矩母函数

条件期望、矩母数山东财经大学保险学院谭璐主要内容一、条件期望二、混合分布三、矩母函数四、特征函数一、条件期望 给定变量Y时，在X上的概率分布 对Y的每个可能取值，对X都定义有一个概率分布 也能求期望，称为条件期望 ：数字 ：y的函数。在知道y的值之前，不知道 ：随机变量，当Y=y时，的值 ：随机变量 假定对采样，在给定x后，在对采样直观地，期望 事实上，对，有 得到期望 因而 注意：是随机变量，当时，其值为 思考题：当X与Y独立时，的值？ 定理：对随机变量X和Y，假设其期望存在，则 更一般地，对任意函数 证明：利用条件期望的定义和与Y有关的随机变量 怎样计算？ 一种方法是计算联合密度，然后计算 另一种更简单的方法是分两步计算 计算 计算条件方差 定义：条件方差定义为 其中 定理：对随机变量X和Y，证明：根据定义，_1251571469.unknown_1251572659.unknown_1251573400.unknown_1251573412.unknown_1251572787.unknown_1251572235.unknown_1251571143.unknown在给定X的情况下，条件分布为，Y为随机变量，因此上式中为常数，因此所以二、混合分布 在一个分布族中，分布族由一个/一些参数决定，如，这些参数通常又是一个随机变量（贝叶斯学派的观点，参数也是随机变量），则最终的分布称为混合分布(mixturedistribution) 渐增式地定义一个复杂的模型：通过条件分布与边缘分布 希望知道，至少是其期望和均值（条件期望和方差）混合分布举例 例：假设昆虫会产很多数量的蛋，蛋的数量为一个随机变量，用示；另外假设每个蛋的是否存活是独立的，存活的概率为p,为Bernoulli分布，用X表示存活的数量，则 期望： 亦可通过条件期望计算： 方差： 亦可通过条件期望计算： 矩母函数的得名起因于下述公式：E(Xk)=M(k)(0)对于非负随机变量X来说，习惯上做一变换s=-t,LX(s)=MX(t)通常称上式为X的laplace变换。三、矩母函数（MomentGeneratingFunctions）拉式变换与概率分布函数 定理：一函数L(s)(s≥0)是某一分布函数的Laplace变换的充要条件为L(0)=1，无穷次可导，且满足(-1)nL(n)(s)≥0,(s≥0,n≥0)矩母函数（MomentGeneratingFunctions） 矩母函数：用于计算矩、随机变量和的分布和定理证明 定义：X的矩母函数（MGF），或Laplace变换定义为 其中t在实数上变化。 若MGF是有定义的，可以证明可以交换微分操作和求期望操作，所以有： 取k阶导数，可以得到方便计算分布的矩矩母函数（MomentGeneratingFunctions）定义X是离散型r.vX是连续型r.v矩母函数与分布间的一一对应唯一性定理：如果，MX(θ)=MY(θ)<∞在θ的某个区间上成立，则随机变量X与Y同分布。X的矩母函数可以变形为：于是：矩母函数与随机变量X的各阶矩另一方面：于是：性质1：例：从而：再考虑：于是：而从而特别性质2：设X,Y是相互独立的随机变量，则：证明：系：设X1…Xn是独立随机变量，则：例：设Z1…Z2是相互独立的标准正态分布随机变量，则：证明：设z是标准正分布的随机变量当θ<1/2时，作变换于是：另一方面，的密度函数为其矩母函数为： 令，对任意，有 当时，上述积分是发散的。 所以矩母函数的性质 引理：MGF的性质 若，则 若独立，且，则 例：矩母函数的性质 定理：令X、Y为随机变量，如果对在0附件的一个开区间内所有的t，有，则。 例：令 且独立， 则 为分布的MGF，即多元矩母函数定义：性质1性质2是虚数单位.四、特征函数定义设X是一随机变量，称(t)=E{exp(itX)}为X的特征函数.(1)当X为离散随机变量时，(2)当X为连续随机变量时，(1)欧拉公式：(2)复数的共轭：(3)复数的模：特征函数的计算中用到复变函数，为此注意：性质|(t)|(0)=1若X与Y独立，则