数的产生与发展

数的产生与发展 刘安华 14B13422 摘要： 人类经过坚忍不拔的努力，历经曲折，终于初步完成了认识数的发展过程：自然数→负数→有理数→无理数（实数）→虚数（复数）。 数的理论的研究成为科学基础的基础。从数的起源，到毕达哥拉斯的“万物皆数”，再到高斯把数理论置于科学之巅，在当下，到未来，数，也是一个挖掘不尽，认识不清的神秘世界，她还有许多问号，等待我们的！ 重点词语：  数  记数  数系  负数  无理数  虚数  复数 从数学诞生之日起，数学的第一个对象就是“数”。伯兰特?罗素说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。” 数字的产生 如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物们也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万多年前居住在岩洞里的原始人就有了数的概念。在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。渐渐地，人类就有了数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道自己拥有多少只绵羊。在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把两枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。当数羊的时候，每有一只羊就扳一个手指头。后来，衍生出石子记数（小木棍记数）、结绳记数和刻痕记数（在土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累记和保存。 从刻痕记数出现，经过极其缓慢的发展，终于出现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表达数的影响，最早表示1,2,3,4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积。前者有埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字、中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。 有趣的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达1,2,3,4,的数系不约而同地采用了10进制，而巴比伦的用一个个锐利的小等腰三角形来表示的楔形文字，采用了60进制，用小圆点来表示的玛雅数字采用了20进制。但最终，阿拉伯数系因其简洁、使用方便传遍了全世界，成为迄今各国通用的记数符号。 值得一提的是把零作为数引入运算，是印度人的一个伟大贡献，所以阿拉伯数系也被称为印度--阿拉伯数系。 印度人很早就懂得位值制的道理。很早以前，他们采用sunya（意思是空）表示零或用空格表示零，如今天的606表示成“6 6”。诞生这种表示容易发生误解，如“6006”也可以表示成“6 6”，那么“6 6”中间应空多长？为了避免误会，聪明的印度人在月公元3、4世纪之际，在两数之间加上小点“·”代替空，形式变了，读法未变。公元876年，印度瓜缪尔的一块碑上出现用小圆圈“ο”表示零。公元8、9世纪，印度的一种叫德温那格利的数码中，出现了呈扁圆形的零号“0”。一个伟大的零号从此诞生了，它屹立在印度数码中，后来冲破国界，成为全世界通用的零号。顺便一提，印度扁圆“0”与中国圆“○”是不同的。我国零号绝不是由印度零号来的，中国零号是自己独立发明的，是地道的国货。 恩格斯在《自然辩证法》中说，0比任何一个数的内容都丰富！究竟什么是0呢？有种种说法：“小于任何给定的量的量”，“消失了的量的鬼魂”，“每有数的数”，“无形的有，有形的无”，“无穷小量的根限”……五花八门，不胜枚举。最后恩格斯在书中给0精辟定义，成为初等数学颠扑不灭的真理：“0是既不是正数，又不是负数的唯一真正的中性数。”    负数的产生与使用并行 世界上谁最早发现并使用负数？是中国人。战国时李悝在《法经》中已写下应用负数的实例：“今一夫挟五口，治田百亩。岁收亩一石半。为栗百五十石……衣五人终岁用千五百不足四百五十。”这里出现了“不足”二字，用现代观点来看旧式有了负数的概念。 在出土的汉简上，出现了大量负数运算的宝贵资料，如“万岁侯长”有“负四算，得七算，相除得三算”相除即为相减“负”是欠人家的，其算法是7－4=3，实际应是7+（-4）=3 又如：“相除以负百二十算”“负二千二百四十五算”即今“-124 ，-2245”。 我国系统地揭示负数这颗璀璨明珠的精彩记载，是在公元前1世纪成书的《九章算术》中，它建立了明确的正负数加减运算法则：“正负数曰，同名相除、异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”这里说的“同名”、“异名”为“同号”、“异号”，“相益”、“相除”指两数绝对值相加、相减；“无”具有零的意思。公元3世纪，我国伟大的数学家刘徽在《九章算术》注中率先给出了正负数的精辟定义：“今两算得失相反，要令正负以名之。”中国先辈采用筹算来表示正负数，但始终没有创用简明的负号，这是一个致命弱点，它阻碍了中国数学的大发展。 无理数的发现 毕达哥拉斯学派有一个勤学好问、爱动脑筋的青年，名叫希帕斯，他善于独立思考，不盲从附会。当他学习了勾股定理以后发现：正方形和它的对角线是没有公度的。即他们的比都不是整数或分数。他是这样思考的：一个正方形被对角线分为两个直角三角形，设对角线长为d，两直角边长为1，根据勾股定理，有d2=12+12，即d2=2,那么d = ?他发现d 比1大，因为d2=2>1=12；而22=4>2,即d又比2小，所以d在1与2之间，显然d = 不是整数，他有多方推算发现， 也不是两个整数之比（分数），而是一个正整数与分数之外的新数，即今天的无理数。但希帕斯从此消失了。 无理数的发现，扩大了数系，推动了数学快速发展。发现者不但得不到殊荣和花环，反而冤沉海底，牺牲了年轻的生命，这是历史的悲剧。 1737年，欧拉证明了e是无理数。 1882年，林德曼证明了π是无理数。 解开虚数神秘的面纱 美国数学家史莱茵说：“欧洲人还没有从无理数与负数的困境中摆脱出来，他们又糊里糊涂地陷进了我们现在称之为复数的泥沼之中。”虚数纯粹是为了解决数学本身解方程提出引入的，它是欧洲数学在吸收东方数学智慧后，以不解饿遏制的好奇心，艰苦求索而创造出的又以伟大成就。 第一个遇到虚数的是印度数学家婆什伽罗，他认为x2=﹣1这个式子没有意义，他说：“正数的平方是正数，负数的平方是负数，因此，一个正数的平方根有二：一正一负；负数没有平方根，因此它不是一个平方数。” 1637年，法国数学家笛卡尔在《几何学》中说：“负数开平方是不可思议的。”并且编造了一个名字：“imaginary number”,意为虚幻之数。后来他改变了看法，正确地认识了虚数的存在。于是站出来替虚数说了公道话，第一次把”“虚幻之数”改为“虚数”，与“实数”相对应。“虚数”因此得名，沿用至今。1777年5月5日，欧拉在递交给彼得堡科学院的论文“微分公式”中，一改过去的态度，首次创用符号i来表示虚数。 伟大的科学发现，不一定马上给人们带来实际利益，但只要是真正的科学，不管被视为“鬼火”，还是被贬为“萤火”，一旦接触到客观需要的干柴，就会染成熊熊烈火，蔚为壮观。 首先揭开虚数面纱的代表人物是英国的沃利斯，他在1685年出版的《代数学》中，认为直线上找不到虚数的几何意义，必须转到平面上去找。他在书中说明了怎样集合地表示二次方程的复数根，但他没有引入虚数的概念，没有引起人们的注意，可是他的思想是复数发展史上不可磨灭的功绩。 后来，丹麦业余数学家、测绘员韦塞尔，瑞士业余数学家阿尔冈，德国数学家高斯等几乎同时发现了虚数的集合表示法。另外，高斯明确了复数平面。后人为了纪念他，称之为“高斯平面”。 1806年英国的比耶在剑桥发表论文“论虚数”，成为最后一个揭开虚数神秘面纱的数学家。神秘的虚数，正是在以上科学家们不懈努力下，最终确立的。 现在，数学家的艰辛努力，复数运用到了空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等方面。因此，虚数不“虚”，它是来源于实践的一种新数。 成果 至此，人类经过坚忍不拔的努力，历经曲折，终于初步完成了认识数的发展过程：自然数→负数→有理数→无理数（实数）→虚数（复数）。 数的理论的研究成为科学基础的基础。从数的起源，到毕达哥拉斯的“万物皆数”，再到高斯把数理论置于科学之巅，在当下，到未来，数，也是一个挖掘不尽，认识不清的神秘世界，她还有许多问号，等待我们的答案！ 参考文献： 1《数学猜想与发现》 徐品方 陈宗荣/著  科学出版社 2012年3月第一版 2《数学文化》 方延明 著 清华大学出版社 2009年3月第2版 3《数学赏析》 向隆万 著  上海交通大学出版社 2012年4月第1版