初中总复习讲义

姜堰市娄庄中学教学案—教学纸 打造我们自己的品牌 第1课时 实数的有关概念 【知识梳理】 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限 环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应. 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0. 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂. 9. 平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根． 10. 开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 11. 算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0． 12. 立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0． 13. 开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方． 【思想方法】 数形结合，分类讨论 【例题精讲】 例1.下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 例2. 的相反数是（ ） A． B． C． D． 例3.2的平方根是（ ） A．4 B． C． D． 例4.《广东省2009年重点建设项目（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（　 　） A． 元　　　 B． 元　　　 C． 元　　 D． 元 例5.实数 在数轴上对应点的位置如图所示， 则必有（ ） A． B． C． D． 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： ⊕ = ( 为常数)时，得 （ +1）⊕ = +2， ⊕（ +1）= -3 现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ． 【当堂检测】 1.计算 的结果是（ ） A． B． C． D． 2. 的倒数是（ ） A． B． C． D． 3.下列各式中，正确的是（ ） A． B． C． D． 4.已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ） A．1 B． C． D． 5. 的相反数是（ ） A． B． C． D． 6.-5的相反数是____,- 的绝对值是____, =_____. 7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 . 8.如果 ，则“ ”内应填的实数是（ ） A． B． C． D． 第2课时 实数的运算 【知识梳理】 1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数． 2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0． 4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减； 如果有括号，先算括号里面的． 6．有理数的运算律： 加法交换律： 为任意有理数) 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c为任意有理数) 【思想方法】 数形结合，分类讨论 【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名. 例2.下表是5个城市的国际时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( ) A．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时. B．纽约时间2006年6月17日晚上22时. C．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 . D．汉城时间2006年6月17日上午8时. 例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________个圆组成. 例4.下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 例5.计算： (1) (2) º (3) ； (4) . 【当堂检测】 1.下列运算正确的是（ ） A．a4×a2=a6 B． C． D． 2.某市2008年第一季度财政收入为 亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( ) A． 元　　B． 元　　C． 元　　D． 元　 3.估计68的立方根的大小在( ) A.2与3之间 B.3与4之间 C.4与5之间 D.5与6之间 4.如图，数轴上点 表示的数可能是（　 　） A． B． C． D． 5.计算： (1) （2） 第3课时 整式与分解因式 【知识梳理】 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m、n为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 （a≠0，m、n为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 （n为正整数）；④零指数： （a≠0）；⑤负整数指数： （a≠0，n为正整数）； 2.整式的乘除法: (1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. (2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. (3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. (4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. (5)平方差：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即 ； (6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即 3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式． 4.分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式 ； 5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． (3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 【例题精讲】 【例1】下列计算正确的是（ ） A. a＋2a=3a B. 3a－2a=a C. a EMBED Equation.3 a =a D.6a ÷2a =3a 【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的 结果是（ ） 平方 - ÷ +2 结果 A． B． C． +1 D． -1 【例3】若 ，则 ． 【例4】下列因式分解错误的是( ) A． B． C． D． 【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第 个“广”字中的棋子个数是________ 【例6】给出三个多项式： ， ， ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 【当堂检测】 1.分解因式： ， 2.对于任意两个实数对（a，b）和（c，d），规定：当且仅当a＝c且b＝d时， （a，b）=（c，d）．定义运算“”：（a，b）（c，d）=（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）（p，q）=（5，0），则p＝ ，q＝ ． 3. 已知a=1.6(109，b=4(103，则a2(2b=( ) A. 2(107 B. 4(1014 C.3.2(105 D. 3.2(1014 ． 4.先化简，再求值： ，其中 ． 5．先化简，再求值： ，其中 ． 第4课时 分式与分式方程 【知识梳理】 1. 分式概念：若A、B表示两个整式，且B中含有字母，则代数式 叫做分式． 2.分式的基本性质：（1）基本性质：（2）约分：（3）通分： 3．分式运算 4.分式方程的意义，会把分式方程转化为一元一次方程． 5.了解分式方程产生增根的原因，会判断所求得的根是否是分式方程的增根． 【思想方法】 1.类比（分式类比分数）、转化（分式化为整式） 2.检验 【例题精讲】 1．化简： 2．先化简，再求值： ，其中 ． 3．先化简 ，然后请你给 选取一个合适值,再求此时原式的值． 4．解下列方程（1） （2） 5．一列列车自2004年全国铁路第5次大提速后，速度提高了26千米/时，现在该列车从甲站到乙站所用的时间比原来减少了1小时，已知甲、乙两站的路程是312千米，若设列车提速前的速度是x千米，则根据题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【当堂检测】 1．当 时，分式 的值是 ． 2．当 时，分式 有意义；当 时，该式的值为0． 3．计算 的结果为 ． 4. ．若分式方程 有增根，则k为（ ） A. 2 B.1 C. 3 D.-2 5．若分式 有意义，则 满足的条件是：（ ） A． B． C． D． 6．已知x＝2008，y＝2009，求 的值 7．先化简，再求值： ，其中 8.解分式方程． (1) (2) ； (3) (4) 第5课时 二次根式 【知识梳理】 1.二次根式： (1)定义:____________________________________叫做二次根式. 2．二次根式的化简： 3．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数中不含有能开得尽的因数或因式． （2）根号内不含分母 （3）分母上没有根号 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 5．二次根式的乘法、除法公式： （1） （2） 6．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 【思想方法】 非负性的应用 【例题精讲】 【例1】要使式子 有意义， 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】估计 的运算结果应在（　 　）． A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【例3】 若实数 满足 ，则 的值是 ． 【例4】如图，A，B，C，D四张卡片上分别写有 四个实数，从中任取两张卡片． A B C D （1）请列举出所有可能的结果（用字母A，B，C，D表示）； （2）求取到的两个数都是无理数的概率． 【例5】计算： （1） （2） ． 【例6】先化简，再求值： ，其中 ． 【当堂检测】 1.计算：（1） ． （2）cos45°·(－ )－2－(2 － )0＋｜－ ｜＋ （3） ． 2.如图，实数 、 在数轴上的位置，化简 第6课时 一元一次方程及二元一次方程（组） 【知识梳理】 1．方程、一元一次方程、二元一次方程（组）和方程（组）的解、解方程（组）的概念及解法，利用方程解决生活中的实际问题． 2．等式的基本性质及用等式的性质解方程： 等式的基本性质是解方程的依据，在使用时要注意使性质成立的条件 ． 3．灵活运用代入法、加减法解二元一次方程组． 4．用方程解决实际问题：关键是找到“等量关系”，在寻找等量关系时有时可以借助图表等，在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【思想方法】 方程思想和转化思想 【例题精讲】 例1． （1）解方程 （2）解二元一次方程组  解： 例2．已知是关于的方程的解，求的值． 方法1 方法2 例3．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 例4．在 中，用x 的代数式表示y，则y=______________． 例5．已知a、b、c满足 ，则a：b：c= ． 月份 用电量 交电费总数 3月 80度 25元 4月 45度 10元 例6 ．某电厂规定该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过 A 度，那么这个月这户只需交 10 元用电费，如果超过 A 度，则这个月除了仍要交 10 元用电费外，超过部分还要按每度 0.5 元交费． ①该厂某户居民 2 月份用电 90 度，超过了规定的 A 度，则超过部分应该交电费多少元（用 A 表示）？ ． ②右表是这户居民 3 月、4 月的用电情况和交费情况：根据右表数据，求电厂规定A度为 ． 【当堂检测】 1．方程的解是___ ___． 2．一种书包经两次降价10%，现在售价元，则原售价为_______元． 3.若关于的方程的解是，则_________． 4．若 ， ， 都是方程ax+by+2＝0的解，则c=____． 5．解下列方程（组）： （1）； （2）； （3） ； （4）； 6．当时，代数式的值是12，求当时，这个代数式的值． 7．应用方程解下列问题：初一（4）班课外乒乓球组买了两副乒乓球板，若每人付9元，则多了5元，后来组长收了每人8元，自己多付了2元，问两副乒乓球板价值多少？ 8．甲、乙两人同时解方程组 由于甲看错了方程①中的 ，得到的解是 ，乙看错了方程中②的 ，得到的解是 ，试求正确 的值． 第7课时 一元二次方程 【知识梳理】 1. 一元二次方程的概念及一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0) 2. 一元二次方程的解法：①直接开平方法②配方法③公式法④因式分解法 3．求根公式：当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根为 4．根的判别式： 当b2-4ac＞0时，方程有 实数根． 当b2-4ac=0时， 方程有 实数根． 当b2-4ac＜0时，方程 实数根． 【思想方法】 1. 常用解题方法——换元法 2. 常用思想方法——转化思想，从特殊到一般的思想，分类讨论的思想 【例题精讲】 例1．选用合适的方法解下列方程： (1) (x-15)2-225=0； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）； (3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x2+ x=0 例2 ．已知一元二次方程 有一个根为零，求 的值． 例3．用22cm长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？ 例4．已知关于x的方程x2―(2k+1)x+4(k-0.5)=0 (1) 求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； (2) 若等腰三角形ABC的一边长为a=4，另两边的长b．c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长． 【当堂检测】 一、填空 1．下列是关于x的一元二次方程的有_______ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2．一元二次方程3x2=2x的解是 ． 3．一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0，则m的值是 ． 4．已知m是方程x2-x-2=0的一个根，那么代数式m2-m = ． 5．一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则 的值为 ． 6．关于x的一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根, 则k的取值范围是__________． 7．如果关于的一元二次方程的两根分别为3和4，那么这个一元二次方程可以是 ． 二、选择题： 8．对于任意的实数x,代数式x2－5x＋10的值是一个( ) A.非负数 B.正数 C.整数 D.不能确定的数 9．已知(1-m2-n2)(m2+n2)=-6,则m2+n2的值是（ ） A.3 B.3或-2 C.2或-3 D. 2 10．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A）x2＋4＝0 （B）4x2－4x＋1＝0（C）x2＋x＋3＝0（D）x2＋2x－1＝0 11．下面是李刚同学在测验中解答的填空题，其中答对的是（ ） A．若x2=4，则x=2 B．方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1 C．方程x2+2x+2=0实数根为0个 D．方程x2-2x-1=0有两个相等的实数根 12．若等腰三角形底边长为8,腰长是方程x2-9x+20=0的一个根,则这个三角形的周长是（ ） A.16 B.18 C.16或18 D.21 三、解下方程： (1)(x+5)(x-5)=7 (2)x(x-1)=3-3x (3)x2-4x-4=0 (4)x2+x-1=0 (6)（2y-1）2 -2（2y-1）-3=0 第8课时 方程的应用（一） 【知识梳理】 1. 方程（组）的应用； 2. 列方程（组）解应用题的一般步骤； 3. 实际问题中对根的检验非常重要． 【注意点】 分式方程的检验，实际意义的检验． 【例题精讲】 例1. 足球比赛的计分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某队打了14场，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ） A．4场 B．5场 C．6场 D．13场 例2. 某班共有学生49人.一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半.若设该班男生人数为x，女生人数为y，则下列方程组中，能正确计算出x、y的是（ ） A． eq \b\lc\{(\a\al(x–y= 49,y=2(x+1))) B． eq \b\lc\{(\a\al(x+y= 49,y=2(x+1))) C． eq \b\lc\{(\a\al(x–y= 49,y=2(x–1))) D． eq \b\lc\{(\a\al(x+y= 49,y=2(x–1))) 例3. 张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意得到的方程是（ ） 例4.学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封，但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下50个信封，则两处各领的信笺数为x张，信封个数分别为y个，则可列方程组 ． 例5. 团体购买公园门票票价如下： 购票人数 1～50 51～100 100人以上 每人门票（元） 13元 11元 9元 今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人．若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元． (1)请你判断乙团的人数是否也少于50人． (2)求甲、乙两旅行团各有多少人？ 【当堂检测】 1. 某市处理污水，需要铺设一条长为1000m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时，每天比原计划多铺设10米，结果提前5天完成任务．设原计划每天铺设管道xm，则可得方程 ． 2. “鸡兔同笼”是我国民间流传的诗歌形式的数学题，“鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露，看来脚有100只，几多鸡儿几多兔？”解决此问题，设鸡为x只，兔为y只，所列方程组正确的是（ ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 3.为满足用水量不断增长的需求，某市最近新建甲、乙、丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m3，其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m3． （1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？ （2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t土石，运输公司派出A型，B型两种载重汽车，A型汽车6辆，B型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A型汽车3辆，B型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A型汽车，每辆B型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载） 4. 2009年初我国南方发生雪灾，某地电线被雪压断，供电局的维修队要到30km远的郊区进行抢修．维修工骑摩托车先走，15min后，抢修车装载所需材料出发，结果两车同时到达抢修点．已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求这两种车的速度． 5. 某体育彩票经售商计划用45000元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A、B、C三种不同价格的彩费，进价分别是A种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票； （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？ （3）若经销商准备用45000元同时购进A、B、C三种彩票20扎，请你设计进票方案． 第9课时 方程的应用（二） 【知识梳理】 1.一元二次方程的应用； 2. 列方程解应用题的一般步骤； 3. 问题中方程的解要符合实际情况． 【例题精讲】 例1. 一个两位数的十位数字与个位数字和是7，把这个两位数加上45后，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数是（ ） A．16 B．25 C．34 D．61 例2. 如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修 建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积 需要551米2，则修建的路宽应为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 例3. 为执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为 ，则下列方程正确的是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例4. 某地出租车的收费标准是：起步价为7元，超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，那么x的最大值是（ ） A．11 B．8 C．7 D．5 例5. 已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数约是________．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为_____万台． 例6. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 例7. 幼儿园有玩具若干份分给小朋友，如果每人分3件，那么还余59件．如果每人分5件，那么最后一个人不少于3件但不足5件，试求这个幼儿园有多少件玩具，有多少个小朋友． 【当堂检测】 1. 某印刷厂1月份印刷了书籍60万册，第一季度共印刷了200万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？ 2. 为了营造人与自然和谐共处的生态环境，某市近年加快实施城乡绿化一体化工程，创建国家城市绿化一体化城市．某校甲，乙两班师生前往郊区参加植树活动．已知甲班每天比乙班少种10棵树，甲班种150棵树所用的天数比乙班种120棵树所用的天数多2天，求甲，乙两班每天各植树多少棵？ 3. A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动. ⑴ P、Q两点从出发开始到几秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2？ ⑵ P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm？ 4. 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示．甲班分两次共购买苹果70kg（第二次多于第一次），共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg． （1）乙班比甲班少付出多少元？ （2）甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克？ 购苹果数 不超过30kg 30kg以下但 不超过50kg 50kg 以上 每千克价格 3元 2.5元 2元 第10课时 一元一次不等式（组） 【知识梳理】 1.一元一次不等式（组）的概念； 2.不等式的基本性质； 3.不等式（组）的解集和解法． 【思想方法】 1.不等式的解和解集是两个不同的概念； 2.解集在数轴上的表示方法． 【例题精讲】 例1.如图所示，O是原点，实数a、b、c在数轴上对应的点分别为A、B、C，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 例2. 不等式 的解集是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 例3. 把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 例4. 不等式组 的整数解共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 例5. 小明和爸爸妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150kg，爸爸坐在跷跷板的一端，小明体重只有妈妈一半，小明和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸那端仍然着地，那么小明的体重应小于（ ） A. 49kg B. 50kg C. 24kg D. 25kg 例6.若关于x的不等式x－m≥－1的解集如图所示，则m等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 例7.解不等式组：（1） （2） 【当堂检测】 1.苹果的进价是每千克3.8元，销售中估计有5%的苹果正常损耗．为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克 元． 2. 解不等式 ，将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解． 3. 解不等式组 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 4. 我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题： 脐 橙 品 种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获得（百元） 12 16 10 （1）设装运A种脐橙的车辆数为 ，装运B种脐橙的车辆数为 ，求 与 之间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值． 第11课时 平面直角坐标系、函数及其图像 【知识梳理】 一、平面直角坐标系 1. 坐标平面上的点与有序实数对构成一一对应； 2. 各象限点的坐标的符号； 3. 坐标轴上的点的坐标特征． 4. 点P（a，b）关于 对称点的坐标 5.两点之间的距离 6.线段AB的中点C，若 则 二、函数的概念 1.概念：在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x 的函数. 2.自变量的取值范围： （1）使解析式有意义 （2）实际问题具有实际意义 3.函数的表示方法； （1）解析法 （2）列表法 （3）图象法 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例1.函数 中自变量 的取值范围是 ; 函数 中自变量 的取值范围是 ． 例2.已知点与点关于轴对称，则 ， ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（10，0），点B的坐标为 （8，0）,点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形． 求点C的坐标． 例4.阅读以下材料：对于三个数a,b,c用M{a,b,c}表示这三个数的平均数，用min{a,b,c}表示这三个数中最小的数．例如： ； min{-1,2,3}=-1； 解决下列问题： （1） 填空：min{sin30o,sin45o,tan30o}= ； （2）①如果M{2,x+1,2x}=min{2,x+1,2x}，求x；②根据①，你发现了结论“如果M{a,b,c}= min{a,b,c}，那么 （填a,b,c的大小关系）”． ③运用②的结论，填空：M{2x+y+2,x+2y,2x-y}=min{2x+y+2,x+2y,2x-y}若， 则x + y= ． （3）在同一直角坐标系中作出函数y=x+1，y=(x-1)2，y=2-x的图象（不需 列表描点）．通过观察图象，填空： min{x+1, (x-1)2,2-x}的最大值为 ． 【当堂检测】 1.点 在第二象限内， 到 轴的距离是4，到 轴的距离是3，那么点 的坐标为（　 　） A．(-4,3) B．(-3,-4) C．(-3,4) D．(3,-4) 2.已知点P(x,y)位于第二象限，并且y≤x+4 , x,y为整数，写出一个符合上述条件的点 的坐标： ． 3.点P(2m-1,3)在第二象限，则 的取值范围是（ ） A．m>0.5 B．m≥0.5 C．m<0.5 D．m≤0.5 4.如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线． ⑴由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点 的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点 、 的位置，并写出他们的坐标: 、 ； ⑵结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点 的坐标为 （不必证明）； ⑶已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标． 第12课时 一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数 的图象是经过（ ，0）和（0，b）两点的一条直线. 3. 一次函数 的图象与性质 k、b的符号 k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y随x的增大 而 y随x的增大而而 y随x的增大 而 y随x的增大 而 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x－(4－b),求字母a、b为何值时： （1）y随x的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y轴交点在x轴下方. 例3. 如图，直线l1 、l2相交于点A，l1与x轴的交点坐标为（－1，0），l2与y轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l2表示的一次函数表达式； （2）当x为何值时，l1 、l2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ 例4.如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于点A(ｍ，2)，点B(－2, n )，一次函数图像与y轴的交点为C. （1）求一次函数解析式； （2）求C点的坐标； （3）求△AOC的面积. 【当堂检测】 1.直线y＝2x＋8与x轴和y轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数 与 的图象如图，则下列 结论：① ；② ；③当 时， 中， 正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.一次函数 ， 值随 增大而减小，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4.一次函数 的图象不经过（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知函数 的图象如图，则 的图象可能是（ ） 6.已知整数x满足-5≤x≤5，y1=x+1，y2=-2x+4对任意一个x，m都取y1，y2中的较小值，则m的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A的坐标为(－1，0)，点B在直线y=x上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ ， ） C.（－ ，－ ） D.（－ ，－ ） 第13课时 一次函数的应用 【例题精讲】 例题1.某地区的电力资源丰富，并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费.月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图像如图所示. ⑴月用电量为100度时，应交电费 元； ⑵ 当x≥100时，求y与x之间的函数关系式； ⑶ 月用电量为260度时，应交电费多少元？ 例题2. 在一次远足活动中，某班学生分成两组，第一组由甲地匀速步行到乙地后原路返回，第二组由甲地匀速步行经乙地继续前行到丙地后原路返回，两组同时出发，设步行的时间为t（h），两组离乙地的距离分别为S1（km）和S2(km)，图中的折线分别表示S1、S2与t之间的函数关系． （1）甲、乙两地之间的距离为 km，乙、丙两地之间的距离为 km； （2）求第二组由甲地出发首次到达乙地及由乙地到达丙地所用的时间分别是多少？ （3）求图中线段AB所表示的S2与t间的函数关系式，并写出t的取值范围． 例题3.某加油站五月份营销一种油品的销售利润 （万元）与销售量 （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量） 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售提供的信息，解答下列问题： （1）求销售量 为多少时，销售利润为4万元； （2）分别求出线段AB与BC所对应的函数关系式； （3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA、AB、BC三段所表示的销售信息中，哪一段的利润率最大？（直接写出答案） 例题4.奥林玩具厂安排甲、乙两车间分别加工1000只同一型号的奥运会吉祥物，每名工人每天加工的吉祥物个数相等且保持不变，由于生产需要，其中一个车间推迟两天开始加工．开始时，甲车间有10名工人，乙车间有12名工人，图中线段OB和折线段ACB分别表示两车间的加工情况．依据图中提供信息，完成下列各题：（1）图中线段OB反映的是________车间加工情况； （2）甲车间加工多少天后，两车间加工 的吉祥物数相同？ （3）根据折线段ACB反映的加工情况， 请你提出一个问题，并给出解答． 【当堂检测】 1.如图(1)，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为 ，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图(2)所示，则△BCD的面积是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.如图，在中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD，下列说法正确的是（ ） A．乙比甲先到终点 B．乙测试的速度随时间增加而增大 C．比赛到29.4秒时，两人出发后第一次相遇 D．比赛全程甲测试速度始终比乙测试速度快 3.小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A．12分钟 B．15分钟 C．25分钟 D．27分钟 4.在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地卸货后返回．设汽车从甲地出发x(h)时，汽车与甲地的距离为y(km)，y与x的函数关系如图所示．根据图像信息，解答下列问题： （1）这辆汽车的往、返速度是否相同？请说明理由； （2）求返程中y与x之间的函数表达式； （3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离． 第14课时 反比例函数图象和性质 【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝ 或 （k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质 k的符号 k＞0 k＜0 图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 性质 在每一象限内,y随x的增大而 在每一象限内,y随x的增大而 3． 的几何含义：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 . 【思想方法】 数形结合 【例题精讲】 例1 某汽车的功率P为一定值，汽车行驶时的速度v（米／秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如右图所示： （1）这辆汽车的功率是多少？请写出这一函数的表达式； （2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时？ （3）如果限定汽车的速度不超过30米／秒，则F在什么范围内？ 例2如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 两点． （1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积； （3）x为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【当堂检测】 1. (2008年河南)已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3），则m的值为　　． 2.（2008年宜宾）若正方形AOBC的边OA、OB在坐标轴上，顶点C在第一象限且在反比例函数y＝ 的图像上，则点C的坐标是 . 3．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 （　　） A．k＞3 B．k＞0 C．k＜3 D． k＜0 4. (2008年广东)如图,反比例函数图象过点P,则它的解析式为( ) A.y＝ (x>0) B.y＝－ (x>0) C.y＝ (x<0) D.y＝－ (x<0) 5．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m3 ) 的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（ ） A．不小于 m3 B．小于 m3 C．不小于 m3 D．小于 m3 6．（2008巴中）如图，若点 在反比例函数 的图象上， 轴于点 ， 的面积为3，则 ． 7．对于反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．点 在它图象上B．图象在第一、三象限 C．当 时， 随 的增大而增大 D．当 时， 随 的增大而减小 8.（2008年乌鲁木齐）反比例函数 的图象位于（ ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 9．某空调厂装配车间原计划用2个月时间（每月以30天计算），每天组装150台空调. （1）从组装空调开始，每天组装的台数m（单位：台／天）与生产的时间t（单位:天）之间有怎样的函数关系？ （2）由于气温提前升高、厂家决定这批空调提前十天上市，那么装配车间每天至少要组装多少空调？ 第15课时 二次函数图象和性质 【知识梳理】 1. 二次函数 的图像和性质 ＞0 ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x＝ 时，y有最 值 当x＝ 时，y有最 值 增减性 在对称轴左侧 y随x的增大而　 y 随x的增大而　 在对称轴右侧 y随x的增大而　 y随x的增大而　 2. 二次函数 用配方法可化成 的形式，其中 ＝ ， ＝ . 3. 二次函数 的图像和 图像的关系. 4. 二次函数 中 的符号的确定.