人寿保险

1 第三章 人寿保险 摘自：张运刚《寿险精算理论与实验》西南财经大学出版社，2010.1 按保险金给付及时程度来划分，可将人寿保险划分为：死亡所在年末给付保 险金的人寿保险、死亡所在1/ m年（ 1m > ）末给付保险金的人寿保险、死亡所在 时刻给付保险金的人寿保险。 本章将按此结构展开。 本章的主要内容是求人寿保险的趸缴纯保费或精算现值。 第一节 死亡所在年末给付保险金的人寿保险 一、等额寿险 （一）终身寿险 设 xA 表示 x岁加入、死亡年末给付保险金 1 的终身寿险的趸缴纯保费，亦称 为人寿保险的精算现值，那么运用团体法（即依据生命表，假设活过 x 岁的 xl 人 都参加了这样的保险）可以得到在 x岁时的保费收入现值为 .x xl A ，保险金支出现 值为 2 31 2x x xvd v d v d+ ++ + +⋯，依据收支平衡原则，可以得到 xA = 2 3 1 2x x x x vd v d v d l + ++ + +⋯ = 2 3 1| 2|x x xvq v q v q + + +⋯ （3.1.1） 设 xZ 表示保险人给付的保险金现值，显然 xZ 是一随机变量。即 1K xZ v + = （ 0,12,K = ⋯） 于是 ( )x xP Z v q= = 2 2 1|( )x xP Z v q = = 3 2 |( )x xP Z v q = = …… 1|( )kx k xP Z v q−= = …… 显然 ∴ ( )xE Z = 1 | 0 k k x k v q +∞ + = ∑ = 2 31| 2| 1|kx x x k xvq v q v q v q− + + + + +⋯ ⋯ （3.1.2） 这表明趸缴纯保费就是保险人给付保险金现值的数学期望。 为简化计算起见，需引入如下替换函数或转换函数： 1x x xC v d + = （3.1.3） 1 2x x x xM C C C+ += + + +⋯ （3.1.4） 1 2x x x xR M M M+ += + + +⋯ （3.1.5） x x xD v l= （3.1.6） 1 2x x x xN D D D+ += + + +⋯ （3.1.7） 1 2x x x xS N N N+ += + + +⋯ （3.1.8） 通过对于常用的生命表、常用的预定利率作出替换函数表，从而简化计算。 参见第十一章的寿险精算实验可以大大简化计算。（3.1.1）可以变形为 xA = 1 1 | 0 0 k k x k k x k k x v d v q l ++∞ +∞ + + = = =∑ ∑ = 1 0 x k x k x k x v d v l + ++∞ + = ∑ = 0 x k k x C D +∞ + = ∑ = x x M D （3.1.9） 下面计算随机变量的方差。 2 2 4 2( 1) 1( ) kx x x xkE Z v q v q v q+  = + + + +⋯ ⋯= 2( 1) 0 k xk k v q +∞ +  = ∑ 2 xA ≜ （3.1.10） 这里 2 xA 表示 x岁参加、在利息力翻倍条件下，死亡年末给付保险金 1 的终身 寿险的趸缴纯保费。关于利息力翻倍问题，详见附录 1。于是 3 2var( ) ( ( ))x x xZ E Z E Z= − 2 2( ) ( ( ))x xE Z E Z= − 2 2( )x xA A= − （3.1.11） （二）定期寿险 设 1 :x n A 表示 x岁加入、死亡年末给付保险金 1 的 n年定期寿险的趸缴纯保费， 设 1 :x n Z 表示保险金给付的现值，则 1 1 : , 0,1, , 1 0, , 1, K x n v K n Z K n n + = − =  = + ⋯ ⋯ 且 1 1 : : ( ) x n x n A E Z= 1 1 0 n k xk k v q − +  = =∑ 1 0 n x k k x C D − + = =∑ x x n x M M D +− = （3.1.12） 特别地，称 1 :1x xc A= x x C D = xvq= 为自然保费。 2 1 1 2 : : (( ) ) x n x n A E Z= 1 2( 1) 0 n k xk k v q − +  = =∑ （3.1.13） 1 2 1 1 2 : : : var( ) ( ) x n x n x n Z A A= − （3.1.14） （三）两全保险 所谓生死两全保险指的是被保险人在保险期内死亡，或者期满生存时均给付 保险金的人寿保险。实际上，它是由生存保险与死亡保险合并而成，故又称生死 合险。设 :x n A 表示 x岁加入，保险金为 1 的n年期两全保险的趸缴纯保费，且 :x n Z 表示两全保险的保险金给付现值， 1 :x n Z 表示保额为 1 的n年期纯生存保险的保险 金给付现值。于是 1 : 0, 0,1, 2, 1 , x n n K n Z v K n = , − =  ≥ ⋯ 1 : , 0,1, 2, 1 , K x n n v K n Z v K n + = , − =  ≥ ⋯ :x n Z = 1 1 : :x n x n Z Z + 4 1 :x n A = 1 : ( ) x n E Z = n n xv p = x n x D D + （3.1.15） : : ( ) x n x n A E Z= 1 1 : :x n x n A A = + （3.1.16） x x n x n x M M D D + +− + = （3.1.17） 1 2 2( 1) 2 : 0 ( ) n k n x n xkx n k E Z v q v p − +  = = +∑ 2 :x nA= （3.1.18） = 2 1 2 1 x n x n A A + ： ： （3.1.19） ∴ 2 2 : : : var( ) ( ) x n x n x n Z A A= − （3.1.20） （四）延期人寿保险 延期人寿保险主要有：延期终身人寿保险、延期定期人寿保险和延期两全人 寿保险。但是死亡发生在保险期内才给付保险金，而在延付期内即使死亡也不给 付保险金。 1.延期终身寿险 |( )x r xr A E Z  = = 1k xk k r v q +∞ +  = ∑ = x r x M D + （3.1.22） = . r r x x rv p A + = 1 x x r A A− ： （3.1.23） 其中， |r xZ = 1 0, 0 1 , K K r v K r+ ≤ ≤ −  ≥ 。 2 2 |var( ) ( )r x x xr rZ A A  = − （3.1.24） 2.延期定期寿险 1 1 : : ( ) r rx n x n A E Z   = 1 1 r n k xk k r v q + − +  = = ∑ x r x r n x M M D + + +− = （3.1.25） 1r r x x r n v p A + = ⋅ ： = 1 1 :x r n x r A A + − ： （3.1.26） 其中， 1 1 : 0, 0 1 , 1 0, K r x n K r Z v r K r n K r n +  ≤ ≤ −  = ≤ ≤ + −  ≥ + 。 1 2 1 1 2 : : : var( ) ( ) r r rx n x n x n Z A A    = − 。 （3.1.27） 5 3.延期两全保险 : : ( ) r rx n x n A E Z   = x r x r n x r n x M M D D + + + + +− + = （3.1.28） = 1 : : r r xx r n x r x r n A A v p A + + − = ⋅： （3.1.29） 其中， 1 : 0, 0 1 , 1 , K r x n r n K r Z v r K r n v K r n +  + ≤ ≤ −  = ≤ ≤ + −  ≥ + 2 2 : : : var( ) ( ) ( ) r r rx n x n x n Z A A    = − （3.1.30） 例 3.1.1 已知 30 岁的人投保了保额为 100000 元的 20 年期两全保险，求其 趸缴纯保费，并计算它所包含的定期寿险与纯生存保险的趸缴纯保费？以 CL1 （2000-2003）2.5%为基础。 解：在主体字母头上加上波浪符号“∼”，只是意味着保险金额不为 1，其它 意义不变，余此类推，今后未作特别说明时，均指此含义。所求的趸缴纯保费为 30 50 50 30:20 30:20 30 100000 100000 M M DA A D − + = = ɶ ≈61476.95（元） 1 1 30 50 30:20 30:20 30 100000 100000 M MA A D − = = ɶ ≈2606.43（元） 1 1 50 30:20 30:20 30 100000 100000 DA A D = = ɶ ≈58870.52（元）。 例 3.1.3 证明并解释： 1x x x xA vq vp A += + （3.1.31） 证明：右边= 1 1 1 x x x x x x C D M D D D + + + + ⋅ = x x M D = xA =左边。 （3.1.31）可解释为： x岁的人投保死亡年末给付保险金 1 的终身寿险所应 缴纳的趸缴纯保费 xA 起两个方面的作用：一是保障第 1 年死亡时于年末给付保险 金 1 的需要，平均开支 1 :1xA 或 xvq ；二是保障活过第 1 年死于后续年度于所在年末 给付保险金 1 的需要，平均开支 1| xA 或 1x xvp A + 。 二、非等额寿险 6 为了简便起见，主要考虑保险金按等差数列变化，等比数列情形可通过修改 预定利率方式转化为等额寿险，需要运用后面的精算实验中的 Excel 程序完成。 （一）递增寿险 1．递增终身寿险 令 ( )xIA 表示 x岁的人参加的，在第 1 年死亡时所在年末给付保险金 1，在第 2 年死亡时所在年末给付保险金 2，……，这样的终身寿险的趸交纯保费。 ( ) (( ) )x xIA E IZ= = 1 0 ( 1) k xk k k v q +∞ +  = +∑ （3.1.32） 0 ( 1) x k k x Ck D +∞ + = = +∑ = 1 0 ( 1)( )x k x k k x k M M D +∞ + + + = + −∑ 1x x x M M D ++ + = ⋯ x x R D = （3.1.33） 其中， ( )xIZ = 1( 1) KK v ++ ( 0,1,2, )K = ⋯ 。 2．递增定期寿险 1 : ( ) x n IA = 1 : (( ) ) x n E IZ = 1 1 0 ( 1) n k xk k k v q − +  = +∑ = x x n x n x R R nM D + +− − （3.1.34） 其中， 1 : ( ) x n IZ = 1( 1) , 0,1, , 1 0, KK v K n K n + + = −  ≥ ⋯ 。 3．递增两全保险 1 1 : : : ( ) ( ) x n x n x n IA IA nA = + = : (( ) ) x n E IZ = 1x x n x n x R R nM D + + +− − （3.1.35） 其中， 1 : ( 1) , 0,1, , 1( ) , K x n n K v K n IZ nv K n + + = − =  ≥ ⋯ 。 4．递增水平终身寿险 7 ( )xnI A = 1:( ) xnx nIA n A + = x x n x R R D +− （3.1.36） (( ) )xnE I Z= 其中， 1 1 ( 1) , 0,1, , 1( ) , K xn K K v K n I Z nv K n + +  + = − =  ≥ ⋯ 。 （二）递减寿险 1．递减定期寿险 1 : ( ) x n DA = 1 : (( ) ) x n E DZ = 1 1 0 ( ) n k xk k n k v q − +  = −∑ 1 1( )x x x n x nM R R D + + +− − = （3.1.37） 其中， 1 1 : ( ) , 0,1, , 1( ) 0, K x n n K v K n DZ K n + − = − =  ≥  ⋯ 。 2．递减水平终身寿险 1 : ( ) ( )x xnn x nD A DA A = + ( )E Z= 1 ( )x x x n x nM R R D + +− − = （3.1.38） 其中， 1( ) , 0,1, , 1 , , 1, K K n K v K n Z V K n n + − = − =  = + …  ⋯ 。 例 3.1.4 已知 100xl x= − ，0 100x≤ ≤ ， 0.05i = ，计算 40A 、 40( )IA 、 140:20( )IA 。 解：∵ 59 1 40 40 0 k k k A v q+  = =∑ = 59 1 0 1 60 k k v + = ⋅∑ = 60 1 60 a ≈0.32 59 1 40 40 0 ( ) ( 1) k k k IA k v q+  = = +∑ = 59 1 0 1( 1) 60 k k k v + = + ⋅∑ = 60 1 ( ) 60 Ia = 60 60 601 60 0.05 a v− ⋅ ɺɺ ≈5.55。 8 其中， 40 40 140 40 1 60 k k k l lq l + + +  − = = 。 1 40:20( )IA = 20 1 ( ) 60 Ia ≈1.85。 例 3.1.5 某 50 岁的人投保了一个终身寿险，保单规定：若在第 1 年死亡给 付保险金 1 万元，以后每推迟一年死亡保额增加 3 万元，直到 16 万元，然后以每 多活一年保额递减 4 万元，直到 4 万元时就保持不变。以 CL1（2000-2003）2.5% 为例，求趸缴纯保险费。假设保险金于死亡所在年末给付。 解：所求趸缴纯保费为 A = 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 50 4 7 10 13 16 12 8 4 4C C C C C C C C C C D + + + + + + + + + +⋯ = 50 51 56 59 50 2 7 4R R R R D + − + ≈2.17 其中，多次运用 1x x xC M M += − ， 1x x xM R R += − 来化简。 例 3.1.7 如果保险金额的给付随着时间的推移不是按等差数列变化，而是按 等比数列变化，如何解决其计算问题？例如，某 30 岁的被保险人投保了终身寿险， 该保单规定如果被保险人在第 n年死亡，则于死亡年末给付保险金 (1.02)n 。已知 预定利率为 2.5%，求趸缴纯保费。假设保险金给付的是 (1.05)n ，这里 1, 2,n = …， 则结果如何？以 CL1（2000-2003）2.5%为例，试用 Excel 进行计算？ 解：设预定利率为 i，若在第 k 年死亡时，则在年末给付保险金 (1 )kj+ ，即保 额的年增长率为 j ，于是所求的趸缴纯保费为 xAɶ = 1 1 | 0 (1 )k k k x k j v q +∞ + + = +∑ = 1 1 | 0 (1 )k k k x k j v q +∞ + + = +∑ = 1 | 0 k k x k v q +∞ + = ∑ ɶ = x x M D ɶ ɶ 其中， vɶ =1 1 1 1 j i k + = + + ， 1 i jk j − = + ， xMɶ 与 xDɶ 是按新的利率 k 计算出的替换函数。 于是，可求得所需的结果分别为 0.7917 与 3.3180。 9 第二节 死亡所在1/ m年末给付保险金的人寿保险 首先，对任何一个保险年度，将其作m（ 1m > ）等分的划分；其次，假设死 亡发生所在的1/ m年末给付保险金 1。显然，比死亡所在年末给付保险金更及时 一些。 一、等额寿险 （一）终身寿险 从投保人的角度看，将 ( )mxA 理解为 x 岁加入，在死亡所在的1/ m年末给付保 险金 1 的终身寿险的趸缴纯保险费。那么，运用团体法可得 ( )m x xl A = 1 2 3 1 1 2 2 3( ) ( ) ( )m m mx x x x x x m m m m m l l v l l v l l v + + + + + − + − + − +⋯ （3.2.1） ∴ ( )mxA = 1 1 2 2 31 2 3x x x x x x m m m m mm m m x x x l l l l l l v v v l l l + + + + + − − − ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋯ = 1 2 3 1 1 1 2 1 m m m x x x m m m m m v q v q v q + + +⋯ = 1 1 0 l m xl l m m v q ++∞ = ∑ = 11 1 0 0 jm k m xjkk j m m v q ++∞ − + + = = ∑∑ 。 （3.2.2） 当死亡服从均匀分布时 1|j xk m m q + = 1. .k x j x k j x k m m m p p q+ + + = 1 (1 ) 1 x k k x x k x k qj mp q jm q m + + + − − = | 1 k xq m 。 ∴ ( )mxA = 11 1 0 0 . jm k m xjkk j m m v q ++∞ − + + = = ∑∑ ≈ 11 | 0 0 1jm k m k x k j v q m ++∞ − + = = ⋅∑∑ = 1 ( ) | 1 0 k m k x k v q s +∞ + = ∑ = 1 |( ) 0 k k xm k i v q i +∞ + = ∑ = ( ) xm i A i （3.2.3） （二）定期寿险 ( ) 1 : m x n A = ( )( )1:mx nE Z = 11 1 1 0 0 jn m k m xjkk j m m v q + − − + + = = ∑∑ 10 ≈ 1( ) :m x n i A i （UDD 假设下） （3.2.6） (三)两全保险 ( ) : m x n A = ( ) : ( )m x n E Z = 11 1 1 0 0 jn m k nm j x n xkk j m m v q v p + − − + +  = = +∑∑ = ( ) 1 : : m x n x n A A 1+ （3.2.7） ≈ 1( ) : :m x n x n i A A i 1+ （UDD 假设下） （3.2.8） ( ) :m x n i A i ≠ （四）延期寿险 ( )m xr A  = ( )( )mxrE Z = 11 1 0 jm k m xjkk r j m m v q ++∞ − + + = = ∑∑ = ( )r m r x x rv p A +⋅ （3.2.9） ≈ ( ) xm r i A i  （UDD 假设下） （3.2.10） 同理可得 1 ( ) : m r x n A  = 11 1 1 0 jr n m k m xjkk r j m m v q ++ − − + + = = ∑ ∑ = ( ) 1 : m r r x x n v p A （3.2.11） ≈ 1( ) :m x n i A i （UDD 假设下） （3.2.12） ( ) ( ) : : m r m r xr x n x n A v p A  = （3.2.13） 例 3.2.1 已知 100xl x= − ( 0 100x≤ ≤ )，i =10%。计算： 140:10A 、 140:10A 、 40:10A 、 (4) 1 40:10A 、 (4)40:10A 。 解：∵ 100xl x= − ∴ | 40k q = 40 40 1 40 k kl l l + + +− = 1 60 10 40p = 50 40 l l = 50 60 = 5 6 1 40:10A = 9 1 | 40 0 k k k v q+ = ∑ = 9 1 0 1 60 k k v + = ∑ = 10 0.1 1 60 a ≈0.1024 11 1 40:10A = 10 10 40v p = 10 1 5 1.1 6 × ≈0.3213 ∴ 40:10A = 140:10A + 140:10A ≈0.10241+0.32129=0.4237 ∵ (4)i =4[ 1 4(1 ) 1i+ − ]≈0.096455 ∴ (4)140:10A ≈ 1(4) 40:10 i A i ≈ 0.1 0.10241 0.096455 × ≈0.1062 (4) 40:10A ≈0.4275 例 3.2.2 某 30 岁的男子购买了保额为 10 万元的 20 年期定期寿险，于死亡 所在月末给付保险金，以 CL1（2000-2003）2.5%为基础，计算其趸缴纯保费（UDD 假设下）。 解： (12)130:20100000NSP A= ≈ 1(12) 30:20100000 i A i ⋅ = 1 12 2.5% 15033.17 13809.67100000 46941.74 12 1.025 1 − ⋅ ⋅   −    ≈2636.17。 参照 130:20100000 2606.43A = ，二者相差 29.74 元。 引申：若是死亡所在季末给付，则 NSP′ = ( 4) 1 30:20100000A ≈ 1 4 2.5%100000 0.02606433 4 1.025 1 ⋅ ×   −    ≈2630.74。 与年末情形相差 24.31 元。 二、非等额寿险 略 12 第三节 死亡所在时刻给付保险金的人寿保险 一、等额寿险 （一）终身寿险 令 xA 表示死亡时立即给付保险金 1 的终身寿险的趸缴纯保费，那么运用团 体法及收支平衡原则有 x xl A = 0 t x t x tv l dtµ +∞ + +∫ ∴ xA = 0 t t x x tv p dtµ +∞ +∫ （3.3.1） = ( )xE Z （3.3.2） 其中， xZ = Tv 。 xA 亦可定义为 xA = ( )lim mx m A →+∞ = 1 1 0 lim l m l x m l m m v q ++∞ →+∞  = ∑ = 0 t t x x tv p dtµ +∞ +∫ 在 UDD 假设下 ( ) ( ) m x xm iA A i = 两边对m 取极限可得 x x iA A= δ （3.3.3） 为了计算 xA ，需引入替换函数 xC 、 xM 、 xR ： 1 0 x t x x t x tC v l dtµ+ + += ∫ （3.3.4） xM = 1 2x x xC C C+ ++ + +⋯ （3.3.5） = 1 1 11 2 1 1 2 20 0 0 x t x t x t x t x t x t x t x t x tv l dt v l dt v l dtµ µ µ+ + + + ++ + + + + + + + + ++ + +∫ ∫ ∫ ⋯ = 0 x t x t x tv l dtµ +∞ + + +∫ （3.3.6） xR = 1 2x x xM M M+ ++ + +⋯ （3.3.7） 13 = 1 22 3x x xC C C+ ++ + +⋯= ( ) 0 1 x k k k C +∞ + = +∑ 。 xC 、 xM 、 xR 有如下一些近似计算公式： ∵在 UDD 假设下， x tl + = x xl td− ∴ x tx t x t l l µ ++ + ′ = − = x x x d l td− x t x t xl dµ+ + = xC = 1 0 x t x t x tv l dtµ+ + +∫ = 11 1 0 (1 )x txv d i dt+ −⋅ +∫ = ( ) 11 0 1 t x i C − +  −  δ   = x i C δ （3.3.8） 或者 1(1 ) ti dt1 − 0 +∫ = 11 2(1 ) 1i −+ ⋅ = 1 2(1 )i+ 从而 1 2(1 )x xC i C= + （3.3.9） 还可以从直观意义上去理解（3.3.9），即前者比后者平均早半年给付。同样可 理解： 1 2(1 )x xA i A = + （3.3.10） 由（3.3.5）、（3.3.7）容易得到如下近似公式 xM = x i M δ = 1 2(1 ) xi M+ （3.3.11） x x iR R= δ = 1 2(1 ) xi R+ （3.3.12） 运用公式（3.3.1）、（3.3.6）可以得到 xA 的替换函数表达式，从而达到简化 计算的目的： x x x MA D = （3.3.13） 下面计算 xZ 的方差： 14 ∵ 2 2[( ) ]x xE Z A= ∴ 2 2var( ) [( ) ] [ ( )]x x xZ E Z E Z= − 2 2( )x xA A= − （3.3.14） （二）定期寿险 1 :x n A = 1 : ( ) x n E Z = 0 n t t x x tv p dtµ +∫ = x x n x M M D +− （3.3.15） ≈ 1 :x n i Aδ （3.3.16） 其中其中其中其中，，，， 1 : ,0 0, T x n v T n Z T n  < ≤ =  > 。。。。 ∵∵∵∵ 2 2 0 ( ) n tT t x x tE Z v p dtµ += ⋅∫ ==== 2 1:x nA ∴ 1 : var( ) x n Z = 2 1 1 2 : : ( ) x n x n A A− （3.3.17） （三）两全保险 :x n A = 1 1 : :x n x n A A + = x x n x n x M M D D + +− + （3.3.18） : ( ) x n E Z= 这里， :x n Z = ,0 , T n v T n v T n  < ≤  > ，且 :x n A ≠ :x n i Aδ 。 （四）延期寿险 | tr x t x x t r A v p dtµ+∞ += ∫ = r r x x rv p A + （3.3.19） = |x r r x x M i A D δ + ≈ （3.3.20） 1 1| : :r x r x n rr r xx n x n x M MA v p A D + + +− = = （3.3.21） | : : x r x r nr x r n r r xx n x r n x M M DA v p A D + + + + + + − + = = （3.3.22） 二、非等额寿险 15 （一）递增终身寿险 1.每年递增一次 ( )( ) ([ ] 1) TxIA E T v= + 1 0 ( 1)k t t x x tkk k v p dtµ +∞ + + = = +∑∫ 1 0 1 ( 1) k x t x t x tk kx k v l dt D µ +∞ + + + + = = +∑ ∫ 0 1 ( 1) x k kx k C D +∞ + = = +∑ = x x R D （3.3.23） 由（3.3.12）可得 ( )xIA ≈ ( )x i IAδ 。 （3.3.24） 2.每 1 m 年递增一次 略 3.连续递增 ( ) ( )TxI A E Tv= 0 t t x x ttv p dtµ +∞ += ∫ ( ) ( )lim ( )m mx m I A →+∞ = （3.3.26） ( )lim ( )m x m I A →+∞ = （3.3.27） ( )xI A = 2( )x x x i i iIA A Aδδ δ δ − − + （3.3.28） 其余略 例 3.3.1 某 30 岁的人向一家寿险公司购买了 30 年定期死亡保险，在死亡发 生的时刻 t 立即给付 0.06te ，假设被保险人死亡服从： 100xl x= − (0 100)x≤ ≤ ，且 利息力 0.05δ = 。求 30 岁签单时应缴纳的趸缴纯保费？ 解：设 30 岁的被保险人在30 T+ 岁死亡时所给付的保险金现值为 TZ ，则 0.06 0.06 0.05 0.01T T T T T TZ e v e e e − = ⋅ = ⋅ = 而T 的概率密度函数为 16 3030 30 30 1( ) 70 t T t t lf t p l µ ++ ′ = = − = 。 因此，所求趸缴纯保费为： 70 0.01 0.01 0 701 1 1( ) 070 70 0.01 t t TE Z e dt e= = ⋅∫ = 0.7 1 0.7 e − ≈1.448218。 例 3.3.3 已知 100t tδ = ， 100xl x= − （0 100x≤ ≤ ），计算 40( )IA 。 解： 1( )a t− = 0 exp( )t s dsδ− ∫ = 0 ex p ( ) 1 0 0 t s d s− ∫ = 2 exp( ) 2 00 t − 40 40t tp µ + = 100 40 1 .( ) 100 40 100 40 t t − − − − − − − = 1 60 ∴ 40( )IA = 1001 1 40 400 ( ( ) ( )x t tE Ta T ta t p dtµ − − − += ∫ = 2100 0 1 exp( ) 60 200 x t t dt − −∫ = 2 60 0 100 exp( ) | 60 200 t− − − = 185 (1 ) 3 e − − ≈ 5 3 。 例 3.3.5 某单位有年龄为 40 岁的职工 100 人，每人缴纳pi 元保费以产生一 个基金，若有人死亡将立即从基金中给付保险金 1000 元。已知 0.06µ = ， 0.02δ = 。 为了使基金能以 95%的概率保证今后足够给付，采用正态分布近似，则pi 至少应 为多少元？（已知正态分布 95%分位数是 1.645）。 解：设第 j 个人给付的现值为 jZ （ 1, 2, ,100j = ⋯ ），总给付现值为 Z ，显然 100 1 j j Z Z = =∑ ， 40 0.06 0.75 0.06 0.02 A = = + ， 2 40 0.06 0.6 0.06 0.02 2 A = = + × 因此 40( ) 1000jE Z A= =1000 0.75× =750 2 2 240 40var( ) 1000 ( ( ) )jZ A A= − =37500 从而 17 100 1 ( ) ( )j j E Z E Z = =∑ ≈75000 100 1 var( ) var( )j j Z Z = = ∑ =1936.49167 由题意知 (100 )P Zpi > =0.95 即 ( ) 100 ( ) var( ) var( ) Z E Z E ZP Z Z pi − − <     =0.95 因此 100 ( ) var( ) E Z Z pi − =1.645 ∴ ( )1 ( ) 1.645 var( )100 E Z Zpi = + ≈781.86(元)。 思考：假设参保人数扩大到 10000 人，结果又如何？