2012东北三省三模文科数学有答案解析

2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2012年长春市高中毕业班第三次调研测试 数　　学(文科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1． 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2． 选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3． 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4． 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀. 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1. 若，则 A. B. C. D. 2. 若集合，则集合 A. B. C. D. 3. 直线：与圆M：相切，则的值为 A.1或-6 B.1或-7 C.-1或7 D.1或 4. 各项都是正数的等比数列中，，，成等差数列，则 A. B. C. D. 5. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是 相关系数为 相关系数为 相关系数为 相关系数为 A. B. C. D. 6. 函数的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 7. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是 A.<4 B.>4 C.<5 D.>5 8. 函数的图像与轴的交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数的图像只需将的图像 A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 9. 若满足条件AB=，C=的三角形有两个，则边长BC的取值范围是 A. B. C. D. 10. 现有2名女教师和1名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为 A. B. C. D. 11. 双曲线，过其一个焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于、两点，O是坐标原点，满足，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 12. 四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥的体积取得最大值时，它的面积等于，则球的体积等于 A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13. 平面区域的周长为_______________. 14. 某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的长度为，在侧视图中的长度为，则该长方体的全面积为________________. 15. 等差数列的首项为，公差为，其前项和为，则数列为递增数列的充分必要条件是________________. 16. 如果直线和函数的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是_______________. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字，证明过程或演算步骤）. 17. （本小题满分12分） 在△中，向量，向量，且满足. ⑴求角的大小； ⑵求的取值范围. 18. （本小题满分12分） 2012年2月份，从银行房贷部门得到好消息，首套住房贷款利率将回归基准利率. 某大型银行在一个星期内发放贷款的情况统计如图所示： ⑴求本周该银行所发放贷款的贷款年限的标准差； ⑵求在本周内一位购房者贷款年限不超过20年的概率； ⑶求在本周内该银行所借贷客户的平均贷款年限（取过剩近似整数值）. 19. （本小题满分12分） 已知四棱柱中，, ，，. ⑴求证：； ⑵求四面体的体积. 20. （本小题满分12分） 已知分别为椭圆的左右焦点， 分别为其左右顶 点，过的直线与椭圆相交于两点. 当直线与轴垂直时，四边形 的面积等于2，且满足. ⑴求此椭圆的方程； ⑵当直线绕着焦点旋转但不与轴重合时，求的取值范围. 21. （本小题满分12分） 已知函数. ⑴讨论函数的单调性； ⑵对于任意正实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； ⑶求证:当时，对于任意正实数，不等式恒成立. 请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲. 自圆外一点引圆的一条切线，切点为，为的中点，过点引圆的割线交该圆于两点，且，. ⑴求证： 与相似； ⑵求的大小. 23. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，若以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：（其中为常数）. ⑴若曲线与曲线只有一个公共点，求的取值范围； ⑵当时，求曲线上的点与曲线上点的最小距离. 24. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲. 已知函数 ⑴解不等式； ⑵若关于的方程的解集为空集，求实数的取值范围. 2012年东北三省四市教研协作体等值诊断联合考试 2012年长春市高中毕业班第三次调研测试 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分) 1.C 2.C 3. B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.C 11.B 12.B 简答与提示： 1. C 由已知. 故选C. 2. C 将逐一带入,得y=0,1,2,3，故选C. 3. B 圆的方程化为，由直线与圆相切，可有,解得. 故选B. 4. D 由已知于是,由数列各项都是正数，解得, . 故选D. 5. A 由相关系数的定义以及散点图所表达的含义可知. 故选A 6. B 在同一坐标系内画出函数和的图像，可得交点个数为3. 故选B. 7. C 初始值，第一次循环后，第二次循环后，第三次循环后，第四次循环后，因此循环次数应为4次，故可以作为判断循环终止的条件. 故选C. 8. A 由条件知函数的周期为，可知，即函数，，可将化为，由此可知只需将向左平移个单位即可获得.故选A. 9. C 若满足条件的三角形有两个，则应，又因为，故，. 故选C. 10. C 通过将基本事件进行列举，求得概率为. 故选C. 11. B 由题意可有：，由此求得. 故选B. 12. B 由题意可知四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当体积最大时，可以判定该棱锥为正四棱锥，底面在球大圆上，可得知底面正方形的对角线长度为球的半径，且四棱锥的高，进而可知此四棱锥的四个侧面均是边长为的正三角形，底面为边长为的正方形，所以该四棱锥的表面积为 ，于是，进而球的体积. 故选B. 二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 14. 15.且 16. 简答与提示： 13. 画出图形，可得该区域图形为边长为的正方形，故其周长为. 14. 由体对角线长，正视图的对角线长，侧视图的对角线长，可得长方体的长宽高分别为，2，1，因此其全面积为. 15. 由，可得，整理得，而，所以且. 因此数列单调递增的充要条件是: 且. 16. 根据指数函数的性质，可知函数恒过定点. 将点代入，可得. 由于始终落在所给圆的内部或圆上，所以. 由，解得或，这说明点在以和为端点的线段上运动，所以的取值范围是. 三、解答题(本大题必做题5小题，三选一选1小题，共70分) 17. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题借助向量的垂直与数量积考查三角函数的化简，并且考查利用三角函数的变换与辅助角公式求取三角函数的值域等有关知识. 【试题解析】解：⑴由，可知. 然而 ，所以有 ，得.(6分) ⑵.(9分) 又，则，， 所以 ,即的取值范围是.（12分） 18. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到统计图的应用、平均值的求取以及概率的初步应用. 【试题解析】解：⑴贷款年限依次为10，15，20，25，30，其平均值. ， 所以标准差. (4分) ⑵所求概率. (8分) ⑶平均年限(年). (12分) 19. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面的垂直关系以及几何体体积的求法. 【试题解析】解：⑴由四边形是正方形，所以.又平面，，所以，而，所以平面，.又，所以平面，从而. (6分) ⑵设所给四棱柱的体积为V，则，又三棱锥的体积等于三棱锥的体积，记为，三棱锥的体积又等于三棱锥的体积，记为.而，，所以所求四面体的体积为. (12分) 20. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到椭圆 方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识以及向量与圆锥曲线的综合知识. 【试题解析】解：⑴当直线与x轴垂直时，四边形AMBN面积: 得. 又，于是，得 ，又，解得.因此该椭圆方程为. (4分) (2)设直线，由消去并整理得：. 设，则有. (6分) 由，，，，可得. (8分) , 所以. (10分) 由于,可知的取值范围是. (12分) 21. (本小题满分12分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研 究函数的单调性、极值以及函数零点的情况. 12999.com 【试题解析】解：⑴令,得. 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. (3分) ⑵由于，所以. 构造函数，则令，得. 当时，；当时，. 所以函数在点处取得最小值，即. 因此所求的的取值范围是. (7分) ⑶. 构造函数，则问题就是要求恒成立. (9分) 对于求导得 . 令，则，显然是减函数. 当时，，从而函数在上也是减函数. 从而当时，，即， 即函数在区间上是减函数. 当时，对于任意的非零正数，，进而有恒成立，结论得证. (12分) 22. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查平面几何的证明及其运算，具体涉及到圆的性质以及三角形相似等有关知识内容. 【试题解析】解：⑴因为为圆的切线，所以 又为中点，所以. 因为，所以与相似. （5分） ⑵由⑴中与相似，可得. 在中，由， 得. （10分） 23. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程与平面直角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等内容. 【试题解析】对于曲线M,消去参数，得普通方程为,曲线 是抛物线的一部分； 对于曲线N，化成直角坐标方程为，曲线N是一条直线. (2分) (1)若曲线M,N只有一个公共点，则有直线N过点时满足要求，并且向左下方平行运动直到过点之前总是保持只有一个公共点，再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点，所以满足要求；相切时仍然只有一个公共点，由，得，求得. 综合可求得的取值范围是：或. （6分） (2)当时，直线N: ，设M上点为，，则 ， 当时取等号，满足，所以所求的最小距离为. (10分) 24. (本小题满分10分) 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式及 不等式证明以及解法等内容. 【试题解析】解：（1） 当时，由解得：；当时，由得，舍去； 当时，由，解得. 所以原不等式解集为. (5分) （2）由（1）中分段函数的解析式可知:在区间上单调递减，在区间上单调递增.并且，所以函数的值域为.从而的取值范围是,进而的取值范围是.根据已知关于的方程的解集为空集，所以实数的取值范围是. (10分) 第1页（共4页）