函数凹凸性几个应用

北京电力高等专科学校学报 BeijingElectricPowerCollege 函数凹凸性几个应用 刘铁锁 (西安航空职业技术学院，陕西西安710089) 摘要：目的：研究函数凹凸性应用。方法：以函数凹凸性为依托．利用琴森不等式来证明不等式，求最值和数形方面的问。结 果：举例说明凹凸性在证明不等式，求最值和解决数形方面的应用。结论：凹凸性应用广泛。此举例仅是冰山之角。 关键词：凹凸性；函数；不等式；最值；数形结合 中图分类号：0177 文献标识码：A 文章编号：1009-0118(2010)-02枷63_02 函数的凹凸性是函数的一个重要特性，它对研究函数 的性态起着很大的作用，本文就以例题的方法，总结和归纳 它在证明不等式，求函数最值以及数形结合等方面的应用。 一、函数凹凸性的概念 1、函数凹凸性的定义 定义l：设“x)为定义在I上的函数，若对I上的任意两 点，X，，X2∈I以及任意正数P，q，p+q=l有不等式 坟pxl+qx2)≤p“xI)+q“x2)(1) 则称f(x)为I上的凹函数，反之，如果有 f(pxl+qxz)一>pf(x1)删囝(2) 则称ffx)为l上的凸函数 如果(1)．(2)中的不等式改为严格不等式，则相应的函 数称为严格凹函数和严格凸函数。 2、凹凸性的判定 常用函数y--f(x)在区间I上的二阶导数P。(x)的符号来判 断函数曲线的凹凸性： 若在该区间I上，f．’(x)>0(或<0)，则曲线y--if(x)时凹(凸) 的。 3、凹凸性几何意义 若【a，b】J二连续曲线y--f(x)在(a，b)上任意两点的连线所 在的直线的下(上)方．则f(x)的图形在[a，b】上为凹(凸)的。 二、函数凹凸性应用 函数的凹凸性在解题中有着重要应用，主要通过以下琴 森的两个不等式来完成的。 琴森不等式：设“x)是区问[a，b】上严格的凹凸函数，这时对于 其定义域中的任意的Xl,X2,X。禹和任意正数Pi,p：．P。⋯P． Pt+P2+⋯P，l：1，，若f(x)是严格凹函数，则有不等式： f(pixt+p2x,．+p。耳．J≤pIf伍1)+p2f(x2)+⋯+p。gx．J 若fix)是严格凸函数，则有不等式： fcoIXl+p2x2+p。禹J≥plf(x1)+p瓤x2)+⋯+p。且毫J 函数当且仅当Xl=x’=⋯--X。．是等号成立。 琴森不等式2：设f(x)时区间【a，b】上严格的凹凸函数，这时对 于其区域中任意的Xl,X2。X拭．，如果f(x)是严格凹函数，则有 不等式： “!!蹩!±：：：±!。1≤亟塑迕!【!盘±：：二±!㈦； n n 如果f(x)时严格凸函数，有不等式： “墨I±墅±=±k1≥且堑!±且坠l±=±盟监： 当且仅当x。=x2=⋯=K时等号成立。 2．1在不等式证明中应用 例1．设n个正角dl+仅2+⋯+仅。=叮『，证明：sinixl+since2+ +sin“。≤sin里 n 证明：设f(x)=sinx；x∈[0．叫，因为ft(x)一sinxln3(1-xt2)+lnS(1-x．,2)+．．．+ln'(1-x,2)． 分析经观察可知，要证明的不等式与函数有关，用凹 凸性证明。 证明：设函数f(x)=ln3(1一x2) 因为f"(x)<0，所以f(x)为凸函数，由琴森不等式2知 In3【l一(型堑盥)2】≥ II !亟!竺a±!亟!蝴±=±!亟!=圣a例3．设a；，bi∈R+， n i-1⋯2-．n，p，q>1．上+上=1。证明： I， ‘l ∑aibi≤(∑。?)了(∑h?)彳 i=I i=l i=l 上 证明：设f(对=x1，(x>0)则 '1 W f-’(x)=上一(上一1)x1o，(i：1⋯2．．n)．∑p；：1有 i=l 0lxl+p2x2+⋯+p，耳。J1≥p1Xl1+p2x21+⋯+p。1】【。1 (1) 铷i-扣专币_1．2⋯n) 贝1]Xl,pi>o且；荟pi=1将硒pt的值代人(1)式，并利用LP +上有 q 上 (坠j!±坠竖：±坠凸!≥f垫b±!尘立：±!是! f∑。一下 ∑。， (下转65页) 63 万方数据 No．2．2010 北京电力高等专科学校学报 BeijingElectricPowerCollege 电气工程研究与应用圃 明确生产领导及总工程师在状态检修工作中的领导及决策 作用；中间成立状检修办公室，设立在生产技术部，由生产 技术部主任负责；变电运行部设立专责人。 四、“状态检修”的实践 我公司积极探索变电设备状态检修工作，根据总体规 划和安排，编写了变电设备状态检修工作实施办法(试行)、 微机型(数字式)继电保护及安全自动装置状态检验评估细 则(试行)、避雷器状态检修评估细则、变压器状态检修评估 细则、高压断路器状态评估细则等文件、

制度

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和规定，指导 状态检修工作的开展。 自2001年以来，为充分利用新科技、新技术，提高检修 管理的效率和科技含量，我公司力求做到又先后改造和新 建了35kV古桥、老城、张庄、坡杨、西杨变电站；110kV董 村、谢庄、黄庄、城北、葛南、孟排等11座变电站，均按无人 值班设计，已投运多年。力求做到状态检修在线监测系统， 充分利用网络优势，实现设备实时状态信息的采集及上传， 使专业技术人员足不出户即可定期通过监测系统进行设备 状态的监测和分析=变电站及变电运行部专责人根据状态 监测信息及设备运行信息的采集，汇总分析数据，定期填报 设备状态评估报表。生产技术部对评估报表进行汇总分析， 利用状态检修分析系统辅助决策，对存在可疑问题及有缺 陷状态的设备进行分析，必要时召集专业人员会诊分析，提 出处理意见和建议，报公司生产副总经理审批，形成

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后 由修试公司执行。方案实施后，执行人将有关结果上报变电 运行部和生产技术部，对执行情况进行验收和评估，对仍存 在疑问的列入重点跟踪、观察。 五、效益评估预测 通过实施状态检修，取得的经济、安全和社会效益是十 分显著的。 首先是经济效益，目前我公司变压器26台，按规程规 定检修周期大修，平均每年须检修13台左右，每台检修人 工、材料、机械费用合计约5000元左右；实施状态检修后， 每台每年周期性检修费用可节约3000元左右。由于检修工 作量下降，减少了对检修人力资源的需求，实现了变电设备 增加，人员同比减少的可喜现象，达到了减员增效的目的。 其次是安全效益，因为实施“状态检修”总体上减少了设备 的停电次数，减少了设备停送电倒闸操作风险，减少了检修 工作量，避免了不必要的过度检修。 最后是社会效益，采取“状态检修”的模式，可减少检修 人员的检修工作量，把有限的人力和物力用于设备的维护 和监测，保证设备处于完好状态，提高设备可用系数，确保 对社会、对用电客户的安全供电。 六、结束语 “状态检修”工作的重要性在供电系统还未被充分认 识。我公司只是进行了初步尝试，首先在lOkV设备过热故 障在线监测系统；10kV真空开关真空度在线监测系统； 110kV变压器局部放电在线监测子系统；110kV套管介质损 耗及电容量在线监测子系统；l10kV变压器铁芯接地电流的 在线监测子系统；l10kVPT、CT在线监测系统；110kV避雷 器在线监测系统；状态检修数据管理及分析系统方面开展 工作，同时积极积累继电保护运行数据，在取得经验后向继 电保护二次设备推广。状态检修工作需要各级部门的重视， 我们期待着有关具体管理规定及技术

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的出台。 “状态检修”必将推进“创建坚强电网”、“一流供电企 !l业”的开展。 (上接63页)去分母得：∑a；b．≤(∑a?)F(∑b?)下 2．2求最值应用 例4．设A，B．C是锐角三角形ABC的三个内角。求 tanAtanBtanC的最小值： 解：因为A，B，C∈(o，})，而函数y=tanx在(o．睾)内是 凹的， 从而：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≥3tan_A+B+C =3tan}=3、／丁 所以，lanAlanBtanC的最小值为3V'3- 例5，斌求函数y=si矿xcosBx在--(o，二})上的最大值和最 小值，其中d，13是给定的正数。 解：函数lnx在(o．+m)上是凸函数，由定义1有 毒，n警+斋，n等‰c斋·n警+矗tn COa‘X、一 l p 7 仅+B 垡 邑 融(-sidn'-x)叶陀(乎)叶p，变形 觚酏洲蜒、／高务 即有讲。，=0’y。F、／i毒貉一 2．3在数形结合问题中的应用 例5设f(x)住⋯，J卜I有二阶导数，且r’(x)>0，征明： rf(x)dx≤(争)㈣+f(b)】 证明因r’(x)>0故曲线“x)在ta．bJ上是凹函数，如图1所 示，弦AB位于曲线之上。且其AB方程为g(。)：f(a)+垩坚蚍 (k—a)，因而g(x)>f㈤。故玎x)教材

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