
+;
毒=_l1.
首先,对(6)式中的b,6:..…,b容易验证,其满足如下关系式
(--b.+一.)=^'一1,(14) 其中b.=1,由于
+
+
卜
绥
直争
44I科数学第l7卷
=.+
》J一…一.
+6,l....T_二==__|I, 又由(3)式变形有
%奎…(16)
将(16)式代人(1j)式,并注意—l,得 .
一,,+Eb,_'r一1_Il
一
I+
一
(+'
一
:
南+
—『_不
显然,?O,否则由文献E23:m,A的模最大的特征值低于r个,这与定理假设矛盾. 因此确为A的对府于特征佰,的特征向量.
4计算步骤
定理l中的算法,应按下述步骤宴现
第一步:输人方阵A:
第二步:按迭代公式{一靠.I扎il计算方阵A的迭代向量同时判断超定方程组f扎1L—A
X+"l1l+…+d—J靠.1+?,一0
是否有满足精度要求的最小二乘解(即判断X一,n一",是否线性相关)?若是,则按式(4)计算出
…b…,6;否则,继续按迭代公式(1)求新迭代向量,并判断之,直至得到相邻的r个线性相关的迭代
向量后.再进行下一步;
第三步:解一元r次方程
^+b_.+b,4-…+6.^0+6一0
得A的r个模最大的特征值^,^.,…,;
第四步:按式(5)计算A的对应于特征值^,的特征向量r(7=l,2,…,r). [参考文献
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243侯风渡.求阶实方阵A的垒部模最大的特征值及其相血特征向量的幂法【j].
工科数学2000.16(2):5g一62
第5期侯风波等:求"阶实方阵的任意个模最大的特征值厦其相应特征向量的规范
化幂法45
StandardPowerMethodinEvaluatingAlltheMaximum
ModulusEigenvaluesofSquareMatrixandAssociatedEigenvectors HOUFeng一17o,
(1.ChengdePetroleumCo1]ege?HebeiChengde
WANGYong—gao.
067000~2.NorthChinaMining.Beijing101601)
Abstract:Thispapergivesandproves,whenaorderrealmatrixhasanyeigenvaluesofthett)axi
tt)utt)modulus.the
standardpowermethodevaluedallthe[Tlaxinlummoduluseigenvaluesandassociatedeigenveetors.Fhismethodhas
widenedthepowermethod.|rhisisapracticalmethodinapp]ication. Keywords:power—
method;moduls;standardization;rownoiTt~;dgenvalue;eigenveetoraiteration