欧拉公式

简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2.