[工学]数字信号处理 研究生课程Chapter+

第五章时频分析5.1引言5.2短时傅里叶变换5.3小波变换5.4Wigner-Ville分布5.5Cohen类时频分布5.1引言引言解析信号瞬时频率不确定原理1、引言Fourier变换和反变换对信号或频谱的全局变换。对时变信号，由傅立叶变换求出的频率将不能反映出信号频率随时间变化的特性。2、解析信号对于实信号s(t)，它的Hilbert变换为：由此可得解析信号为：幅值和相位分别为：Hilbert变换器的传输函数为或者H(f)=-jsgn(f)式中Z(f)=S(f)+jH(f)S(f)=S(f)［1+jH(f)］得到上式表明,解析信号的频谱只分布在正频率范围，是由实信号频谱的正的部分乘以2构成的;负频率部分为0。3、瞬时频率瞬时频率：表征了信号在局部时间点上的瞬态频率特性，整个持续期上的瞬时频率反映了信号频率的时变规律。4、不确定原理对于能量有限信号，其时宽和带宽的乘积总能满足下面的不等式，即式中，Δt表示信号有效持续时间，Δf表示信号的有效带宽。对于窗函数，它的时间宽度和在频率域的宽度不能同时任意小。也就是说,频域分辨率和时域分辨率不能同时任意小，即不可能存在既是带限又是时限的信号波形。5.2短时傅里叶变换图2.1.3窗函数无限宽时STFT缺少时域定位功能注：见胡广书《现代信号处理教程》图2.1.3图2.1.4窗函数无限窄时STFT缺少频域定位功能注：见胡广书《现代信号处理教程》图2.1.4由于受不定原理的制约，窗函数的有效时宽和带宽不可能同时任意小，窗宽应该与信号的局域平稳长度相适应。对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。谱图：一般把短时傅里叶变换模的平方称为谱图，它是一种能量分布函数，不服从线性叠加原理，两个信号之和的谱图并不等于它们分别的谱图的和，还存在第三项即交叉项。5.3小波变换引言连续小波变换1、引言传统的傅里叶变换相比，小波变换是一个时间和尺度上的局域变换；加窗傅立叶变换是以固定的滑动窗对信号进行分析，随着窗函数的滑动，可以表征信号的局域频率特性。小波分析是利用多种“小波基函数”对“原始信号”进行分解，运用小波基，可以提取信号中的“指定时间”和“指定频率”的变化。因此小波变换被誉为“数学显微镜”。短时傅立叶变换在时频平面各处的分辨率都相同，可以用时频平面的相等网格表示。注：见张贤达《现代信号处理》图6.5.1小波基函数的包络随尺度参数的变化而变化，可以实现时频平面的多分辨率分析。注：见张贤达《现代信号处理》图6.5.2定义式的说明：（1）基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达式为它是在高斯包络下的负指数函数。（2）时移b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，即时间中心；（3）尺度因子a的作用是将基小波作伸缩变换，在不同的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。（4）在ψab前面所加的因子的作用是保证在不同的尺度因子下的小波函数的能量保持一致。设E=∫|ψ(t)|2dt作为基本小波的能量，则对基本小波进行移位和伸缩后得到的ψab(t)的能量为连续小波变换的频率域表达式在定义了连续小波变换后，对该表达式进行傅里叶变换,由Parseval定理如果Ψ(Ω)是幅频特性比较集中的带通函数，则小波变换便具有表征待分析信号S(Ω)频域上局部性质的能力。小波变换的特点小波变换的时频关系受不确定原理的制约，在时频平面上的分析窗是可调的，但分析窗的面积保持不变。采用不同的尺度a作处理时，各个Ψ(aΩ)的中心频率和带宽都不一样，但是它们的品质因数Q却是相同的，即“中心频率／带宽”为常数。当用较小的a对信号作高频分析时，实际上是用高频小波对信号作细致观察;当用较大的a对信号作低频分析时，实际上是用低频小波对信号作概貌观察。a取不同值时小波变换对信号分析的时－频区间注：见胡广书《现代信号处理教程》图9.2.2注：见张贤达《现代信号处理》图6.5.35.4Wigner-Ville分布(WVD)时频分布的一般理论WVD的定义引言线性时频分析方法（STFT,Gabor变换,WT）使用时间和频率的联合函数描述信号的频谱随时间的变化情况；非线性时频分析方法（时频分布）使用时间和频率的联合函数描述信号的能量密度随时间变化的情况。时频分布的定义二次叠加原理设则式中：和分别称为z1(t)和z2(t)的自时频分布;和分别称为z1(t)对z2(t)和z2(t)对z1(t)的互时频分布。这种互时谱形成了二次时频分布的交叉项。对于有p个分量的信号，二次叠加原理用下式表示：设,则共有p个自分量，p(p-1)/2个互分量，且交叉项随p的增加按二次函数增加。信号分量越多，交叉项就越严重。Wigner-Ville分布的定义将kz(t,τ)称为瞬时自相关函数，那么WVD就是信号瞬时自相关函数的傅里叶变换。z(t)在频率域的WVD分布定义如下:对于两个连续时间信号x(t)与y(t),互WVD定义为同样,它们在频率域的互WVD定义如下:5.5Cohen类时频分布模糊函数Cohen类时频分布1、模糊函数对瞬时相关函数kz(t,τ)=z(t+τ/2)z*(t-τ/2)关于时间t作傅里叶反变换，则得到模糊函数的时域定义为模糊函数在频率域的定义是模糊函数和WVD之间的关系：WVD与模糊函数的二维Fourier变换等价，只是相差一个常数因子。WVD是能量化的时频表示，存在时间边缘特性Pz(t)和频率边缘特性Pz(w)，重写如下:信号的总能量为模糊函数是相关化的时频表示，将模糊函数的定义重写如下:频偏边缘特性时延边缘特性最大值始终在平面的原点，且该最大值即是信号的能量，同一信号AF及WD互项与自项的位置示意图WVD中交叉项的抑制：对信号求模糊函数，由于模糊函数的自项始终在平面的原点处，而交叉项远离原点，故可以设计一个二维低通滤波器，来抑制模糊函数中的交叉项；对滤波后的模糊函数作二维傅立叶变换，得到信号的维格纳变换，此时的WVD即是抑制了交叉项的新WVD。2、Cohen类时频分布Cohen将时变的自相关函数定义为当核函数φ(τ,v)=1时，Cohen类时频分布将转换成WVD。由于Wigner分布的核函数是全通函数，它对AF的互项无抑制作用，因此，其WD也就存在着较大的交叉项。消除干扰项的方法：应该选择平面上的二维低通函数来作为核函数。