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离散傅里叶变换的物理意义 摘要:在信号分析、处理领域，傅里叶变换是最主要的分析工具，得益于傅里叶变换， 工程师们才能将各种复杂无序的信号分解成一定频率的正弦信号和余弦信号的叠加，然 后从已知正弦信号和余弦信号的特性出发，分析出原来信号的某些特性。我们知道各种 特定信号的傅里叶变换形式，以及各种各样的结论，但从来不讲为何要这样变换，变换 的目的是什么，变换会对信号的物理现形式产生什么影响。以下，我将从物理学角度 解释傅里叶变换的意义。 关键词:离散信号、傅里叶变换 The physical meaning of discrete Fourier transform Wu Yuhang (College of Physics and Electronic Engineering Information Wenzhou university) Abstract: In signal analysis, processing, Fourier transform is the main analysis tool, thanks to the Fourier transform, engineers can be a variety of complex disorder signal is decomposed into the superposition of a certain frequency of sine and cosine signal, and then from known sine and cosine signal characteristics of analysis of some characteristics of the original signal. We know the specific signal in the form of Fourier transformation, and a variety of conclusions, but never say why this transform, transform what is, transform to signal the physical manifestation of what impact. Below, I will explain the meaning of Fourier transform from the point of view of physics. Keywords: Discrete signal、Fourier transform 引言: 在信号分析、处理领域，傅里叶变换是最主要的分析工具，得益于傅里叶变换，工程师们才能 将各种复杂无序的信号分解成一定频率的正弦信号和余弦信号的叠加，然后从已知正弦信号和余 弦信号的特性出发，分析出原来信号的某些特性。需要说明的是，傅里叶变换并没有改变我们的 研究目标，我们的研究目标一直是时域的信号f(t)，傅里叶变换只是让我们能从另外一个角度 来研究问题，因为当f(t)并不是常见的正弦或余弦信号时(或其他规律的信号)，如果再在时 域分析，那么我们将无法分析，因为在时域里面，我们只知道正弦或余弦信号的特性，其他形式 的信号特性我们没有分析过，这就引出了傅里叶变换，傅里叶变换恰好能够将其他形式的信号分 解成由不同频率正弦信号(也可以用余弦信号，两则本质上是一样的，下同)的叠加。 1. 为什么要进行傅里叶变换 事物的外在表现形式是多样的，从不同角度去看问题，可以发现事物的不同特性，人认识事 物的过程是通过观察事物的外在表现形式(现象)，从而了解事物的本质。马克思主义辩证法和 认识论告诉我们现象与本质是对立统一的辩证关系，对立表现在:现象是事物的外在方面，是表 面的、多变的、丰富多彩的;本质是事物的内在方面，现象是本质的现象，本质是现象的本质。 也就是说，本质只能通过现象表现出来，现象只能是本质的显现，他们之间是表现和被表现的关 系。两者是相互蕴涵的。本质寓于现象之中，这是非常明显的，本质只有通过现象表现出来才能 被人认识。反过来，本质也包含现象，因为现象尽管是多种多样的、纷繁复杂的，但毕竟是由本质决定的，早已潜在地包含于本质之中。 因此，对于一个信号，时域和频域均是信号多方面的外在表象，一方面，我们可以直接从时域去观察该信号，但可能不能获得足够多关于本质的信息，另一方面，当我们从频域去观察该信号时，也许可以获得足够多关于本质的信息。然而事物的本质无法被彻底认识的，我们只有不断的接近它，就目前我们了解的信号的本质是:对于任意的信号f(t)，都可以看做是由一系列不同频率、幅度、相位的正弦信号叠加而成的复合信号(该本质是我自己的理解，不一定完全正确)。 认识事物是一个过程，有许多不同的方法，比如局部到整体，特殊到一般.....,对傅里叶变换的认识，我们可以用特殊到一般的方法，先研究周期信号的傅里叶级数(特殊)，再推理到非周期信号(一般)。由傅里叶级数推导出傅里叶变换，然后反过来定义傅里叶级数。以下是人们认识傅里叶变换的过程，可以看出，人们认识傅里叶变换正是由特殊到一般的过程。 2. 傅里叶变换的物理解释 数字信号处理是一名集理论与实践性很强的学科，傅里叶变换如果单纯从数学上来分析可能会显得很枯燥。作为一名不是数学专业的工科生，我们所使用的每一个公式，都应该有其物理意义，我们之所以一直不能理解记忆傅里叶变换，那是因为大学时老师只是一遍又一遍的推导傅里叶变换的公式，各种特定信号的傅里叶变换形式，以及各种各样的结论，但从来不讲为何要这样变换，变换的目的是什么，变换会对信号的物理表现形式产生什么影响。以下，我将从物理学角度解释傅里叶变换的意义。 傅里叶变换的宏观解释就是将一个信号分解成一系列不同幅度、频率、相位的正弦信号的叠加，为了解释傅里叶变换的物理意义，我们先来分析周期信号的傅里叶变换，再来分析一般的非周期信号，傅里叶级数即是周期信号的傅里叶变换。大学高数课上我们学过，满足狄利克(Dirichlet)条件的周期函数可以展开成傅里叶级数的形式，傅里叶级数是傅里叶变换的一种特殊情形。 考虑一个信号 f(t)是周期为2 ?的周期函数 将其展开为傅里叶级数，先求其系数 an和 bn 3. 模拟信号与数字信号之间相互转换的理论基础 由模拟信号得到数字信号的第一步是“抽样”，抽样就是利用周期性抽样脉冲序列 p(t)，从连续信 号 xa(t)抽取一些列的离散值，得到抽样信号(或称抽样数据信号)即是离散时间信号，以 xa(t) 表 示，抽样是模拟信号到数字信号的第一个环节,xa(t)再经过幅度量化编码后即得到数字信号x(n)。 fs=25; N=128;%采样频率和数据点数 n=0:N-1;t=n/fs;%时间序列 x1=0.5*sin(2*pi*10*t)+1*sin(2*pi*5*t); %信号 [r,c]=size(t); x2 =rand(r,c); x=x1 +x2; subplot(3,1,1); plot(t,x1); title('x1=0.5*sin(2*pi*10*t)+1*sin(2*pi*5*t)'); subplot(3,1,2); plot(t,x2); title('x2 = rand();'); subplot(3,1,3); plot(t,x); title( 'x =x1=0.5*sin(2*pi*10*t)+1*sin(2*pi*5*t) + rand()' ); figure y=fft(x,N);%对信号进行快速 Fourier 变换 mag=abs(y);%求得 Fourier 变换后的振幅 f=n*fs/N;%频率序列 y1 =fft(x1,N); mag1=abs(y1); subplot(2,1,1),plot(f,mag1); xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('N=128, fs= 25, 未添加噪声');grid on; subplot(2,1,2),plot(f,mag);%绘出随频率变化的振幅 xlabel('频率/Hz'); ylabel('振幅'); title('N=128, fs= 25, 添加噪声'); grid on; 参考文献 程佩青.数字信号处理(第三版).清华大学出版社,2013 何振亚著:《数字信号处理的理论与应用》下册，人民邮电出版社，北京，1983 程乾生著:《数字信号处理》，北京大学出版社，北京，2003。 E.O.布里汉著，柳群译:《快速傅里叶变换》，上海科学技术出版社，1979。 蒋长锦 蒋勇. 快速傅里叶变换及 c 程序 [M].中国科技大学出版社. 2004.