83 一阶线性微分方程

83 一阶线性微分方程 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 1(求下列微分方程的通解: ,x?; yye'，, 【解法一】应用常数变易法， 这是一阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程为可分离变量的， yy'0，, 1x,dydx,,分离变量得，积分得lnyxc,,，，整理得， yce,1y ,x,x于是设方程的解为， yye'，,ycxe,() ,x,x,,,,xxxx将代入方程，得， ycxe,()yye'，,cxecxecxee'()()(),，,即为，积分得， cx'()1,cxxc(),， ,x,x可得方程的解为。 yye'，,yxce,，() ,pxdxpxdx()(),,yeqxedxc[()]【解法二】应用:方程的解为， ,，ypxyqx'()()，,, ,x,x由方程得，， yye'，,qxe(),px()1, pxdx()于是 ， ,，xc,1dx1,, pxdx(),xx,,eedxqxedx()， ,，xc,dx2,,, ,pxdxpxdx()(),x,x,,yeqxedxc[()]即得方程的解为,，。 yye'，,,，exc(),2?; xyyxx'32，,，， 【解法一】应用常数变易法， 12这是一阶非齐次线性微分方程，化为形得，其对应的齐yyx'3，,，，xx1次方程为可分离变量的， y'0，,yx 11c1lnlnlnyxc,,，dydx,,y,分离变量得，积分得，整理得， xyx 12cx()于是设方程的解为， y,yyx'3，,，，xxx cx()12将代入方程， y,yyx'3，,，，xxx cxcxcx'()()1()2得， ,，，,x，32xxxxx 1 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 13322即为，积分得， cx'(2x)3,，x，cxxxxc()2,，，，32 12可得方程的解为 yyx'3，,，，xx 11313c322。 ,，，，xx2yxxxc,，，，(2)32xx32 ,pxdxpxdx()(),,【解法二】应用公式:方程的解为yeqxedxc[()]， ,，ypxyqx'()()，,, 2121由方程得，， q(x),，x，3px(),yyx'3，,，，xxxx 1pxdx(),，lnxc于是 ， ,dx1,,x pxdx()22lnx,,，(3)xxdx，2qxedx() ,，()x，3edx,,,x 1332， ,，xxxc，，2232 12可得方程的解为 yyx'3，,，，xx ,pxdxpxdx()()13,ln32x,,yeqxedxc[()] ,，,ecxx，，x，(2),32 13c113322。 ,，xx，，2,，，，(xxxc2)32xx32 22?; (1)'24xyxyx，，, 【解法一】应用常数变易法， 224xx这是一阶非齐次线性微分方程，化为标准形得yy'，,，其对应的22xx，，112x齐次方程为可分离变量的， yy'0，,2x，1 12x2lnln1lnyxc,,，，dydx,,分离变量得，积分得，整理得2yx，1 c1y,， 2x，1 224xxcx()yy'，,于是设方程的解为， y,222xx，，11x，1 224xxcx()yy'，,将代入方程， y,222xx，，11x，1 2 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 2cxcxxxcxx'()()22()4,，,得， 222222xxxxx，，，，，1(1)111 432即为，积分得， cxx'()4,cxxc(),，3 43x，c224xx1433可得方程的解为。 y,yy'，,,()xc，2222x，1xx，，11x，13 ,pxdxpxdx()(),,【解法二】应用公式:方程的解为yeqxedxc[()]， ,，ypxyqx'()()，,, 2224xx4x2x由方程得，q(x),， yy'，,p()x,2222x，1xx，，11x，1 2x2pxdx()于是 ， ,，ln()xc，1,dx1,2,x，1 22pxdx()x442ln(x，1)3,,4xdxqxedx(),edx， ,，xc2,2,,x，13 224xx可得方程的解为 yy'，,22xx，，11 2,pxdxpxdx()()414,ln()3x，13,,yeqxedxc[()]。 ,，,，ecx(),，()xc,23x，1312,x?; yy'1，,2x 【解法一】应用常数变易法， 12,x这是一阶非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程为可分离变yy'0，,2x 量的， 1211dydx,,()分离变量得，积分得，整理得ln(2ln)yxc,，，12yxxx12xycxe,， 112,x2xycxxe,()于是设方程的解为， yy'1，,2x 112,x2xycxxe,()将代入方程， yy'1，,2x 1111,11,2x222xxxx得， cxxecxxecxxecxxe'()()2，，,()(1，)22xx 3 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 11,,1xx即为，积分得， cxe,'()cxec(),，2x 111,12,x22xxx可得方程的解为。 yecxe,，(),，(1)cexyy'1，,2x ,pxdxpxdx()(),,【解法二】应用公式:方程的解为yeqxedxc[()]， ,，ypxyqx'()()，,, 12,x12,x由方程得，， yy'1，,px(),qx()1,22xx 112,x12pxdx()于是 ， ,,，,2lnxc,dx,,()dx1,22,,xxxx 111x,,,2ln,pxdx()1,xxxqxedx(),，ec,exd， ,,1edx22,,,x 12,x可得方程的解为 yy'1，,2x 111，,2lnx,pxdxpxdx()()2,,xxxyeqxedxc[()],，eec[],，xce(1)。 ,，, ?; yydxxydyln(ln)0，,, 【解】这不是未知函数的一阶线性微分方程，但若将未知函数转化为，yfx,()xfy,() dx11则可以化为关于的一阶线性微分方程，整理成标准形为，,x， xdyyyyln 【解法一】应用常数变易法， dx1，,x0方程对应的齐次方程，为可分离变量的， dyyyln dx1clnlnlnlnxyc,,，x,,,dy分离变量得，积分得，整理得， 1lnyxyyln dx11cy()，,xx,于是设方程的解为， dyyyylnlny cy()dx11x,，,x将代入方程， lnydyyyyln cycycy'()()()11得,，,， 2lnlnlnyyyyyylny 4 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 112即为，积分得， c'()lnyy,cyyc()ln,，y2 dx11112可得方程的解为， ，,xxyc,，(ln)dyyyylnlny2 1cxy,，ln亦即为。 2lny ,pxdxpxdx()(),,yeqxedxc[()]【解法二】应用公式:方程的解为， ,，ypxyqx'()()，,, dx1111qy(),由方程得，， ，,xp(y),ydyyyylnyyln 1pydy(),，lnlnyc于是 ,dy， 1,,ylny pydy()111lnlny2,,edyqyedy(),lnydy ,，lnyc2,,,yy2 dx11可得方程，,x的解为 dyyyyln ,pydypydy()()1,lnln2y,,xeqyedyc[()] ,，,，eyc[ln],2 111c2,，lny,，[ln]yc。 2lnyln2y 2?。 (2)'2xyyy,, 【解】这不是未知函数的一阶线性微分方程，但若将未知函数转化为，yfx,()xfy,() 11xxy',,,则方程可转化成为关于的一阶线性微分方程，整理成标准形为。 xy2 【解法一】应用常数变易法， 1xx'0,,方程对应的齐次方程，为可分离变量的， y dx1lnlnlnxyc,，,dy分离变量得，积分得，整理得xcy,， 1xy 5 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 11于是设方程的解为， xxy',,,xycy,()y2 11将代入方程， xxy',,,xycy,()y2 11得， cycy('(ycyy))，,y,,()y2 11即为，积分得， cy'(),,cyyc(),,，22 11112可得方程的解为。 xxy',,,xyyc,，(),,,，ycyy222 ,pxdxpxdx()(),,yeqxedxc[()]【解法二】应用公式:方程的解为， ,，ypxyqx'()()，,, 1111py(),,qyy(),,由方程xxy',,,得，， yy22 ,1pydy(),dy,,，lnyc于是 ， 1,,y pydy(),1,11,lny,qyedy()， yedy,dy,,，yc,2,,,222 11可得方程xxy',,,的解为 y2 ,pydypydy()()11lny2,,xeqyedyc[()],，。 xeyc,，(),,,，ycy,22 IX2(某种商品的消费量随收入的变化满足方程 dXI(是常数) a,，XaedI I,0当时，XX,，求函数的达式。 XXI,()0 dXdXI【解】方程为属于一阶线性微分方程，其齐次部份是可分离变,,X0,,XaedIdI dXIlnXIc,，量的，分离得，积分得，整理得， ,dIXce,1X dXII即设方程的解为, XcIe,(),,XaedI dXIIIIII将代入方程得， XcIe,()cIecIecIeae'()()()，,,,,XaedI 6 第8章 微分方程与差分方程 8.3 一阶线性微分方程 习题解答 即为，积分得， cIa'(),cIaIc(),， dXII可得方程的解为， XaIce,，(),,XaedI 0代入时，，得，有， I,0Xace,，，(0)XX,cX,000 I得满足题目的函数表达式为。 XaIXe,，()0 7