全国初中数学优秀课一等奖：圆周角--教学设计（方碧霞）

人教版九年级数学第二十四章圆周角　　　　　　　湖南师大附中博才实验中学　方碧霞课题：圆周角湖南师大附中博才实验中学方碧霞一、内容和内容解析《圆周角》是人教版九年级第二十四章第一节第四次课的内容.从知识结构来看，这部分内容是在学生学习了圆的基本概念和圆心角概念及性质的基础上对圆周角定理的探索，也是后面研究圆与其它平面图形的桥梁和纽带；就思想而言，本节课引导学生经历猜想、探索、推理验证的过程，渗透“转化与化归”思想、“由特殊到一般”思想、“分类讨论”思想.基于上述分析，确定本节教学重点是：直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法.二、目标和目标解析1．理解圆周角的定义，通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角；2．掌握圆周角定理及其推论，经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力；3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法；4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心.三、教学问题诊断分析教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法的渗透.学生学习中可能出现的问题：（1）对转化与化归、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（2）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的写等都将是学生学习过程中的弱点.基于上述分析，确定本节的教学难点是：通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解转化与化归、分类讨论证明数学命题的思想和方法.四、教学支持条件分析教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性.五、教学过程设计（一）复习回顾，引入新知1．圆周角定义的引入师：上节课我们学习了圆心角，哪位同学来说一说：什么是圆心角？生：顶点在圆心的角叫圆心角.师：今天我们学习圆中的另一类角“圆周角”，顶点在圆周上，角的两边与圆周相交的角叫做圆周角，如图中的∠ABC.教师引入课题：“圆周角”.设计意图：渗透类比的思想，使学生体会数学概念规定的一致性.2．圆周角定义的辨析师：请大家判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由.师：由此可知一个角要成为圆周角需要满足哪些条件呢？生：第一，角的顶点在圆周上；第二，角的两边与圆周相交.设计意图：通过图形的辨析让学生更容易理解圆周角概念的本质.（二）合作交流，探究新知1．探究同弧所对的圆周角的关系师：通过前面的学习我们知道，同弧或等弧所对的圆心角相等。那么，同弧或等弧所对的圆周角之间又有什么关系呢？如何证明？要求学生在课前准备的圆上作出同弧或等弧所对的圆周角，并探究它们之间的关系.学生都能猜想到：同弧所对的圆周角相等，并能得出两种验证的方法：①度量法：用量角器量出这两个圆周角的大小.②折纸法：分别在两个等圆上画了两段等弧，作出这两段等弧的圆周角，再把圆周角折出来，发现这两个角能完全重合.在肯定学生的方法之后，老师借助几何画板进行展示，使结论更具一般性，再引导学生利用严格的推理证明此结论.设计意图:放手让学生带着“解决问题”的目标去主动操作，使学生积极建构对新知识的理解，同时动手实践提高了学生学习的效率。2．探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系（1）通过提问：“当弧不变时，还有哪些量也不会改变？”引导学生先探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系.（2）学生猜想出结论后，老师用几何画板进行演示，先利用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB的大小，接着利用计算机功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2.再改变弧AB的长度时，让学生感受这两个角的大小都在变，但比值不变.（3）通过几何画板的动态演示，让学生发现圆周角与圆心角的顶点O三种不同的位置关系，并找到证明方法.∵OB=OC∴∠B=∠C又∵∠AOB是△OBC的一个外角∴∠AOB=∠B+∠C∴∠AOB=2∠ACB（4）后面两种情形的证明引导学生作一条直径将其转化为第一种特殊情形.通过这三种情形的证明，我们就能得出刚刚提出的第二个猜想是正确的，这就是圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．再加上“同弧或等弧所对的圆心角相等”，也能得出圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．（5）老师给学生作如下总结：下面我们回顾一下圆周角性质的探究过程，主要是给大家总结运用到的几种数学思想：①两次利用了转化与化归的思想，要证明“同弧所对的圆周角相等”，直接证明遇到了困难，而我们已经学了“同弧所对的圆心角相等”，所以我们把遇到的这个新问题转化为已学知识，先探究了“同弧所对的圆周角与圆心角的关系”；在证明圆周角定理时是将后面两种一般情形转化为第一种特殊情形，都是通过作图1中出现的直径将其转化为图1的情形使问题得到解决．②在这三种情况的证明中，也体现了由特殊到一般的思想以及分类讨论的思想．希望大家在以后的学习中能好好体会这些思想方法并加以运用．设计意图:先让学生直观地感受到同弧所对的圆周角相等，弧变，圆周角的度数才会发生变化；在研究圆周角度数与圆心角的关系时，也是先让学生感知他们的关系，再引导学生分情况证明，几何画板的直观性很好地帮助学生准确分类并找到了证明方法。3．探究圆周角定理的特殊情形问题1：半圆或直径所对的圆周角是多少度？问题2：90°的圆周角所对的弦是什么？问题3：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？设计意图:通过3个问题层层深入，考查学生对定理的理解和应用．问题（1）（2）是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论，问题（3）是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．（三）联系实际，活用新知师：圆周角定理在我们的生活中也有很大的应用价值，体育节马上到了，今年学校新增了一个项目——足球联赛，下面我们一起来看一个有关足球的问题：如图，点A、B、C、D在同一个圆周上，点E在圆外，点F在圆内，当球员在B、C、E、F四处射门时，在草坪所在的平面上，哪个位置射门角度最大？你能将这四个点射门的角度大小排个顺序吗？为什么？引导学生将其转化为一个数学问题，并通过添加辅助线构造同弧所对的圆周角进行证明．设计意图：足球中的数学激发了学生的兴趣，学生不但很好地巩固了所学知识，还让数学学习成为了他们感受快乐、享受成功的活动.（四）课堂练习，巩固新知1.如图，A、B、C是圆上的点，且∠C=70°，则∠AOB=，∠OAB=．第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°，则∠D=．3.如图，∠A=50°，BD是⊙O的直径，则∠DBC等于（　　）A.70°B.60°C.40°D.30°4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30°，AB＝2，求⊙O的半径．设计意图：通过这4道题的练习，让学生体会在解决与圆有关的问题时，首先要牢牢抓住圆中出现的弧，找到同弧所对的圆周角或圆心角，再利用它们之间的关系解决问题．（五）小结拓展，回味新知1．今天，你学到了什么？2．今天，你发现了什么？教师将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。要求学生在组内交流后派代表发言。设计意图：通过这个环节，提高了学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，积累数学活动，感受自己的成长与进步，增强自信。六、目标检测设计布置作业，巩固新知1.教材88页第2、3题，教材89页第4、5题；2．自能拓展作业：已知：△ABC是⊙O的内接正三角形，P为弧BC上一点（与点B、C不重合），（1）如果点P是弧BC的中点，求证：PB+PC=PA；（2）如果点P在弧BC上移动时，（1）的结论还成立吗？请说明理由．设计意图：考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思。作业分两种，教材中的作业是对本节课的基本要求，目的是巩固与反馈；自能拓展作业是对为了给学生留有课后思维发散的空间，同时调动他们学习的积极性，开阔他们的视野。PAGE5