基于MATLAB的FIR 数字低通滤波器设计

基于MATLAB的FIR 数字低通滤波器设计 基于MATLAB的FIR+数字低通滤波器设计 毕业设计(论文)任务书 目:基于MATLAB的FIR 数字低通滤波器设计 系 名 信息系 专 业 电子信息工程 学 号 6009202371 学生姓名 马成 指导教师 李晓峰 职 称 讲师 2012年 12 月 15 日 一、原始依据(包括设计或论文的工作基础、研究条件、应用环境、工作目的等。) 研究条件:在大学四年专业学习的基础上，阅读有关MATLAB软件使用方法以及数字滤波器设计等方面的书籍;掌握MATLAB编程语言，熟练利用计算机进行MATLAB仿真设计。 应用环境:数字滤波器在现实生活中与人们息息相关，广泛使用于各种声音、图像以及文字等处理系统中。将MATLAB强大的运算处理能力有机融入数字滤波器设计中可实现对于数字滤波器的快速设计以及各种处理变换。 工作目的:本课题的主要任务就是利用MATLAB软件中的数字信号处理工具箱实现FIR低通数字滤波器的设计。 二、参考文献 [1]徐明远，刘增力，《MATLAB仿真在信号处理中的应用》[M].西安:西安电子科技大学出版社，2007.11. [2]陈桂明，张明照，《应用MATLAB语言处理信号与数字图像》[M].北京:科学 出版社，2000.5. [3]飞思科技产品研发中心.MATLAB基础与提高[M].北京:电子工业出版社，2005. [4]高西全，丁玉美.数字信号处理[M].西安:西安电子科技大学出版社，第三版，2008. [5]李亚奇，张雅琦.线性相位FIR数字滤波器[J].电子测量技术，2005(6):35-37. [6]郭德才.基于Matlab的FIR低通滤波器的设计与仿真[J].通化师范学院学报，2009, 30(8):38-41. [7]赵刚.基于数字滤波器设计的讨论[J].南开大学学报(自然科学版)，2003(3):101-103. [8]陈明军.改进窗函数在FIR数字滤波器设计中的应用[J].继电器，2007(13):65-67. 三、设计(研究)内容和要求(包括设计或研究内容、主要指标与技术参数，并根据课题性质对学生提出具体要求。) 1、研究内容:研究目前利用MATLAB应用于数字信号处理方面设计数字滤波器的内容，熟练掌握MATLAB语言和数字滤波器设计方法，实现基 于MATLAB的数字低通滤波器设计。 2、主要技术指标及设计具体要求: 本设计要求在熟练应用MATLAB软件的基础上，采用目前常用的窗函 数法、频率采样法和等波纹最佳逼近法等FIR 数字滤波器的设计方法设计 一个数字低通滤波器，并对设计结果进行比较分析，研究它们各自的优缺 点及适用对象。 指导教师(签字) 年 月 日 审题小组组长(签字) 年 月 日 天津大学仁爱学院本科生毕业设计(论文)开题 毕业设计(论文)说明书 题目: MATLAB的FIR数字低通滤波器设计 系 名 信息工程系 专 业 电子信息工程 学 号 6009202371 学生姓名 马成 指导教师 李晓峰 2013 年 6 月 9 日 基于 摘 要 在数字信号处理中,由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号 分析都是基于滤波器而进行的， 因此数字滤波器是占有极其重要的地位。 在数字控制系统中输入信号中所含的干扰对系统的性能会产生很大的影 响，因此需要对输入信号进行处理，以提取有用信号。有限长冲激响应(FIR) 滤波器在数字信号处理中发挥着重要作用，采用MATLAB软件对FIR数字 滤波器进行仿真设计，简化了设计中繁琐的计算。本文是采用窗函数法， 频率采样法通过调用MATLAB函数设计FIR数字滤波器。绘制对应的幅频 特性曲线。最后用基于MATLAB函数设计的FIR数字滤波器进行语音滤波 处理，通过滤波前后信号的频谱图和生成的声音文件的对比，分析不同滤 波器的滤波效果。 关键词:FIR数字滤波器;窗函数法;频率抽样法; ABSTRACT In digital signal processing, because the signal is often mixed with a variety of complex composition, so a lot of signal analysis are based on the filter, digital filter occupies an extremely important position.In digital control system, interference, which is mixed in the input signal, has a great effect on performance of the system. Therefore, processing of input signal has to be done to get useful signal. Finite impulse response (FIR) filter plays an important role in the processing of digital signal. Designing the FIR filter by Matlab can simplify the complicated computation in simulation and improve the performance. By using the methods of window function, frequency sampling ,the design of FIR digital filter has been processed in Matlab. In the view of the designed program of Matlab and the figure of the amplitude-frequency characterization. At last, by using the FIR digital filters which have been designed to process the sound signal based on the Matlab function, the filtering effect of different digital filters is analyzed by comparing the signal’s spectrum viewers and the sound files which have been generated. The experimental results show that the FIR filters designed in this paper are effective. Key words:FIR digital filter;windowing method; frequency;sampling;method; 目 录 第一章 绪 论 .............................................................................................................. 1 1.1 课题来源及意 义 ............................................................................................. 1 1.2 国内外发 展现状 ............................................................................................. 1 1.3 研究 目标 ............................................................................................................. 1 1.4 研究内 容 ............................................................................................................. 1 第 二章 数字滤波器线性相位条件 ........................................................... 2 2.1 FIR数字滤波器概 念 .................................................................................... 2 2.2 FIR数字滤波器 的线性线性相位定义 ............................................... 3 2.3 FIR数字滤波器线 性相位时域约束条件 .......................................... 3 第三章 MATLAB简 介 ............................................................................................ 4 3.1 MATLAB基本功 能 ............................................................................................ 4 3.2 MATLAB的 优势及特点.................................................................................. 4 第四章 FIR数字滤波器的设计 .................................................................. 6 4.1 窗函数法设计FIR数字滤波 器 .............................................................. 6 4.2 利用频率采样法设计FIR数 字滤波器 .............................................. 9 4.3 利用等波纹最佳逼近法设计 FIR数字滤波器 ............................ 11 5.1 窗函数法的MATLAB实 现 ......................................................................... 13 5.2 频率抽样法的MATLAB实 现 .................................................................... 17 5.3 利用滤波器处理加有噪声的音频波形 ............................................ 20 第五章 利用MATLAB实现FIR滤波器设计..................................... 13 第六章 总结与展 望 .......................................................................................... 24 附 录 ........................................................................................................................ ............. 26 外文资料 中文译文 致谢 参考文 献 ........................................................................................................................ .. 25 1 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第一章 绪论 1.1 课题来源及意义 数字滤波技术作为数字信号处理的基本分支之一，就是提取信号的有用分量，削弱无用分量的技术，被广泛应用于数据处理，图像处理、雷达、声纳信号处理、地址石油勘探等很多领域，越来越受到人们关注。由单位冲击响应的不同数字滤波器有两种类型: 有限冲击响应(Finite Impulse Response，FIR)数字滤波器和无限冲击响应(Infinite Impulse Response，IIR)数字滤波器。两种类型滤波器相比而言，对于同样的滤波器设计指标，虽然FIR 滤波器成本较高，信号延迟较大并且FIR 滤波器没有现成的计算(必须要用计算机辅助设计软件(如MATLAB)来计算)，但是FIR滤波器可以采用FFT算法，运算速度较快;精度高，具有严格的线性相位等特点优于IIR 数字滤波器已被广泛应用。本课题设计的就是基于MATLAB的FIR 数字低通滤波器设计。 1.2 国内外发展现状 无论是在理论研究上还是在如语音、数字音频、图像处理、通讯、雷达、军事、航空航天、医疗等实际应用上都有着美好的技术前景和巨大的 使用价值。 采用数字技术则避免很多类似的难题，如模拟电路元件对温度的敏感性等等 数字滤波器在其他方面也有很多突出的优点都是模拟技术所不能及的，所以采用数字滤波器对信号进行处理是目前的发展方向。 1.3 研究目标 主要研究基于MATLAB的FIR低通滤波器。具体是采用窗函数设计法、频率采样法、等波纹逼近法进行设计，并用MATLAB软件编写程序进行仿真 1.4 研究内容 1、研究FIR滤波器的定义、分类、应用以及设计方法。 2、了解FIR滤波器窗函数的设计方法及原理。 3、了解FIR滤波器频率采样的设计方法及原理。 4、了解FIR滤波器等波纹逼近的设计方法及原理。 5、确定滤波器的技术指标，并进行MATLAB仿真 1 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第二章 数字滤波器线性相位条件 2.1 FIR数字滤波器概念 所谓数字滤波器，是指输入，输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此数字滤波的概念和模拟滤波是相同的，只是信号的形式和实现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定。体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题， 可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。如果要处理的是模拟信号，可以通过A/DC和D/AC,在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波[10]。 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲长度分类，可以分成无限单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限长单位脉冲响应(FIR)滤波器。他们的系统函数分别为:(2-1) (2-2) N?1 H(z)??bzr r?0 M k?1?r (2-1) 1??akz?k 其中,krabNM均为滤波器参数。 在(2-1)中，当ka值不全为零值时，Z域系统函数H(z)的必定含有一个或多个以上的极值点，此时单位脉冲响应该为无限长，对于一个稳定的数字滤波器来说，Z域系统函数H(z)必须在单位圆内，因而把含有极值点的Z域系统函数H(z)的数字滤波器称为无限脉冲响应数字滤波器(Infinite Impulse Response)，即IIR数字滤波器。 而当ka值全为零时，Z域的系统函数H(z)只有一个零点，(2-1)表示的系统函数H(z)可以写成: H(z)?N?1 r?0?bzr?r (2-2) 公式(2-2)表明，FIR滤波器的系统函数是的(N-1)阶多项式，在有限z平面(0,n,?)上有(N-1)个零点，而在z平面的原点z=0处有(N-1)阶极点 (2-2)式表示的系统，其单位脉冲响应可以表示为: h(n)?y(n)??br?(n?r) r?oN?1 (2-3) 在(2-3)中，只有当0?n?N-1，h(n)才有非零值，所以数字滤波器的脉冲响应是有限长的，因此在数字信号处理中把这种数字滤波器称为有限脉冲响应数 2 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 字滤波器(Finite Impulese Response)，即FIR数字滤波器。 2.2 FIR数字滤波器的线性线性相位定义 设FIR数字滤波器脉冲响应的长度为N，则其频率响应可以表示为: H(e)?j??h(n)e n?0N?1?j?n (2-4) (2-4) 式通过欧拉恒等式展开可得到 第一类线性相位特性: 的相位特性?(?)，有两种线性相位特性，通常称为第一类线性相位和第二类线性相位。 第2类线性相位特征: 严格地说第二种情况时的?(?)是不具有线性相位特性的，但上述两种情况都是满足群延迟是一个常数，仍可以视为是具有线性相位的，在第二类线性相位中 是常用的一种情况[5]。 2.3 FIR数字滤波器线性相位时域约束条件 对于第一类线性相位，即 个三角函数求和公式: N?1 n?0，通过一系列的运算整理之后可得到一?h(n)sin[?(n??)]?0 (2-5) 式中正弦函数h(n)sinω(n-τ)为奇对称，当τ=(N-1)/2时，对称中心为n=(N-1)/2，h(n)需要满足关于(N-1)/2偶对称，即要求: N?1 n?0 (2-6) 对于第二类线性相位，即?(?)???/2???时，通过运算得到公 式: ?h(n)cos[?(n??)]?0 (2-7) 函数为h(n)cos?(n??)偶对称，当??(N?1)/2时，对称中心也为n?(N?1)/2。若要使上式成立，则要使h(n)关于(N?1)/2奇对称，即要求: h(n)??h(N?1?N),0?n?N?1 (2-8) 从上述分析看来，线性相位FIR数字滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时对()hn的约束条件，对于第一类线性相位，冲激响应h(n)满足(2-6)式;对于第二类线性相位，冲激响应h(n)满足(2-8)式。 3 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第三章 MATLAB简介 3.1 MATLAB基本功能 MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的解决，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言(如C、Fortran)的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平[3]。 3.2 MATLAB的优势及特点 MATLAB的优势 (1) 工作平台编程环境十分友好 (2)数据的计算处理能力十分强大 (3)图像处理能力强大 (4)编程语言简单易用 (5)模块集合工具箱应用广泛 (6)程序的接口和发布平台很实用 (7)可以开发用户界面 MATLAB语言的特点 MATLAB语言被称为第四代计算机语言，其利用丰富的函数资源，使程序员从繁琐的程序代码中解放出来，其最突出的特点是简洁。MATLAB用更直观的、符合人们思维习惯的代码，代替了C和FORTRAN语言的冗长代码，给用户带来最直观、最简洁的程序开发环境，下面简单介绍一下 MATLAB的主要特点。 语言简洁紧凑，使用非常方便，库函数十分丰富。MATLAB程序书写的形式自由，利用丰富的库函数避开了繁琐的子程序编程任务，由于库函数都是由本领域的专家编写，所以不必担心函数的可靠性。 高效方便的矩阵和数组运算，MATLAB语言不需要定义数组的维数，并给出了矩阵函数、特殊矩阵函数、特殊矩阵专门的库函数，使得在求解信号处理、建模、系统识别、优化和控制等领域的问题时，显得大为简洁、方便、高效，这是其他高级语言所不能的。 MATLAB既具有结构化的控制语句，又具有面向对象编程的特性。 MATLAB语法限制不严格，程序设计自由度大，通过建立M后缀名文件的形式，与用户已经编好的FORTRAN、C语言成语混合编程，方便地调用有关的FORTRAN、C语言的子程序。可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上面运行。 4 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) MATLAB的图形功能强大。在C和FORTRAN语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。此外，MATLAB还具有较强的编辑图形界面的能力。 MATLAB拥有功能强大的工具箱，主要用来扩充其符号计算功能、图示建模仿真功能、文字处理功能以及与硬件实施交互功能。 源程序的开放性强。除内部函数以外，所有MATLAB的核心文件和工具箱文件都是可读可改变的源文件，用户可通过对源文件的修改以及加入 自己的文件构成新的工具箱。 MATLAB软件自1984年推向市场以来，历经十几年的发展和竞争，现已成为国际公认的最优秀的科技应用软件。它功能强大、界面友好、语言自然、开放性强，很快成为应用学科计算机辅助分析、设计、仿真、教学乃至科技文字吹不可缺少的基础软件。 图3-1 MATLAB主界面 5 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第四章 FIR数字滤波器的设计 4.1 窗函数法设计FIR数字滤波器 要设计出的滤波器的理想频率响应函数为 1 hd(n)?2?，则对应的单位脉冲响应为 ??H??d(ej?)ej?nd? (4-1) 窗函数设计法的基本原理是用有限长单位脉冲响应序列h(n)逼近hd(n)。由于hd(n)往往是无限长序列，且是非因果的，所以用窗函数ω(n)将hd(n)截断，并进行加权处理，得到 N?1 n?0 (4-2) h(n)就作为实际设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应序列，其频率响应函数 H(e)??h(n)e?j?n (4-3) j? 为(4-3)式中，N为所选窗函数ω(n)的长度。 用窗函数法设计的滤波器性能取决于窗函数ω(n)的类型及窗口长度N的取值。设计过程中，要根据对阻带最小衰减和过渡带宽度的要求选择合适的窗函数类型和窗口长度N。 出这样选定窗函数类型和长度N后，求出单位脉冲响应，并求。是否满足要求，要进行验算。一般在h(n)尾部加零使长度满足2的整数次幂，以便用FFT计算。如果要观察细节，补零点数增多即可。不满足要求，则要重新选择窗函数类型和长度N，再次验算，直至满足要求。 如果要求线性相位特性，则h(n)还必须满足:h(n)=+/-h(N-1-n)，根据式中的正负号和长度N的奇偶性又将线性相位FIR滤波器分成四类。要根据所设计的滤波特性正确选择其中一类[8]。 下面介绍下典型的窗函数: 常见的窗函数有矩形窗(Rectangle Window)、三角形窗(Bartlerr Window)、汉宁(Hanning)窗——升余弦窗、哈明(Hamming)窗——改进的升余弦窗、布莱克曼(Blackman)窗、凯塞—贝塞尔窗(Kaiser-Basel Window) 1矩形窗(Rectangle Window) 矩形窗属于时间变量的零次幂窗。矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 矩形窗的窗函数为: 6 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) N?1?1n?? ?R(n)??2 (4-5) ??0otherwise 其频谱的幅度函数为: WRk(?)sin(?N/2)sin(?/2) (4-6) 2三角形窗(Bartlett Window) 三角窗亦称费杰(Fejer)窗，是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较， 主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。 三角形窗的窗函数为: ?2n??N?1 ?B(n)???2?2n ?N?1?0?n?1(N?1)21(N?1)?n?N?12 2 (4-7) 其频谱的幅度函数为: 2 WBg(?)?N?sin(?N/4)? (4-8) ???sin(?/2)? 3汉宁(Hanning)窗------升余弦窗 汉宁窗又称升余弦窗，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和， 或者说是3个 sinc(t)型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向 左、右各移动了 π/T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。可以 看出，汉宁窗主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发， 汉宁窗优于矩形窗(但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨 力下降。 汉宁窗的窗函数为: 2n???0.5?0.5cos ?H(n)??N?1??00?n?Notherwise (4-9) 4哈明(Hamming)窗————改进的升余弦窗 这种改进的升余弦窗，能量更加集中在主瓣中，主瓣的能量约占99.96%，瓣峰值幅度为40dB，但其主瓣宽度和汉宁窗的相同，仍为8π/N.可见哈明窗是一种高效窗函数，所以Matlab窗函数设计函数的默认窗函数就是哈明窗。 哈明窗的窗函数为: 7 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 2n?? 0.54?0.64cos? ?H(n)??N?1 ??0 0?n?Notherwise (4-10) 其幅度函数为: 5布莱克曼(Blackman)窗 (4-11) 该窗函数位移不同，幅度函数也不同，会使旁瓣进一步抵消，主瓣宽度为 12 π/N。 布莱克曼窗的窗函数为: 2?n4?n?(0.42?0.5cos?0.8cos)? ?B(n)??N?1N?1 ??0 N?1 2 (4-12) otherwisen? 其频谱的幅度函数为: WB(?)?0.42WR(?)?0.25[WR(?? 2?2? )?WR(??)]N?1N?1 (4-13) 4?4? ?0.04[WR(??)?WR(??)] N?1N?1 6凯撒——贝赛尔窗(Kaiser-Basel Window) 凯塞窗是一种最优窗函数，不同于前面五种窗函数，凯塞窗是一种参数可调的窗函数，其函数形式如下: ?K(n)? Io(?)Io(?) 0?n?N?1 (4-14) 其中 2n ????(?1)2 N?1 1? Io(?)?1??[?]2 (4-15) 2k?1k ? 一般取15-25项可以满足精度要求。参数可以控制窗的形状。一般越 大，主瓣越宽，而旁瓣幅度会随之减小，典型的是介绍6种窗函数的基本参数 数据在4到9之间。表4-1 8 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 表4-1 6种窗函数的基本参数 窗函数类型 矩形窗 三角窗 汉宁窗 哈明窗 布莱克曼窗 凯赛窗 分瓣峰值(dB) -13 -25 -31 -41 -57 -57 过度带宽度(P/N) 阻带最小衰减(dB) 4 -21 8 -25 8 -44 8 -53 12 -74 7.442 -80 4.2 利用频率采样法设计FIR数字滤波器 频率抽样法是从频域出发，在频域直接设计，把给定的理想频率响应 Hd(ej?)加以等间隔抽样，并以此作为实际FIR滤波器的频率响应。设所需要的 滤波器的频率响应为Hd(ej?)。 现要求设计一个M阶的FIR滤波器h[k]，使得Hd(ej?)在M+1个抽样点上，FIR滤波器的频率响应Hd(ej?)与所需的频率响应Hd(ej?)相等，即 Hd(e)?H(e j? j?m )??h[k]e?jk?,m?0,1,....,M (4-16) k?0 M Hd(ej?)由设计的要求给定，h[k]需要通过设计来确定。如果M+1个方程是线性 无关的，则可以通过求解M+1阶线性方程来得出FIR滤波器的h[k]。对?m的一些特殊抽样方法，上述方程的解可以直接由IDFT得到。由于要求设计出的滤波器是实系数的线性相位FIR滤波器，所以Hd(ej?)的抽样值还需要满足线性相位滤波器的约束条件。 I型和II型线性相位滤波器的??0，III型和IV型线性相位滤波器的 ??。为了使设计出的滤波器具有线性相位，Hd(ej?)在M+1个抽样点上的值Hd[m]应为 Hd[m]?Hd(e j2? M?1 π2 )?eeAd[m] j? ?j M? mM?1 Ad( ?ej?e ?j 2?m )M?1 M? mM?1 (4-17) 下面分别讨论四种线性相位滤波器在抽样点Hd[m]上的值: I型(M为偶数，h[k]偶对称)线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为 9 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) ?M?j?M?1?(0?m?M/2) (4-18) Hd[m]??Ad[m]e ??Hd[M?1?m](M/2?1?M) 上式表明I型线性相位FIR滤波器Hd[m]在M/2?1?m?M的值可由Hd[m]在1?m?M/2的值确定。在Hd[m]的值确定以后，对Hd[m]做M+1点的IDFT即可得到I型线性相位滤波器的h[k]。 II型(M为奇数，h[k]偶对称)线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为 ?M?jm?M?1(0?m?(M?1)/2)?Ad[m]e? Hd[m]??0(m?(M?1)/2) (4-19) ?H[M?1?m](M?3)/2?1?m?M)?d? 上式表明II型线性相位FIR滤波器Hd[m]在(M?3)/2?1?m?M的值可由Hd[m]在1?m?(M?1)/2的值确定。 III型(M为偶数，h[k]奇对称)线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为 ?0(m?0)??M?jm?M?1 Hd[m]??jAd[m]e(1?m?M/2) (4-20) ?H[M/2?1?m?M)d?? 上式表明III型滤波器线性相位FIR滤波器Hd[m]在M/2?1?m?M的值可由Hd[m]在1?m?M/2的值来确定。 IV型(M为奇数，h[k]奇对称)线性相位FIR滤波器在M+1个抽样点值为 ?0(m?0)??M?jm?M?1(1?m?(M?1)/2) (4-21) Hd[m]??jAd[m]e ?H[M?1?m](M?3)/2?m?M)d?? 上式表明IV型线性相位FIR滤波器Hd[m]在的值可(M?3)/2?m?M由Hd[m]在1?m?(M?1)/2的值确定。 对Hd(ej?)进行频率抽样，就是在z平面单位圆上的N个等间隔点上抽样出频率响应值。在单位圆上可以有两种抽样方式，第一种是第一个抽样点在w=0处，第二种是第一个抽样点在w=?/M处，每种方式可分为M为偶数与M为奇数 10 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 两种。 为了提高逼近质量，使逼近误差更小，也就是减小在通带边缘由于抽样点的徒然变化而引起的起伏变化(这种起伏振荡使阻带内最小衰减变小，例如从衰减30dB变小为衰减20dB)。和窗口法的平滑截断一样，这里是使理想频率响应的不连续点的边缘加上了一些过渡的抽样点(在这些点上抽样的最佳值由计算机算出)，从而增加过渡带，减小频带边缘的突变，也就是减小了起伏振荡，增大了阻带最小衰减。这些抽样点上的取值不同，效果也不同。如果精心设计过渡带的抽样值，就有可能使它的游泳频带的博文减小，从而设计出较好的滤波器。一般过渡带取一、二、三点抽样值即可得到满意结果。 在理想低通滤波器的设计中，若不增加过渡点，阻带和通带之间的衰减约为-21dB，如果在通带和阻带之间增加一个采样点，阻带的最小衰减就可以提高到-65dB，如果增加两个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-75dB，如果增加3个采样点，阻带的最小衰减可以提高到-85dB至-95dB。 频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计;缺点是抽样频率只能等于2?/M的整数倍或等于2?/M的整数倍上加上?/M，因而不能确保截止频率Wc的自由取值。要想实现自由选择频率，则必须增加抽样点数M，但这种计算量加大。 4.3 利用等波纹最佳逼近法设计FIR数字滤波器 等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的FIR滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度。这就是等波纹的含义。最佳逼近 是指在滤波器长度给定的条件下，使加权的误差波纹幅度最小化。浴场函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法师滤波器的最大逼近误差均匀分布，随意设计的滤波器性能价格比较高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大衰减最小，阻带最小衰减最大;指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。 等波纹最佳逼近法的基本思想是用Hd(?)表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位FIR数字滤波器时,Hd(?)必须满足线性相位约束条件。用Hg(?)表示实际设计的滤波器幅度特性函数。定义加权误差函数E(?)为 E(?)=W(?)[hd(?)- hg(?)] 式中，W(?)称为误差加权函数，用来控制不同的频段的逼近精度。等波纹最佳逼近法基于切比雪夫逼近，在通带和组带以E(?)的最大值最小化为标准，采用Remez多重交换迭代算法求解滤波器系数h(n)[3]。所以W(?)取值越 11 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 大的频段，逼近精度越高，开始设计时应根据逼近精度要求确定W(?),在Remez多重交换迭代过程中W(?)是确知函数。 等波纹最佳逼近设计中，把数字频段分为“逼近区域”和“无关区域”。逼近区域一般只通带和阻带，而无关区域一般只过度带。设计过程中只考虑对逼近区的最佳逼近。应当注意，无关区宽度不能为零，即Hd(?)不能是理想滤波特性 利用等波纹最佳逼近准则设计线性相位FIR数字滤波器数字模型的建 立及其求解算法的推导复杂，求解计算必须借助计算机，幸好滤波器设计专家已经开发出了MATLAB信号处理工具箱函数remezord和remez,只要简单的调用这两个函数就可以完成线性相位FIR滤波器的等波纹最佳逼近设计。 remez函数实现线性相位FIR数字滤波器的等波纹最佳逼近法设计。其调用格式为hn=remez(M.f.m.w)。调用结果返回单位脉冲响应向量hn。Remez函数的调用参数(M，f,m,w)一般通过调用remezord函数来计算 采用remezord函数，可根据逼近指标估算等波纹最佳逼近FIR数字滤波器的最低阶数M，误差加权向量w和归一化边界频率向量f。是滤波器在满足指标的前提下造价最低。其返回参数作为remez函数的调用函数。其调用格式为 [M，fo,mo,w]=remezord(f,m,rip,Fs) 12 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第五章 利用MATLAB实现FIR滤波器设计 5.1 窗函数法的MATLAB实现 在窗函数法的MATLAB实现中，程序中经常使用的函数有fir1和kaiserord。 程序中fir1函数的用法:b=fir1(n,Wn,’ftype’,window) ?n为滤波器的阶数 ?Wn为滤波器的截止频率，它是一个0到1的数。如果Wn是一个含有两个数的向量，则函数返回一个带通滤波器 ?ftype为滤波器的类型，ftype=’high’时，设计的是高通滤波器; ftype=’stop’时，设计的是带阻滤波器;没有此参数时，设计的是低通滤波器 ?window为指定的窗函数，矩形窗为boxcar(n)，汉宁窗为hanning(n)，海明窗为hamming(n)，布莱克曼窗为blackman(n)，凯撒窗为kaiser(n,beta)，没有此参数时，默认为hamming窗 程序中kaiserord函数的用法:[n,Wn,beta,ftype]=kaiserord(f,a,dev,Fs) ?f是一个向量，为设计滤波器过渡带的起始点和结束点 ?a是一个向量，指定频率段的幅度值 ?dev是一个向量，长度和a相同，为各个通带和阻带内容许的幅度最大误差 ?n为能够满足要求的滤波器的最小阶数 ?Wn为滤波器的截止频率 ?ftype为根据待设计滤波器的要求得到的滤波器的类型 高通滤波器是容许高频信号通过、但减弱(或减少)频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器;在音频应用中也使用低音消除滤波器或者噪声滤波器。低通滤波器与高通滤波器特性恰恰相反[13]。 (1)用升余弦窗设计一个线性相位低通FIR数字滤波器 π截止频率Wc=rad 。窗口N=15，33。要求在两种窗口长度情况下，分别4 求出h(n)，绘制相应的幅频特性和相频曲线。观察3db带宽和20db带宽，总结窗口N对滤波特性的影响。设计低通FIR数字滤波器时，一般以理想低通滤波特性为逼近函数即 ?j?a?e???c?j?Hd(e)?? ?c?????0 13 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 用升余弦设计一个线性相位低通FIR数字滤波器的程序框图如图5-1所示 图5-1 用升余弦窗设计一个线性相位低通FIR数字滤波器的程序框图 14 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 当窗口长度N不同的的情况下低通滤波器的幅度谱和相位谱如图5-2、5-3所示 图5-2 N=15时低通滤波器的幅度谱和相位谱 图5-3 N=33时低通滤波器的幅度谱和相位谱 由图5-2和5-3可知调整窗口长度N只能有效地控制过渡带的宽度，而不能减少带内波动及增大阻带衰减。 15 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) π(2)N=33，Wc=rad，用4种窗函数设计线性相位低通滤波器。 4 绘制相应的幅频特性曲线，观察3dB带宽和20dB带宽以及阻带最小衰减，比较4种窗函数对滤波特性的影响。 图5-3 矩形窗设计线性相位低通滤波器 图5-4 汉宁窗设计线性相位低通滤波器 16 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 图5-5 哈明窗设计线性相位低通滤波器 图5-6 布莱克曼设计线性相位低通滤波器 从图中可以看出用各种窗函数设计的FIR滤波器的阻带最小衰减及过渡带均符合要求，而且在通带内均为严格线性相位。 5.2 频率抽样法的MATLAB实现 利用频率抽样法设计低通滤波器 17 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 设计要求:?通带截频0.5?，阻带截频0.6? ?阻带衰减大于等于 15dB 图5-7 频率抽样法设计低通滤波器的增益响应 从参考程序及图5-7可以得到所设计出滤波器的参数如下: ?滤波器的阶数为63 ?滤波器的通带截频0.5?，阻带截频0.6?，过渡带宽为0.1? ?阻带衰减为17dB 对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。 信号滤波前和滤波后的时域图和频率图如图5-8、5-9所示 18 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 图5-8 信号滤波前的时域图和频域图 图5-9 信号滤波后的时域图和频域图 19 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 从图5-8和图5-9的图像中可以看到:输入信号是由三个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。 5.3 利用滤波器处理加有噪声的音频波形 调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt，并自动显示xt及其频谱，如图5-10所示; 图5-10 信号加噪声的波形和频谱 (1)设计一个低通滤波器，要求从高频噪声中提取xt中的单频调幅信号，要求信号幅频失真小于0.1dB，将噪声频谱衰减60dB。先观察xt的频谱，确定滤波器指标参数。 根据图5-10(b)和实验要求，可选择滤波器指标参数:通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz，换算成数字频率，通带截止频率?p?2?fp??0.24?，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率?s?2?fs??0.3?，阻带最小衰为60dB。 调用信号产生函数xtg产生具有加性噪声的信号xt程序框图如图5-11所示: 20 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 图5-11 实验程序框图 提取单频信号后加噪声的波形和频谱如图5-12所示: 图5-12 提取单频信号后加噪声的波形和频谱 21 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz。代入采样频率Fs=1000Hz，换算成数字频率，通带截止频率?p?2?fpT?0.24?，通带最大衰为0.1dB，阻带截至频率?s?2?fsT?0.3?，阻带最小衰为60dB。所以选取blackman窗函数。与信号产生函数xtg相同，采样频率Fs=1000Hz。 (2)?根据滤波器指标选择合适的窗函数，计算窗函数的长度N，调用MATLAB函数fir1设计一个FIR低通滤波器。并编写程序，调用MATLAB快速卷积函数fftfilt实现对xt的滤波。绘图显示滤波器的频响特性曲线、滤波器输出信号的幅频特性图和时域波形图。 ?滤波器指标不变，但改用等波纹最佳逼近法，调用MATLAB函数remezord和remez设计FIR数字滤波器。并比较两种设计方法设计的滤波器阶数。 图5-13 窗函数法滤除噪声后的信号波形 图5-14 等波纹逼近法滤除噪声后的信号波形 22 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 用窗函数法设计滤波器，滤波器长度 Nb=184。滤波器损耗函数和滤 波器输出yw(nT)分别如图5-13(a)和(b)所示。 用等波纹最佳逼近法设计滤波器，滤波器长度 Ne=83。滤波器损耗函数和滤波器输出ye(nT)分别如图5-14(c)和(d)所示。 两种方法设计的滤波器都能有效地从噪声中提取信号，但等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低得多，当然滤波实现的运算量以及时延也小得多，从图5-13(b)和5-14(d)可以直观地看出时延差别。 23 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 第六章 总结与展望 论文正文主要简单介绍了Matlab、数字滤波器及利用matlab实现FIR滤波器的多种技术设计。 Matlab语言简洁紧凑，使用方便，库函数十分丰富。MATLAB程序书写的形式自由，利用丰富的库函数避开了繁琐的子程序编程任务。 在数字信号处理中 ,由于信号中经常混有各种复杂成分，所以很多信号分析都是基于滤波器而进行的， 因此数字滤波器占有极其重要的地位 。数字滤波器分为有限冲激响应数字滤波器，即FIR数字滤波器和无限冲激响应，即IIR数字滤波器。我们主要介绍了FIR数字滤波器。 目前FIR滤波器的设计方法主要有三种:窗函数法、频率抽样法和等波纹最佳逼近法的设计方法。我们主要介绍前两种方法。 涉及FIR滤波器的多种技术设计。各种方法都有其优点和缺点,需根据不同的滤波器类型选择不同的方法。窗函数法在设计标准滤波器，例如低通、高通、带通，是很有用的。另一方面, 频率抽样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合于最优化设计;缺点是抽样频率只能等于2?/M的 整数倍或等于2?/M的整数倍上加上?/M，因而不能确保截止频率?c的自由取值。要想实现自由选择频率，则必须增加抽样点数M，但这种计算量加大。 本设计实现了基于MATLAB的数字低通滤波器。 低通滤波器是容许低频信号通过、但减弱(或减少)频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器;在音频应用中也使用低音消除滤波器或者噪声滤波器。 此次设计当中有很多问题困扰我，通过查阅资料、同学和李晓峰老师的帮助逐步解决了问题，在此艰难的过程中让我懂得了很多。 万事开头难，不要畏惧，做好了开头也就成功了一半;其发现问题要立即解决问题;自己钻研不出来的，要敢于问问题;做事认真仔细，不要怕麻烦，否则只会更麻烦。 24 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 参考文献 [1]徐明远，刘增力，《MATLAB仿真在信号处理中的应用》[M].西安:西安电子科技大学出版社，2007.11. 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MATLAB信号处理[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006, 7. 25 天津大学仁爱学院2013届本科生毕业生设计(论文) 附录 1)用升余弦窗设计一线性相位低通FIR数字滤波器程序 N=15; wc=pi/4; a=(N-1)/2; n=0:(N-1); m=n-a+eps; hdn=sin(wc*m)./(pi*m); wn=hanning(N); hn=hdn.*(wn'); [H,w]=freqz(hn,[1],1024,'whole'); dbH=20*log10((abs(H)+eps)/max(abs(H))); figure(1);subplot(2,2,1); stem(n,hn,'.'); xlabel('n');ylabel('h(n)');title('N=15时设计汉宁窗h(n)'); subplot(2,2,2); plot(w,abs(H)); xlabel('w');ylabel('H(jw)');title('h(n)的幅度谱');axis([0,3,0,1.5]); subplot(2,2,3); plot(w,angle(H)); xlabel('w');ylabel('φ(w)');title('h(n)的相位谱');axis([0,3,-4,4]); subplot(2,2,4); plot(w/pi,dbH); xlabel('w/pi');ylabel('dB');title('损耗特性');axis([0,1,-110,0]); N=33;