20121204 等差数列与等比数列类比研究

等差数列与等比数列类比研究上海市川沙中学龚瑞华【教学目的】1、借助类比思想，比较等差数列与等比数列的定义及其性质，了解其内在的对应关系。2、通过对等差数列和等比数列的进一步分析，掌握类比结论的对应关系，并能区分该结论是否正确。3、通过进一步的深入研究及应用，理解类比的外在表现与本质关联。【教学重点】借助类比思想，通过等差数列与等比数列的定义及性质比较，了解其内在的对应关系。【教学难点】通过进一步的研究分析，理解等差数列和等比数列类比的内在关联。【教学方法】前期学生研究性学习成果交流，边交流教师边补充。【教学过程】前期学生研究性学习成果：一、等差数列与等比数列定义及基本性质等差数列等比数列定义从第二项起后项减前项的差为定值的数列，(定值)从第二项起后项比前项的商为定值的数列，(定值)中项若a、b、c成等差数列，则若a、b、c成等比数列，则通项若是等差数列，则若是等比数列，则任意两项之间的关系若是等差数列，若是等比数列，下标和相等的两项之间的关系若是等差数列，且m+n=s+t，则若是等比数列，且m+n=s+t，则小结：等差数列与等比数列定义及基本性质的类比关系：等差数列中“+、-、、、d”类比到等比数列中“、、乘方、开方、q”等。二、孙祎莉同学交流她的探索过程设为等比数列（），则为等差数列类比探索等比数列等差数列等比等差等差数列等比数列乘加除减乘方乘开方除10小结：1、若数列为等差数列，则为等比数列；若数列为等比数列，则为等差数列。2、等差数列到等比数列的类比是在项数满足相同的条件下，研究项之间关系的过程；（1）等差数列中“+、-、、、d、0”类比到等比数列中“、、乘方、开方、q、1”等。（2）“类比”的对象：“项”之间类比，非“项数”之间类比。（3）类比中的一些原则：如类比为，非等。问题探索与解答：问题1：若数列{an}是等差数列，则有数列{bn}，满足也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0，则数列{dn}满足dn=也是等比数列。问题2：在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,)成立；类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式成立。思考：在等差数列{an}中，若ak=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a(2k-1)-n(n<2k-1,)成立；类比上述性质，相应地：在等比数列{bn}中，若bs=1，则有等式成立。三、拓展思维等差数列的前n项和与等比数列的前n项积：若是等差数列，则前n项和若是等比数列，则前n项积（证明该结论）问题探索与解答：问题1：若数列为等差数列，记，则为数列？呢？以此类推，你可以得到一个怎样的结论？进一步，若首项为，你可以构造一个怎样的等差数列？类似的，在等比数列中，记=，则可得到哪些结论？问题2：在首项不为零的等差数列{an}中，前n项和记为Sn，且满足，则有结论；类似的，在各项均为正数且首项不为1的等比数列{bn}中，你能得出什么结论？四、课堂小结1、等差数列到等比数列的类比是在项数满足相同的条件下，研究项之间关系的过程；通常将“加、减、乘、除、d、0”依次变换成“乘、除、乘方、开方、q、1”的运算，其中下标间的运算无需变化（即类比的对象为“项”，非“项数”）；2、类比推理是一种由特殊到一般的合情推理，所以推理的内容不一定正确，利用类比得到的性质结论应该证明其正确性。3、等差数列与等比数列定义、性质之间有很多的联系，要善于利用这些关系研究数列，解决问题。