高数B1上册复习试题及答案

2008~2009学年第一学期《高等数学B?》试卷 2009年1月12日 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、填空题(共7道小题，每小题3分，满分21分) nn,2,,lim,1( ( ,,,,nn，1,, 322(设，则 ( yx,,log1dy,2 ,3(若与为时的等价无穷小，则 ( fxxfx()()，,,fx(),sin2,x,,x0000 3,xt,,1,dy,4(设函数由方程所确定，则 ( y,y(x),,3dxytt,,,,t,1 25(曲线在点(3,1)处的曲率为 ( yxx,,，610 ()nfxx()dfxxxC()dcos,，6(设，则= ( ,, 311，xdx,7( ( 2,,11，x (共 12 页 第 1 页) 得 分 二、单选题(共7道小题，每小题3分，满分21分) 1(下列叙述正确的是 (A)有界数列一定有极限( (B)无界数列一定是无穷大量( (C)无穷大量数列必为无界数列( (D)无界数列未必发散( [ ] an，1lim0,{}0,1,2,aan,,，，2(设数列满足，则 nnn,,an (A)( (B)( lim0a,lim0aC,,nn,,,,nn (C)不存在( (D)的收敛性不能确定( [ ] {}alimann,,n ,,3(设，在区间上可导，且，则在上有 fx()gx()[,]abfxgx()(),[,]ab(A)( (B)( fxgx()()0,,fxgx()()0,, (C)( (D)( [ ] fxgxfbgb()()()(),,,fxgxfaga()()()(),,, ,,,,,,4(设有三阶连续导数，且满足,则下列结论正确fx()fxfxfx()()0,()0,,,000 的是 ,(A)的极小值为0( (B)是的极大值( fx()fx()fx()0 (C)是的极小值( (D)点是曲线的拐点([ ] fx()(,())xfxyfx,()fx()000 ，,kx||ed1x,5(已知，则 k,,,, (A)0( (B),2( (C),,( (D),0.5( [ ] xatt,,(sin),6(摆线的一拱与轴所围的平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积 xx,yat,,(1cos), V, x 2,a2,2222(A)( (B)( ,atatt(1cos)d[(sin)],,,att(1cos)d,,,00 2,a2,2222(C)( (D)( [ ] ,att(1cos)d,,atatt(1cos)d[(sin)],,,,00 7(设向量ab,满足||||abab,,，，则必有 (A)( (B)( (C)( (D)( [ ] ab,,0ab，,0ab,,0ab，,0 (共 12 页 第 2 页) 得 分 三、计算题(共5道小题，每小题8分，满分40分) 1,2xxcos,0,,,,1(设 求( fx()fx(),x, ,0,0,x,, 2x22xtt,cosd,02(求极限 ( lim10x,0x (共 12 页 第 3 页) 2,,3(设的一个原函数为，求 ( xfxx()dfx()sinx, 132x，2 4(计算 ( dx,201,x xyz,,，,4120,5(若点M与关于直线对称，求点M的坐标( N(2,5,0)l:,2230xyz，,，,, (共 12 页 第 4 页) 得 分 四、应用题(满分8分) 2设曲线(过点及作曲线的两条法线，求a的值，(2,0),(2,0)yaxa,,,(4)(0) 使得曲线与这两条法线所围成的平面图形面积最小( (共 12 页 第 5 页) 得 分 五、证明题(共2道小题，每小题5分，满分10分) 1(设在上连续，在内可导，且(证明在内至少存在一fx()[0,1]0,1f(1)0,0,1，，，， f,，，点，使得 ( ,,,,，，f,, 1tnxt,duxxx,，，，u2. 设，，证明数列收敛( ,,n,nn12n301sin，t (共 12 页 第 6 页) 2008~2009学年第一学期《高等数学B?》试卷 答案 2009年1月12日 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、填空题(共7道小题，每小题3分，满分21分) nn,2,,,31( (( elim,,,,,nn，1,, ,2x322(设，则 (( dy,yx,,log1dx223(1)ln2,x ,3(若与为时的等价无穷小，则 2 ( fxxfx()()，,,fx(),sin2,x,,x0000 3,xt,,1,dy,24(设函数由方程所确定，则 ( y,y(x),,33dxytt,,,t,1, 25(曲线在点处的曲率为 2 ( (3,1)yxx,,，610 n,,,()n6(设fxxxc()dcos,，fxx()d，则=( cosC，x，,,,,2,, 311，x,dx, 7( ( 2,,11，x2 得 分 二、单选题(共7道小题，每小题3分，满分21分) 1(下列叙述正确的是 (A)有界数列一定有极限; (B)无界数列一定是无穷大量; (C)无穷大量数列必为无界数列; (D)无界数列未必发散。 答:C (共 12 页 第 7 页) an，1lim0,{}0,1,2,aan,,，，2(设数列满足，则 nnn,,an(A) (B) lim0a,lim0aC,,nn,,,,nn (C)不存在 (D)的收敛性不能确定 {}alimann,,n 答:A ,,3(设，在区间上可导，且，则在上有 fx()gx()[,]abfxgx()(),[,]ab(A) (B) fxgx()()0,,fxgx()()0,,(C) (D) fxgxfbgb()()()(),,,fxgxfaga()()()(),,,答:D ,,,,,, 4(设具有三阶连续导数，且,则下列结论正确的是 fx()fxfxfx()()0,()0,,,000 ,(A)的极小值为0 (B)是的极大值 fx()fx()fx()0(C)是的极小值 (D)点是曲线的拐点 fx()(,())xfxyfx,()fx()000答:D ，,kx||ed1x,5(已知，则 k,,,, (A)0( (B),2( (C),,( (D),0.5( 答:B xatt,,(sin),6(摆线 的一拱与轴所围的平面图形绕轴旋转所得的旋转体的体积xx,yat,,(1cos), V= 2,a2,2222(A) (B) ,atatt(1cos)d[(sin)],,,att(1cos)d,,,00 2,a2,2222(C) (D) ,att(1cos)d,,atatt(1cos)d[(sin)],,,,00答:D 7(设向量ab,满足||||abab,,，，则必有 (A) (B) (C) (D) ab,,0ab，,0ab,,0ab，,0 答:C (共 12 页 第 8 页) 得 分 三、计算题(共5道小题，每小题8分，满分40分) 1,2xxcos,0,,,,1(设 求( fx()fx(),x, ,0,0,x,, 11,时 …………(4分) x,0fxx()2cossin,，xx 12xcos,fxf()(0)x,时 …………(8分) x,0,,,f(0)limlim0xx,,00xx 11,2cossin,0,xx，,,, fx(),xx, ,0,0x,, 2x22xtdt,cos,02(求极限 lim10x,0x 2x22xtdt,cos,0lim10x0,x 422cosxxx,,lim(2)分9x0,10x 41cos,x,lim(4)分解 8x0,5x 8x 2,lim(6)分8x0,5x 1,.(8)分10 2,,xfxx()d3( 设fx()的一个原函数为，求( sinx, 22,,,,xfxxxfxxfxx()d()2()d(2),,,分,, 2，，,,,,xfxxfxfxx()2()()d(4)分,，， 2,,,，，xfxxfxxC()2()2sin(6)分 2,,,,，，xxxxxC(sin)2cos2sin 2,( …………(8分) ,,，，xxxxxCsin2cos2sin (共 12 页 第 9 页) 132x，24(计算( dx,201,x 解: 132x，2dx,201,x 122,,,，312arcsin(4)xx分 ，，0 33,,,，3.(8)分26 xyz,,，,4120,5(若点M与关于直线对称，求M的坐标( N(2,5,0)l:,2230xyz，,，,, 解:l的方向向量为 ijk …………(2分) S,,,3(2,2,1)114,, 212,L的方程为 xt,,，52,, yt,,72, ,zt,, 过N垂直l的平面为:， …………(5分) 2260xyz,，，,, l，交点为，即为MN中心 (1,3,2),, xyz，，25000设Mxyz(,,)，则 ,,,,1,3,2000222 解得M为( …………(8分) (4,1,4), (共 12 页 第 10 页) 得 分 四、应用题(满分8分) 2 设曲线(过点及作曲线的两条法线，求a的值使曲线与(2,0),(2,0)yaxa,,,(4)(0) 这两条法线所围成的平面图形面积最小( 1,,解:，法线:( …………(2分) yaxya,,,,2,(2)4yx,,(2)4a 2是偶函数( yax,,(4) 21，，2 ？,Sx2daxx(4)(2),,,,,,04a，， 2x1,,2,2dx,,，，axa4,,,042aa,, 232,,xxx,2,,，，aax4,,382aa,,0 321,，a. …………(5分) 3a 321,Sa(),,23a 362,Saaa()0,,.,,,328 2,,， Sa()0,,3a 6当时，S为最小 . …………(8分) a,8 (共 12 页 第 11 页) 得 分 五、证明题(共2道小题，每小题5分，满分10分) 1(设在上连续，在内可导，(证明在内至少存在一点， fx()[0,1]0,1f(1)0,0,1,，，，， f,，，,使得 ( ,,f,，，, 证明:设，在上连续，在内可导，(3分) [0,1]Fxxfx,FF010,,,0,1，，，，，，，，，， f,，，,,在内至少存在一点，使得 。即( …(5分) ,F,,00,1,,f,，，，，，，, 1tn2.设，，证明数列收敛( udtuxxx,，，，x,,,nn12nn,301sin，t 证明:因为所以单调增加。 …………(2分) x,0,uxxx,，，，nnn12 11t11nn ， xttt,,,,ddn,,32001sin2，tn ,,111111,,uxxx,，，，,，，，,，，，11,,nn12,,22nnn,,,222211，，,,,, 11,,,,,21,,,n2,, 所以，数列u收敛( ………(,分) ,,n (共 12 页 第 12 页)