理论力学答案

思考1.5、和有无不同？与有无不同？试就直线运动与曲线运动分别加以讨论。答：即反应位矢大小的改变又反映其方向的改变，是质点运动某时刻的速度矢量，而只表示大小的改变。如在极坐标系中，而。在直线运动中，规定了直线的正方向后，。且的正负可表示的指向，二者都可表示质点的运动速度；在曲线运动中，且也表示不了的指向，二者完全不同。表示质点运动速度的大小，方向的改变是加速度矢量，而只是质点运动速度大小的改变。在直线运动中规定了直线的正方向后，二者都可表示质点运动的加速度；在曲线运动中，二者不同，。2.5、水面上浮着一只小船。船上一人如果向船尾走去，则船将向前运动。这是不是与质心运动定理相矛盾？试解释之。.答：不矛盾。因人和船组成的系统在人行走前后受到的合外力为零（忽略水对船的阻力），且开船时系统质心的初速度也为零，故人行走前后系统质心相对地面的位置不变。当人向船尾移动时，系统的质量分布改变，质心位置后移，为抵消这种改变，船将向前移动，这是符合质心运动定理的。2.9、秋千何以能越荡越高？这时能量的增长是从哪里来的？答：秋千受绳的拉力和重力的作用，在运动中绳的拉力提供圆弧运动的向心力，此力不做功，只有重力做功。重力是保守力，故重力势能与动能相互转化。当秋千荡到铅直位置向上去的过程中，人站起来提高系统重心的位置，人克服重力做功使系统的势能增加；当达到最高点向竖直位置折回过程中，人蹲下去，内力做功降低重心位置使系统的动能增大，这样循环往复，系统的总能不断增大，秋千就可以越荡越高。这时能量的增长是人体内力做功，消耗人体内能转换而来的。2.10、在火箭里的燃料全部烧完后，2.7（2）节中的诸公式是否还能应用？为什么？.答：火箭里的燃料全部烧完后，火箭的质量不再改变，然而质量不变是变质量物体运动问题的特例，故§2.7（2）中诸公式还能适用，但诸公式都已化为恒质量系统运动问题的公式。3.4简化中心改变时，主矢和主矩是不是也随着改变？如果要改变，会不会影响刚体的运动？答主矢是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取和为简化中心，第个力对和的位矢分别为和，则=，故即主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设和对质心的位矢分别为和，则=，把点的主矢，主矩移到点得力系对重心的主矩把为简化中到的主矢和主矩移到点可得简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。习题3.19长为2的均质棒，以铰链悬挂于点上。如起始时，棒自水平位置无初速地运动，并且当棒通过竖直位置时，铰链突然松脱，棒成为自由体。试证在以后的运动中，棒的质心的轨迹为一抛物线，并求当棒的质心下降距离后，棒一共转了几转？解如题3.19.1图，固定坐标系。杆从水平位置摆到竖直位置过程中只有重力做功，故机械能守恒。设此时的角速度为，则右边第一项为质心运动动能，第二项为杆绕质心转动的动能。解上式得：在杆脱离悬点后，根据动量定理和动量矩定理：①②③③式中为杆绕质心的转动惯量，为沿过质心平行于轴的合力矩，易知，又，代入③式得即杆将作匀速转动。解①②得④所以质心的轨迹为一抛物线。故当时，杆的质心下降，代入④式得故时间内杆的转数3.26棒的一端置于光滑水平面上，另一端则靠在光滑墙上，且棒与地面的倾角为。如任其自此位置开始下滑，则当棒与地面的倾角变为时，棒将与墙分离，试证明之。如题3.26.1图所示坐标系。设杆的长度为，质量为。受到墙和地面的作用力分别为，当杆与地面的倾斜角为时，质心的坐标为：对上两式求时间导数，的质心的速度和加速度：①②③④由②③④得⑤对⑤式求时间导数得⑥又由动量定理⑦当杆脱离墙时，有⑧由①⑤⑥⑦⑧得⑨所以5.1试用虚功原理解3.1题。解如题5.1.1图杆受理想约束，在满足题意的约束条件下杆的位置可由杆与水平方向夹角所唯一确定。杆的自由度为1，由平衡条件：即mgy=0①变换方程     y=2rcossin-=rsin2②故③代回①式即因在约束下是任意的，要使上式成立必须有：rcos2-=0④又由于cos=故cos2=代回④式得5.6 试用拉格朗日方程解4.10题。解如题5.6.1图.平面运动，一个自由度.选广义坐标为，广义速度因未定体系受力类型，由一般形式的拉格朗日方程①在广义力代入①得：②在极坐标系下：③故将以上各式代入②式得5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题5.3。5.7解如题5.7.1图又由于所以①取坐标原点为零势面②拉氏函数③代入保守系拉格朗日方程得代入保守系拉格朗日方程得