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2011届高考数学难题集锦
一、填空题
1.直线
过点
,若可行域
的外接圆直径为
.则实数n的值是 .
2.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)在区间
上是单调函数,且f(
)=0,则
ω= .
3.已知等差数列
的前n项和为
,若
,
,则下列四个命题中真命题的序号为 .
①
; ②
; ③
; ④
4.如图,已知椭圆
的左、右准线分别为
,且分别交
轴于
两点,从
上一点
发出一条光线经过椭圆的左焦点
被
轴反射后与
交于点
,若
,且
,则椭圆的离心率等于 .
5.己知等差数列{an}的各项都不为零,公差d>0,且a4+a7=0,记数列 eq \b\bc\{(\f(1,an))的前n项和为Sn,则使Sn>0成立的正整数n的最小值是_________.
6.如图,在长方形
中,
,
,
为
的中点,
为线段
(端点除外)上一动点.现将
沿
折起,使平面
平面
.在平面
内过点
作
,
为垂足.设
,则
的取值范围是 .
7.已知函数,若存在一个实数x,使与均不是正数,则实数m的取值范围是________________.
8. 定义区间
的长度均为
,其中
,若
是实数,且
,则满足不等式
的
构成的区间长度之和为 .
二、解答题,
9.已知椭圆
的离心率为
,椭圆的左、右两个顶点分别为
,
,直线
与椭圆相交于
两点,经过三点
的圆与经过三点
的圆分别记为圆C1与圆C2.
(1)求椭圆的方程;
(2)求证:无论
如何变化,圆C1与圆C2的圆心距是定值;
(3)当
变化时,求圆C1与圆C2的面积的和
的最小值.
10.如图,已知椭圆过点.
,离心率为,左、右焦点分别为、
.点为直线上且不在轴上的任意一点,直线和与椭圆的交点分别为、和、,为坐标原点.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)设直线、的斜线分别为、.
(i)证明:;
(ii)问直线上是否存在点,使得直线、、、的斜率、、、满足?若存在,求出所有满足条件的点的坐标;若不存在,说明理由.
11.已知
,
且
.
(Ⅰ)当
时,求
在
处的切线方程;
(Ⅱ)当
时,设
所对应的自变量取值区间的长度为
(闭区间
的长度定义为
),试求
的最大值;
(Ⅲ)是否存在这样的
,使得当
时,
?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
12.(1)证明:对任一正整
,都存在整数
,使得
成等差数列。
(2)存在无穷多个互不相似的三角形
,其边长
为正整数且
成等差数列。
参考答案
一、填空题
1.8 2.
或4 3.②③ 4.
5. 11 6.
7. 8. 2
二、解答题,
9.解:(1)由题意:
可得:
,
故所求椭圆方程为:
1
(2)易得A的坐标(-2,0),B的坐标(2,0),M的坐标
,N的坐标
,线段AM的中点P
,直线AM的斜率又, 直线的斜率直线的方程,的坐标为 同理的坐标为 ,即无论t如何变化,为圆C1与圆C2的圆心距是定值.
(2)圆的半径为,圆的半径为,
则 (<<)
显然时,最小,.
10.
11.解: (Ⅰ)当
时,
.
因为当
时,
,
,
且
,
所以当
时,
,且
由于
,所以
,又
,
故所求切线方程为
,即
(Ⅱ) 因为
,所以
,则
1 当
时,因为
,
,
所以由
,解得
,
从而当
时,
2 当
时,因为
,
,
所以由
,解得
,
从而当
时,
③当
时,因为
,
从而
一定不成立
综上得,当且仅当
时,
,
故
从而当
时,
取得最大值为
(Ⅲ)“当
时,
”等价于“
对
恒成立”,
即“
(*)对
恒成立”
1 当
时,
,则当
时,
,则(*)可化为
,即
,而当
时,
,
所以
,从而
适合题意
2 当
时,
.
1 当
时,(*)可化为
,即
,而
,
所以
,此时要求
2 当
时,(*)可化为
,所以
,此时只要求
(3)当
时,(*)可化为
,即
,而
,
所以
,此时要求
由⑴⑵⑶,得
符合题意要求.
综合①②知,满足题意的
存在,且
的取值范围是
12. (1)考虑到结构要证,;类似勾股数进行拼凑。
证明:考虑到结构特征,取特值满足等差数列,只需取b=5a,c=7a,对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形,再证明互不相似,且无穷。
证明:当成等差数列,则,
分解得:
选取关于n的一个多项式,做两种途径的分解
对比目标式,构造,由第一问结论得,等差数列成立,
考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。
下证互不相似。[来源:学科网ZXXK]
任取正整数m,n,若△m,△相似:则三边对应成比例,
由比例的性质得:,与约定不同的值矛盾,故互不相似。
x
N
M
O
y
A
B
l:x=t
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