普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷Ⅱ)(含答案)

名师考前提醒01选择题做完就填答题卡这是针对考试总会忘记填答题卡的考生，为避免非智力因素失分，一般每门一做完选择题就填答题卡。这时填答题卡心态较平静，不会因为担心时间不够而出现涂写错位的情况。考试成绩的好坏往往与考试的心情有关，所以我们一定要调节好自己的考试心情。特别是刚开始的状态，利用一些小的技巧如做完试题就填涂答题卡等，这样可以避免在最后时间较紧的情况下因匆忙而涂错、涂串或是没有涂完而造成遗憾。02考前看相关转换思维考前最好看看复习资料，并不是要记住什么，而是让大脑提前进入状态。而数学试卷对一些学生来说比较发怵，建议在心中回忆梳理一下相关知识点，可驱使自己进入状态，效果不错。考试紧张，这是很正常的事情，考试不紧张，就不正常了。但是不能过度紧张，那样会给自己很大的压力不利于水平的发挥。可以和同学聊一聊天，说说话放松一下。03遇事都往好处想看大题时，先不想该怎么做，只是看它如何表述，甚至跟自己说“这题我会做，第一问认真看就能做对”，让自己有一个平和的心态答题。即使是弱科，我们也要知足常乐，我只要把会做的都做上，在一场考试中把会的都做对其实就是很好的发挥了。时刻给自己打一打气，阿Q一下，这样把对自己的期待放低一些，心态就平稳了，也就高兴了，这可以使得思路更顺畅，而超水平发挥也就很正常了。04别看他人答题的速度考场上不要左顾右盼，观察别人做题的进度，万一人家比自己快，会给自己压力。在考场上和比较熟悉的老师、同学可以主动打个招呼。即使是不认识的老师，也可问候一声“老师好”，一般老师都会像老朋友似地回以微笑，这可以缓解紧张的情绪。这一些方法和措施都是很有助于调节考试心态与考试情绪的。有心理学家研究证明，人在平稳的平稳或是心情高兴的时候，智商最高，情商也不错，更容易发挥出自己的高水平来。05答题遇困难要镇静，巧用考前5分钟这个问题是涉及到考试策略与方法的，对于每一学科的考试，我们都应该有自己的考试策略和答题风格。即考试时间的规划，答题的原则，遇到问题时的心理准备与应对方法、如何调节自己的在答题等等。计划不如变化快，我们的计划要随着试题的难易程度随时调整，目的是在有限的时间里有质有量的完成每一道试题。要随机而动，在发卷后的5分钟里，要先浏览一下第二卷的试卷结构和试题的分布、难易程度等等，初步制定出本试卷的答题计划和答题顺序。先易后难，先熟后生，这就要充分利用这5分钟，做很好的规划。只有这样才不至于把难度较大的先做而浪费了时间和精力。绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试1理科数学本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1)B．(-2，1)C．(-3，-1)D．(3，+∞)2．设z=-3+2i，则在复平面内z对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知AB=(2,3)，AC=(3，t)，BC=1，则ABBC=A．-3B．-2C．2D．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L点的轨道运行．L点是平衡点，位于22地月连线的延长线上．设地球质量为M，月球质量为M，地月距离为R，L点到月球的距离为r，根据１２2牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：MMM12(Rr)1.(Rr)2r2R32r33345设，由于的值很小，因此在近似计算中33，则r的近似值为R(1)2MMA．2RB．2RM2M113MMC．2RD．2R3M33M115．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数B．平均数C．方差D．极差6．若a>b，则A．ln(a−b)>0B．3a<3bC．a3−b3>0D．│a│>│b│7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面x2y28．若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p=3ppA．2B．3C．4D．89．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是242A．f(x)=│cos2x│B．f(x)=│sinx│2C．f(x)=cos│x│D．f(x)=sin│x│10．已知α∈(0，)，2sinα2=cosα2+1，则sinα=215A．B．55325C．D．353x2y211．设F为双曲线C：1(a0,b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2a2b2交于P，Q两点.若PQOF，则C的离心率为A．2B．3C．2D．512．设函数f(x)的定义域为R，满足f(x1)2f(x)，且当x(0,1]时，f(x)x(x1).若对任意8x(,m]，都有f(x)，则m的取值范围是997A．,B．,4358C．,D．,23二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为__________.14．已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln2)8，则a__________.π15．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B，则△ABC的面积为__________.316．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________.（本题第一空2分，第二空3分.）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．4（一）必考题：共60分。17．（12分）如图，长方体ABCD–ABCD的底面ABCD是正方形，点E在棱AA上，BE⊥EC.111111（1）证明：BE⊥平面EBC；11（2）若AE=AE，求二面角B–EC–C的正弦值.1118．（12分）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.19．（12分）已知数列{a}和{b}满足a=1，b=0，4a3ab4，4b3ba4.nn11n1nnn1nn（1）证明：{a+b}是等比数列，{a–b}是等差数列；nnnn（2）求{a}和{b}的通项公式.nn20．（12分）x1已知函数fxlnx.x1（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；（2）设x是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x，lnx)处的切线也是曲线yex的切线.00021．（12分）1已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C.25（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：△PQG是直角三角形；（ii）求△PQG面积的最大值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，O为极点，点M(,)(0)在曲线C:4sin上，直线l过点A(4,0)且与OM000垂直，垂足为P.（1）当=时，求及l的极坐标方程；030（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知f(x)|xa|x|x2|(xa).（1）当a1时，求不等式f(x)0的解集；（2）若x(,1]时，f(x)0，求a的取值范围.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学·参考答案1．A2．C3．C4．D5．A6．C7．B8．D9．A10．B11．A12．B13．0.9814．–315．6316．26；2117．解：（1）由已知得，BC平面ABBA，BE平面ABBA，111111故BCBE．11又BEEC，所以BE平面EBC．111（2）由（1）知BEB90．由题设知Rt△ABERt△ABE，所以AEB45，1116故AEAB，AA2AB．1以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，|DA|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），C（0，1，2），E（1，0，1），CE(1,1,1)，CC(0,0,2)．11设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则CBn0,x0,即CEn0,xyz0,所以可取n=(0,1,1).设平面ECC的法向量为m=（x，y，z），则1CCm0,2z0,1即CEm0,xyz0.所以可取m=（1，1，0）．nm1于是cosn,m．|n||m|23所以，二面角BECC的正弦值为．1218．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–04）=05．（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为7[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．119．解：（1）由题设得4(ab)2(ab)，即ab(ab)．n1n1nnn1n12nn1又因为a+b=l，所以ab是首项为1，公比为的等比数列．11nn2由题设得4(ab)4(ab)8，n1n1nn即abab2．n1n1nn又因为a–b=l，所以ab是首项为1，公差为2的等差数列．11nn1（2）由（1）知，ab，ab2n1．nn2n1nn111所以a[(ab)(ab)]n，n2nnnn2n2111b[(ab)(ab)]n．n2nnnn2n220．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．e1e21e23因为f（e）=10，f(e2)20，e1e21e21所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x，即f（x）=0．1111x1又01，f()lnx1f(x)0，xx1x111111故f（x）在（0，1）有唯一零点．x1综上，f（x）有且仅有两个零点．11lnx（2）因为e0，故点B（–lnx，）在曲线y=ex上．x0x00x1由题设知f(x)0，即lnx0，00x10811x1lnx0x0xx11故直线AB的斜率k000．lnxxx1x000x0x100111曲线y=ex在点B(lnx,)处切线的斜率是，曲线ylnx在点A(x,lnx)处切线的斜率也是，0xx00x000所以曲线ylnx在点A(x,lnx)处的切线也是曲线y=ex的切线．00yy1x2y221．解：（1）由题设得，化简得1(|x|2)，所以C为中心在坐标原点，焦点x2x2242在x轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为ykx(k0)．ykx2由x2y2得x．112k2422记u，则P(u,uk),Q(u,uk),E(u,0)．12k2kk于是直线QG的斜率为，方程为y(xu)．22ky(xu),2由得x2y2142(2k2)x22uk2xk2u280．①u(3k22)uk3设G(x,y)，则u和x是方程①的解，故x，由此得y．GGGG2k2G2k2uk3uk21从而直线PG的斜率为2k．u(3k22)ku2k2所以PQPG，即△PQG是直角三角形．2ukk21|PG|2（ii）由（i）得|PQ|2u1k，2k2，918(k)18k(1k2)k所以△PQG的面积S|PQ‖PG|．2(12k2)(2k2)112(k)2k1设t=k+，则由k>0得t≥2，当且仅当k=1时取等号．k8t16因为S在[2，+∞）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为．12t2916因此，△PQG面积的最大值为．922．解：（1）因为M,在C上，当时，4sin23.000303由已知得|OP||OA|cos2.3设Q(,)为l上除P的任意一点.在Rt△OPQ中cos|OP|2，3经检验，点P(2,)在曲线cos2上.33所以，l的极坐标方程为cos2.3（2）设P(,)，在Rt△OAP中，|OP||OA|cos4cos,即4cos..因为P在线段OM上，且APOM，故的取值范围是,.42所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,,.4223．解：（1）当a=1时，f(x)=|x1|x+|x2|(x1).当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(,1).（2）因为f(a)=0，所以a1.当a1，x(,1)时，f(x)=(ax)x+(2x)(xa)=2(ax)(x1)<010所以，a的取值范围是[1,).11