[资料]椭圆的简单几何性质典典范题
典型例题一
例1 椭圆的一个顶点为,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的
方程(,,A2,0
分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置( 解:(1)当为长轴端点时,,b,1, ,,A2,0
22xy,,1椭圆的标准方程为:; 41
a,4(2)当为短轴端点时,,, ,,A2,0
22xy,,1椭圆的标准方程为:; 416
说明:椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不能确定椭圆
的横竖的,因而要考虑两种情况(
典型例题二
例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率(
21a223c,a22?c,,,解: ?, 3c
13?( e,,33
说明:求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求,求,再求比(二是列ac含和的齐次方程,再化含的方程,解方程即可( ace
典型例题三
x,y,1,0例3 已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆与直线交于A、B两点,Mx
OM为AB中点,的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程(
2x2,y,1解:由题意,设椭圆方程为, 2a
,,1,0xy,,2222由,得, ,,1,ax,2ax,0,x2,y,1,2a,
21x,x1,a12y,1,x,?,, x,,MMM222a1,a
y112Ma,4?k,,,,?, OM24xaM
2x2,y,1?为所求( 4
说明:(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;(2)直线与曲线的综合问题,经常要
借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题(
典型例题四
22xy9,,,,1例4椭圆上不同三点,B4,,与焦点的,,,,,,Ax,yCx,yF4,0,,11222595,,
距离成等差数列(
(1)求证; x,x,812
ACk(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率(TBTx
a,5b,3c,4证明:(1)由椭圆方程知,,(
AFc由圆锥曲线的统一定义知:, ,2aa,x1c
4AF,a,ex,5,x? ( 115
4CF,5,x同理 ( 25
9AF,CF,2BFBF,? ,且, 5
4418,,,,55,x,,x,? , ,,,,12555,,,,
即 ( x,x,812
,yy,,12(2)因为线段AC的中点为,所以它的垂直平分线方程为4,,,2,,
y,yx,x1212,,y,,x,4 ( 2y,y12又?点在轴上,设其坐标为,代入上式,得 T,,x,0x0
22y,y12 x,4,0,,2x,x12
又?点,都在椭圆上, ,,,,Ax,yBx,y1122
922? ,,y,25,x1125
922 ,,y,25,x2225
922y,y,,x,xx,x? ( ,,,,12121225
将此式代入?,并利用的结论得 x,x,812
36 4 x,,,025
9,055k,, ? ( BT44,x0
典型例题五
22xy,,1例5 已知椭圆,、为两焦点,问能否在椭圆上找一点,使到MMFF1243
MNMFMFl左准线的距离是与的等比中项,若存在,则求出点M的坐标;若不存12
在,请说明理由( 解:假设M存在,设,由已知条件得,,Mx,y11
1c,1,,?,(b,3e,2
x,,4?左准线l的方程是,
MN,4,x?( 1
又由焦半径公式知:
1MF,a,ex,2,x, 1112
1( MF,a,ex,2,x2112
2MN,MF,MF?, 12
11,,,,2,,x42x2x,,,,?( ,,,,11122,,,,
2整理得( 5x,32x,48,011
12解之得或( ? x,,x,,4115
另一方面( ? ,2,x,21
则?与?矛盾,所以满足条件的点不存在( M
说明:
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程( (2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,根据已知条
件进行推理和运算(进而根据推理得到的结果,再作判断( (3)本例也可设,,存在,推出矛盾结论(读者自己完成)(M2cos,,3sin,
典型例题六
211x,,2,y,1例6 已知椭圆P,,求过点且被P平分的弦所在的直线方程(,,222,,
kk分析一:已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为,利用条件求(
11,,ky,,kx,解法一:设所求直线的斜率为,则直线方程为(代入椭圆方程,并,,22,,
整理得
132222( ,,,,1,2kx,2k,2kx,k,k,,022
22k,2kx,x,由韦达定理得( 1221,2k
1?是弦中点,?(故得( Pk,,x,x,1122
2x,4y,3,0( 所以所求直线方程为
分析二:设弦两端坐标为、,列关于、、、的方程组,从,,,,x,yx,yxxyy11122212
y,y12而求斜率:( x,x12
11,,解法二:设过P,的直线与椭圆交于、,则由题意得,,,,Ax,yBx,y,,112222,,
2,x21,y,1,?,12,2x,22y,,,1? ,22,
x,x,1,?,12,y,y,1.?12,
22x,x2212,y,y,0?,?得( ? 122
1y,y112,,将?、?代入?得,即直线的斜率为( ,2x,x212
2x,4y,3,0所求直线方程为(
说明:
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:过定点且被定点平分的弦;平行弦的中点
轨迹;过定点的弦中点轨迹(
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代斜率(
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:“韦达定理应用”及“点差法”(有关二次曲
线问题也适用(
典型例题七
例7 求适合条件的椭圆的标准方程( (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点; ,,2,,6
(2)在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为6(x
22xy2a,148,,1分析:当方程有两种形式时,应分别求解,如(1)题中由求出,22ab
2222yxxy2b,37,,1,,1,在得方程后,不能依此写出另一方程(1483714837
2222xyyx,,1,,1解:(1)设椭圆的标准方程为或( 2222abab
a,2b由已知( ? 又过点,因此有 ,,2,,6
2222,,,,2,6,62,,1,,1或( ? 2222abab
2222a,148b,37a,52b,13由?、?,得,或,(故所求的方程为
2222xyyx,,1,,1或( 148375213
22xy2a,18,,1c,3b,c,3(2)设方程为(由已知,,,所以(故所求方程22ab
22xy,,1为( 189
说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”(关键在于焦点的位置
2222xyyx,,1,,1是否确定,若不能确定,应设方程或( 2222abab
典型例题八
22xyAM,2MF,,1例8 椭圆的右焦点为,过点,点在椭圆上,当,,FMA1,31612
为最小值时,求点的坐标( M
12MF分析:本题的关键是求出离心率,把转化为到右准线的距离,从而得Me,2
1均可用此法( 最小值(一般地,求AM,MFe
1解:由已知:a,4c,2,(所以,右准线e,2
l:x,8(
AQ,lQ过作,垂足为,交椭圆于,故AM
MQ,2MFAM,2MFAQ(显然的最小值为,即M
为所求点,因此,且在椭圆上(故(所My,3x,23MM
以( ,,M23,3
1AM,2MF说明:本题关键在于未知式中的“2”的处理(事实上,如图,,e,2
MQMF是到右准线的距离的一半,即图中的,问题转化为求椭圆上一点,使即MMM到的距离与到右准线距离之和取最小值( A
典型例题九
2x2x,y,6,0,y,1例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值(3
分析:先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求出距离的最
小值(
,,,3cosx,,,解:椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到3cos,,sin,,y,sin,.,
直线的距离为
,,,2sin,,6,,,3cos,sin,6,,3,,,,d(
22
,,,当sin,,,,1时,d,22( ,,最小值3,,
说明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程(
典型例题十
33,,例10 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在轴上,离心率e,,已知点到P0,x,,22,,这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点的距离等于7P7的点的坐标(
d分析:本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求的最大
b值时,要注意讨论的取值范围(此题可以用椭圆的标准方程,也可用椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力(
22xy,,1a,b,0解法一:设所求椭圆的直角坐标方程是,其中待定(22ab
2222ca,bb2e,,,1,由可得 222aaa
31b2,,e,,,11a,2b,即( a42
d设椭圆上的点到点P的距离是,则 ,,x,y
22,,39y,,2222,,13d,x,y,,a,,y,y, ,,2,,24b,,,,
291,,222 ,4b,3y,3y,,,3y,,4b,3,,42,,
,b,y,b其中(
12dy,,bd如果,则当时,(从而)有最大值( b,2
223131,,b,7,,由题设得,由此得,与矛盾(7,b,b,,,,,2222,,
112d成立,于是当时,(从而d)有最大值(因此必有b,y,,22
22,,7,4b,3由题设得,可得b,1,a,2(
22xy,,1?所求椭圆方程是( 41
111,,,,及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点,点到点由,3,,3,,y,,,,,,222,,,,
3,,P0,的距离是( 7,,2,,
,,xacos,a,b,0解法二:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中,待定,,,ybsin,,
0,,,2,,,为参数(
2222ca,bb,,2由可得 e,,,1,,,22aaa,,
31b2,,e,,,11a,2b,即( a42
3,,d设椭圆上的点P0,到点的距离为,则 ,,x,y,,2,,
2233,,,,2222,,,,cos,sin, dxya,b,,,,,22,,,,
922243sin3sin ,b,b,,b,,4
21,,22 ,,3bsin,,,4b,3,,2b,,
112dsin,,,1d如果,即,则当时,(从而)有最大值(b,,122b
2231311,,b,7,,由题设得,由此得,与矛盾,因此必有7,b,b,,,,1,,22222b,,
成立(
12dd于是当sin,,时(从而)有最大值( ,2b
22,,7,4b,3,?b,1,a,2( 由题设知
,,x2cos,?所求椭圆的参数方程是( ,,ysin,,
1311,,,,cos,,,sin,,由,,可得椭圆上的是,(,3,,3,,,,,,,2222,,,,
典型例题十一
2222y,R例11 设,,,求的最大值和最小值(2x,3y,6xxx,y,2x
22分析:本题的关键是利用形数结合,观察方程与椭圆方程的结构一2x,3y,6x
22致(设,显然它
示一个圆,由此可以画出图形,考虑椭圆及圆的位置关x,y,2x,m
系求得最值(
22解:由,得 2x,3y,6x
23,,x,2,,y2,, ,,1 93,,,,42,,
3,,可见它表示一个椭圆,其中心在,0点,焦点在轴上,且过(0,0)点和(3,0)x,,2,,
点(
22设,则 x,y,2x,m
22 ,, x,1,y,m,1
它表示一个圆,其圆心为(,1,0)半径为,,( m,1m,,1在同一坐标系中作出椭圆及圆,如图所示(观察图形可知,当圆过(0,0)点时,半径
m,0m,15最小,即,此时;当圆过(3,0)点时,半径最大,即,?(m,1,1m,1,4
22?的最小值为0,最大值为15( x,y,2x
典型例题十二
22xy,,C:,,1a,b,0例12 已知椭圆,、是其长轴的两个端点(AB22ab
,,,APB,120b(1)过一个焦点作垂直于长轴的弦,求证:不论、如何变化,(FPPa
,QC(2)如果椭圆上存在一个点,使,求的离心率的取值范围(,AQB,120e
,AQB分析:本题从已知条件出发,两问都应从和的正切值出发做出估计,因,APB
此要从点的坐标、斜率入手(本题的第(2)问中,其关键是根据什么去列出离心率满足e
,x,ay,b的不等式,只能是椭圆的固有性质:,,根据得到,AQB,120
22aya222y,bx,a,yb,,3,将代入,消去,用、、表示y,以便利用xac2222bx,y,a
列出不等式(这里要求思路清楚,计算准确,一气呵成( 解:(1)设,,( ,,,,,,Fc,0A,a,0Ba,0
2x,c,,,b,,,Pc, ,,,222222abx,ay,ab,,,
22bbk,k,于是,( APBP,,,,ac,aac,a
?是到的角( ,APBAPBP
22bb,22a,,,,ac,aac,a? tan,APB,,,42bc1,222,,ac,a
22a,c?
tan,APB,,2?
,,APB,120故 ?( tan,APB,,3
yy2)设,则,( (k,k,,,Qx,yQAQBx,ax,a
y,0,AQBQAQB由于对称性,不妨设,于是是到的角(
yy,2ayx,ax,atan,AQB,,? 2222yx,y,a1,22x,a
2ay,?, ? ,,3,AQB,120222x,y,a
222整理得 ,,3x,y,a,2ay,0
2a222x,a,y? 2b
2,,a2,,31,y,2ay,0? 2,,b,,
22aby,0y,?, ? 23c
2ab2y,b,b?, ? 2c3
22222, 2ab,3c4a,,a,c,3c
4224424c,4ac,4a,03e,4e,4,0?,
6322e,,2,e,1?或(舍),?( e,32
典型例题十三
22xy1,,1k例13 已知椭圆的离心率,求的值( e,k,892
分析:分两种情况进行讨论(
1222a,k,8b,9c,k,1k,4解:当椭圆的焦点在轴上时,,,得(由,得(e,x2
222a,9b,k,8c,1,k当椭圆的焦点在轴上时,,,得( y
1,k115由,得,即( ,e,k,,2944
5k,4?满足条件的或( k,,4
k,8说明:本题易出现漏解(排除错误的办法是:因为与9的大小关系不定,所以椭
圆的焦点可能在轴上,也可能在轴上(故必须进行讨论( yx
典型例题十四
22xy(b,1),,1b例14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为,求到左准线PPF2224bb
的距离(
分析:利用椭圆的两个定义,或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解(
22xy3,,1a,2be,解法一:由,得,,( c,3b2224bb
PF,PF,2a,4b由椭圆定义,,得 12
PF,4b,PF,4b,b,3b( 12
PF1由椭圆第二定义,,为到左准线的距离, P,ed1d1
PF1d,,23b?, 1e
即到左准线的距离为( P23b
PFc32e,,解法二:?,为P到右准线的距离,, ,ed2a2d2
PF232d,,b?( 2e3
2a832,,b又椭圆两准线的距离为( c3
8323b,b,23b?到左准线的距离为( P33
说明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性(否则就会产生误解(
椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特征,解题时要灵活选择,运用自如(一般地,如遇到动点到两个定点的问题,用椭圆第一定义;如果遇到动点到定直线的距离问题,则用椭圆的第二定义(
典型例题十五
,x,4cos,,,例15 设椭圆(为参数)上一点与轴正向所成角,求P,POx,,x,3y,23sin,.,
点坐标( P
,POx分析:利用参数与之间的关系求解( ,
,解:设,由与轴正向所成角为, PP(4cos,,23sin,)x3
,,23sintan,tan,,2?,即( 34cos,
255,sin,,sin,,0cos,,0cos,而,,由此得到,,55
45415(,)?点坐标为( P55
典型例题十六
22xy(a,b,0),,1例16 设是离心率为的椭圆 上的一点,到左焦PP(x,y)e0022ab
点和右焦点的距离分别为和,求证:,(r,a,exr,a,exrFFr10202121
分析:本题考查椭圆的两个定义,利用椭圆第二定义,可将椭圆上点到焦点的距离转化
为点到相应准线距离(
22aaPQxl:x,,,,解:点到椭圆的左准线的距离,, P0cc
PF1由椭圆第二定义,, ,ePQ
r,ePQ,a,ex,由椭圆第一定义,(?r,2a,r,a,ex10210
说明:本题求证的是椭圆的焦半径公式,在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问题时,有着广泛的应用(请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式( y
典型例题十七
22xyA(1,1),,1例17 已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点FF1295
是椭圆上一点( P
PA,PF(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标; P1
3(2) 求PA,PF的最小值及对应的点P的坐标( 22
分析:本题考查椭圆中的最值问题,通常探求变量的最值有两种方法:一是目标函数当,即代数方法(二是数形结合,即几何方法(本题若按先建立目标函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目标,运用数形结合,就能简捷求解(
解:
AF,22a,6(1)如上图,,,,设是椭圆上任一点,由PF(2,0)22
PF,PF,2a,6PA,PF,AF,,?1222PA,PF,PF,PF,AF,2a,AF,6,2PA,PF,AF,等号仅当时成1122222
、、共线( 立,此时PAF2
PA,PF,PF,PF,AF,2a,AF,6,2PA,PF,AF由,?,等1122222
PA,PF,AF号仅当时成立,此时、、共线( PAF222
,,2,0,xy,x,y,2,0建立、的直线方程,解方程组得两交点AF,2225x,9y,45,
915515915515、( P(,2,,2)P(,2,,2)12714714714714
PA,PF综上所述,点与重合时,取最小值,点与重合时,PPP6,2P112
PA,PF取最大值( 6,22
PQQa,3c,2(2)如下图,设是椭圆上任一点,作垂直椭圆右准线,为垂足,由,,P
PF2322?(由椭圆第二定义知,?PQ,PF,?e,,e,2332PQ
3Q,要使其和最小需有、、共线,即求到右准线距离(右APAPA,PF,PA,PQ22
9x,准线方程为( 2
7?A到右准线距离为(此时P点纵坐标与A点纵坐标相同为1,代入椭圆得满足条2
65(,1)件的点P坐标( 5
1说明:求的最小值,就是用第二定义转化后,过向相应准线作垂线段(巧APA,PF2e
PFPQ用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段( 2
典型例题十八
22xy,,1例18 (1)写出椭圆的参数方程; 94
(2)求椭圆内接矩形的最大面积( 分析:本题考查椭圆的参数方程及其应用(为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆
的参数方程表示曲线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题(
,,x3cos,(,,R)解:(1) ( ,,y2sin,,
S(2)设椭圆内接矩形面积为,由对称性知,矩形的邻边分别平行于轴和轴,设yx
,(3cos,,2sin,)为矩形在第一象限的顶点,, (0,,,)2
S,4,3cos,,2sin,,12sin2,,12则 故椭圆内接矩形的最大面积为12(
说明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题,一般地,与圆锥曲线有关的最
值问题,用参数方程形式较简便(
典型例题十九
例19 已知,是椭圆的两个焦点,是椭圆上一点,且(P,FPF,60:FF1212
(1)求椭圆离心率的取值范围;
(2)求证的面积与椭圆短轴长有关( ,PFF12
分析:不失一般性,可以设椭圆方程为
22xy,,1a,b,0(),()( P(x,y)y,011122ab
KK,PFPF21思路一:根据题设容易想到两条直线的夹角公式,即tan60:,,3,设KK1,PFPF21
222,,,化简可得(又3x,3y,2cy,3c,0P(x,y)F(,c,0)F(c,0)111211122xy2222411,,1,两方程联立消去得,由,可以x3cy,2bcy,3b,0y,(0,b]111122ab
确定离心率的取值范围;解出可以求出的面积,但这一过程很繁(,PFFy121
PF,a,exPF,a,ex思路二:利用焦半径公式,,在中运用余弦定理,,PFF112112
求,再利用,可以确定离心率的取值范围,将代入椭圆方程中求,便xx,[,a,a]exy1111
的面积( 可求出,PFF12
PF,PF,2a思路三:利用正弦定理、余弦定理,结合求解(12
22xy,,1a,b,0解:(法1)设椭圆方程为(),,,,P(x,y)F(,c,0)F(c,0)111222ab
c,0,
PF,a,exPF,a,ex则,( 1121
在中,由余弦定理得 ,PFF12
2221(a,ex),(a,ex),4c11cos60:,,, 22(a,ex)(a,ex)11
224c,a2x,解得( 123e
22(1)?, x,(0,a]1
224c,a2224c,a,00,,a?,即( 23e
c1?( e,,a2
1故椭圆离心率的取范围是( e,[,1)2
22224c,axy2x,,,1(2)将代入得 12223eab
24bb2,yy,,即( 1123c3c
2113b2?( 2S,FF,y,,c,,b,PFF12122233c
即的面积只与椭圆的短轴长有关( ,PFF12
PF,mPF,n(法2)设,,,, ,PFF,,,PFF,,122112,,,,120:则( (1)在中,由正弦定理得 ,PFF12
mn2c,,( sin,sin,sin60:
m,n2c, ?sin,,sin,sin60:
m,n,2a?,
2a2c,?, sin,,sin,sin60:
sin60sin60c::e,,,? ,,,,,,sinsina,,,2sincos22
11,,( ,,,22cos2
,,,当且仅当时等号成立(
1( 故椭圆离心率的取值范围是e,[,1)2
(2)在中,由余弦定理得: ,PFF12
222 (2c),m,n,2mncos60:
22 ,m,n,mn
2 ,(m,n),3mn
m,n,2a?,
44222224c,4a,3mnmn,(a,c),b?,即( 33
132sin60S,mn:,b?( ,PFF1223
即的面积与椭圆短轴长有关( ,PFF12
说明:椭圆上的一点与两个焦点,构成的三角形为椭圆的焦点三角形,涉及有PFF12
关焦点三角形问题,通常运用三角形的边角关系定理(解题中通过变形,使之出现PF,PF的结构,这样就可以应用椭圆的定义,从而可得到有关,的关系式,使问ac12
题找到解决思路(
典型例题二十
22xy(a,b,0),,1例20 椭圆与轴正向交于点,若这个椭圆上总存在点,APx22ab
OP,APO使(为坐标原点),求其离心率的取值范围( e
OOP,AP分析:?、为定点,为动点,可以点坐标作为参数,把,转化为APPP
b点坐标的一个等量关系,再利用坐标的范围建立关于、、的一个不等式,转化为关于ac的不等式(为减少参数,易考虑运用椭圆参数方程( e
,,xacos,(a,b,0)解:设椭圆的参数方程是, ,,ybsin,,
P(acos,,bsin,)A(a,0)则椭圆上的点,,
,,bsinbsin,,,1OP,AP?,?, ,,acosacos,a
2b22222cos,,1cos,,即,解得或,(a,b)cos,,acos,,b,022a,b
2b222b,a,c,1,cos,,1cos,,1,1,,1? ?(舍去),,又22a,b
2a0,,2?, 2c
22e,,e,10,e,1?,又,?( 22
2(,1)OP,AP说明:若已知椭圆离心率范围,求证在椭圆上总存在点P使(如何2
证明,