【doc】A—调和方程弱解的逆Holder不等式及其应用

【doc】A—调和方程弱解的逆Holder不等式及其应用 A—调和方程弱解的逆Holder不等式及其 应用 应用数学 MATHEMATICAAPPLICATA 2002.15(4J:l02,104 -A一调和方程弱解的逆H61der不等式及其应用 高红亚,陈银珠h (1.河北大学数学与计算机学院,河北保定071002;2.石家庄师专正定分校,正定050800) 摘要:本文给出A一调和方程弱解的逆HOlder不等式及其若干应用. 关键词:A一调和方程;逆HOlder不等式i拟正则映射. 中图分类号:0175.23AMS{2000}主题分类:30C62;35J60 文献标识码:A文章编号:1001—9847(2002)04—0102—03 设n为(?2)中的区域.映射f一(/'-,厂2,…,):n一称为K一拟正则映射,K ?E1,oo),若,?(n),并且 I/(工)I?Kdet.(z),a.e.工?n,(1) 这里/(工)为,的Jacobi矩阵,detf(工)为,的Jacobi行列式,I/(工)I:maxI/(工)I为 矩阵范数. 下面的结果为人熟知(见E1—33):拟正则映射f:(,l,,2'..?,)?W1I..(n)的每一分量 函数乱一,i(z)(一1,2,…,)以及函数乱=logI,(工)I都是下面的拟线性椭圆型方程(A一 调和方程)的弱解 divA(x,)=0,A=(A1,A2,…,A),(2) 其中A(z,0:(?0(工),),t/z,(3)ii-j—l ,』(工)为函数,并满足条件 三 . f(K)II?0(z),?f2(K)IIl2.(4) 命题[函数?.(n)为(2)满足条件(4)的弱解的充分必要条件是存在一个(一 —^ 1)一微分形式(工)=?O,(x)dx^…^dx^…^dx?L州'(n),其中抑扬符项示一 1 r 该项被去掉,具有性质:(a)对任意具有紧支集的(工)?W(n),有I却(z)^(z)=0;(J订 对几乎所有的z?n,下面的不等式成立-Idu(x)I?*(du(工)^(工)),这里"*"表示微 分形式的直交补,并且I(z)I?Idu(工)I一,其中常数,>0. 定理设?(n)为A-调和方程(2)的弱解,则下面的逆HOlder不等式成立 ? 收稿日期:2002-03—05 基金项目:河北大学科研起动基金资助项目 作者简介:高红亚(1969-),男,汉,博士,副教授,主要从事复和偏微分方程的研究 第4期高红亚等:A一调和方程弱解的逆HOlder不等式及其应用103 其中BRcB2R I?c?(.Iz)I如)半,(5) ccn为同心球,=为积分平均. 引理l咖设1<户,q<..,并且q?,若?w'(Bz),则 U一II?CR?n寺一古IIDuIILP(B2R),(6) 这里B是以2R为半径的球,=ludx,常数C只依赖于P,q,,z. JB2 定理的证明设为(2)满足(4)的弱解,取试验函数rl(x)?C(BzR),使得在BR上 17(z)三1,并且I17(z)I?,(z?B2R).取(z)=((z)--C)V(z),其中c为待定常 数.代人条件(a)得到d(((z)一c)17(z))^O(x)一.,此即 J.f|2V(x)d()^(z)=一J.:((z)一c)dy/(z)人(z). 再由条件(得到 lIIdu(z)Idx?I*(rl(x)du(x)^O(x))dxJRJB2R — I17(z)du(x)^(z)一一I((z)一c)dy(x)^(z)JRJBZR ? B2I)一cIIdy(zII?zJlI)一cIIB2R(如.(7)3BtR瓜J 取q=,z2,户=,则1<q,户<oo,+1=1. 由H6lder不等式得到 )_Cl(n--Idx?()_Cl一.如).(du(x)l妄如). (8) 再取=,=,z2,则1<,<oo,=禹.取c==J.‰(z)如,由(8)式及 引理1得 J..I一IIdu(x)I一-如?c(,z)(J..I(z)I如)(J.I(z)I如) -C(,z地I(未dz)半(9) 联系(7),(9)便得 BR I(工)I如?o-~(f.I(z)I如)半, 两端除以IBRI=R,为R中单位球体积,得到(5),证毕. 引理2设0<2R<R.?dist(xo,al1),Vz.?0.如果对于函数g(z)?Lp(B2R),1< P<oo,^(z)?L(B2R),t>P,有以下的弱逆H61der不等式成立 Ig(z)I妇? ‰Ig(z)I妇+c(‰Ig(z)I'如)+‰I^(z)I如, 104应用数学2002 这里1?s<P,0?<l,则一定存在指数P:P(,P,,c)>P,使得g(z)?EL(n,); 并且下式成立 ()ICdx)?cz)IPdx)古+(出)}' 这里的C仅依赖于7/,C,P,0,d.. 结合定理与引理2,得到拟正则映射与A-调和方程(2)的弱解的L(户>)可积性. 推论1存在可积指数P>7/,使得对任意A_调和方程(2)弱解U?(n),都有U? w,(n)(户>). 推论2存在可积指数P>,使得对任意K-拟正则映射.厂?w(n),都有,? w.1(n)(P>). 由Sobolev嵌入定理得到A_调和方程(2)弱解的H61der连续性结果. 推论3设P如推论1.对任意调和方程(2)的弱解U?W1-),有U?CoL~(力),其 中口一1一_n;且对n中的任意紧子集Gcn,有If(x1)一f(xz)l?Clz1一zzl,Vz1.zz P ?G. 推论4对任意A_调和方程(2)的弱解"?W1..(n)是几乎处处可微的. 上述推论是推论1与[3,Prop5.1]的直接结果. 参考文献: [1]1waniecT,MartinG.Quasiregularmappingsinevendimensions[J].Acta.Math.,1993,170:29~81. [2]1waniecT.p-I1armonictensorsandquasiregularmappings[J].Ann.ofMath.,1992,136:589,624. [3]BoiarskiB,1waniecT.AnalyticalfoundationsofthetheoryofquasiconformalmappingsinR.Ann. Acad.Sci.Fenn.Ser.A.I.Math.,1983.8:257,324. [4]MiklyukovVM.AsymptoticpropertiesofsubsolutionsofquasilinearequationsofeUiptictypeandmap— pingswithboundeddistortion[A].Mat.Sb.,1980,11:42~66[C];Eng1.trans1.inMath.USSRSb., 1981.39:37,6O. Is]FrankeD,MartioO,MiklyukovVM,VuorinenM.WiskR.QuasiregularmappingsandWT-classesof differentialformsonRiemannianmanifolds[J].PacificJ.ofMath.,2002,202(1):73,92. [6]ReshemyakYuG.Spacemappingswithboundeddistortion[J].Trans.Math.Monographs,Amer. Math.SoC..1989,173. ReverseHflderInequalityforWeakSolutionsofA—Harmonic EquationanditsApplications GAOHong—ya,CHENYin—zhu (j.CollegeofMathematicsandComputerScience,HebeiUniversity,Baoding071002Chi 口;2.) Abstract:Inthispaper,wegivethereverseH61derinequalityforweaksolutionsofA harmonicequationanditsapplications. Keywords:A—Harmonicequation;ReverseH61derinequality;Quasiregularmapping