数学期望和方差
练习四
1,设离散型随机变量X具有概率分布律:
X 0 1 2 3 ,2 ,1
p 0,1 0,2 0,2 0,3 0,1 0,1 k
2试求E(X)~ E(X,5)~ E(|X|),
2. 设随机变量X的分布律为
X -2 0 2
p 0.4 0.3 0.3 k
22求E(X),E(X),E(3X,5).
3. 设随机变量(X,Y)的分布律为
X 1 2 3 Y
-1 0.2 0.1 0.0
0 0.1 0.0 0.3
1 0.1 0.1 0.1 (1)求E(X),E(Y).
(2)设Z=Y/X,求E(Z).
2Z,(X,Y)(3)设,求E(Z).
4.一工厂生产的某种设备的寿命X(以年计)服从指数分布,概率密度为
1,,x/4e,x0,,,f(x),4,
,0,x0.,,
工厂规定,出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换(若工厂售出一台设备赢利100元,调换一台设备厂方需花费300元(试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望(
5 .设在某一规定的时间间隔里(某电气设备用于最大负荷的时间X(以min计)是一个随机变量,其概率密度为
1,,0,,1500,xx2,1500,,1,(,3000),1500,,3000,xx,2 f(x)= 求E(X). 1500,
,0,其他.
,,
,x,,e,x0,,f(x)6. 设随机变量X的概率密度为 ,,0,x0.,
,2x求(i)Y=2X;(ii)的数学期望。 Y,e
7. 设随机变量(X,Y)的概率密度为
2,12,0,,,1,yyx(,),fxy, 0,其他.,
22E(X),E(Y),E(XY),E(X,Y).求
25X8. 设电压(以V计)X~N(0,9),将电压施加于一检波器其输出电压为Y,,
求输出电压Y的均值(
9. 设随机变量的概率密度分别为 X,X12
,2x,4x,,,,2e,x0,4e,x0,
,,f(x)f(x),, 12,,0,x0,0,x0.,,
2(1)求 E(X,X),E(2X,3X).1212
(2)又设相互独立,求 X,XE(XX).1212
10. 将n只球(1~n号)随机地放进n个盒子(1~n号)中去,一个盒子装有一
只球。若一只球装入与球同号的盒子中,称为一个配对。记X为总的配对数,
求E(X).
11. 设长方形的高(以m计)X~U(0,2),已知长方形的周长(以m计)为20.求
长方形面积A的数学期望和方差。
X,X,X,X12.(1)设随机变量相互独立,且有 1234
1E(X),i,D(X),5,i,i,1,2,3,4.设Y,2X,X,3X,X.求E(Y),D(Y). ii12342(2)设随机变量X,Y相互独立,且
22的分布,并求概率X~N(720,30),Y~N(640,25),求Z,2X,Y,Z,X,Y12
P{X>Y},P{X+Y>1400}.
13. 设随机变量(X,Y)的分布律为
Y -1 0 1 X
-1 1/8 1/8 1/8
0 1/8 0 1/8
1 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的。 14. 设随机变量(X,Y)具有概率密度
1,|y|,x,0,x,1,,
f(x,y),, 0,其他.,
求E(X), E(Y), Cov(X,Y).
15. 设随机变量(X,Y)具有概率密度
1,(x,y),0,x,2,0,y,2,,f(x,y),8 ,
,0,其他.,
求E(X),E(Y),Cov(X,Y),,D(X+Y). ,XY
16,设已知三个随机变量X~ Y~ Z中~ E(X),1~ E(Y),2~ E(Z),3~ D(X),9~ D(Y),4~
111,,,D(Z),1~ ~ ~ , ,,,,XYXZYZ342
(1)求E(X,Y,Z), (2)D(X,Y,Z), (3)D(X,2Y,3Z), 17,设随机变量X具有概率密度
,0x,0,, f(x),x0,x,1,,x,Aex,1,
(1)求常数A, (2)求X的数学期望,
18,设随机变量X的概率密度为
,x,,xex0,f(x), ,0x,0,
,3X求E(3X)~ E(,2X,5)~ E(e),
19,求第1题中X的方差D(X), 1
20,设随机变量(X~ Y)具有联合概率密度
-1 1 1,,|x|,|y|,1f(x,y),~ 2,-1 ,0其他,
试求(1)X的边缘密度, (2) Y的边缘密度, (3)E(X)~ D(X), (4)E(Y)~ D(Y), (5)X与Y是
否不相关,(6)X与Y是否相互独立,
参考解答
1.解 0.4~ 7.2~ 1.2.
,2,3,6. 16. 解 (1)E(X,Y,Z),E(X),E(Y),E(Z),1
(2) D(X,Y,Z),D(X),D(Y),D(Z)
,2,D(X)D(Y),2,D(X)D(Z),2,D(Y)D(Z) XYXZYZ
111 . ,9,4,1,2,,9,4,2,(,),9,1,2,,4,1,19234
(3)D(X,2Y,3Z),D(X),4D(Y),9D(Z)
,4D(X)D(Y),6D(X)D(Z),12D(Y)D(Z),,, XYXZYZ
111 ,9,4,4,9,1,4,,9,4,6,(,),9,1,12,,4,1,10234
,,1,,1e,x,11()17. 解(1)由~ 得, A,,fxdx,xdx,Aedx,,Ae,,,,,0122
1,,,,4e2x,()() (2)解 EX,xfxdx,xdx,xedx,,,,01,,23
,,,,2x,E(X),xf(x)dx,xedx,2 18. 解 因为~ 所以 ,,0,,
E(3X),3E(X),3,2,6~
E(,2X,5),,2E(X),5,,2,2,5,1.
,,,,,,13334Xxxxx,,,,, ()()Ee,efxdx,e,xedx,xedx,,,,00,,16
2222222 19,解E(X),(,2),0.1,(,1),0.2,0,0.2,1,0.3,2,0.1,3,0.1
,2.2~ 22 D(X),E(X),[E(X)],2.04.
1,,,|x|,|y|,1f(x,y), 20. 解 , 2,
,0,其它,
(1)当|x|,1时~ f(x~ y),0~ 所以f(x),0, X
,1,|x|1 当,1,x,1时~ ~ ()(,)fx,fxydy,dyX,,,,,(1,|x|)2
1,|x|,当|x|,1,所以, f(x),,X0,其它,
1,|y|,当|y|,1, (2)同理得, f(y),,Y0,其它,
,1E(X),xf(x)dx,x(1,|x|)dx,0 (3)~ X,,,,,1
,1122 , ()[()]()(1||)DX,x,EXfxdx,x,xdx,X,,,,,16
1 (4)由对称性知E(Y),0~ . D(Y),6
,,,x11||1E(XY),xyf(x,y)dxdy (5) ~ ,[xydy]dx,0,,,,,,,,,,,x1(1||)2
所以cov(X~ Y),0~ X和Y不相关.
(6)因为f(x~ y),f(x),f(y)~ 所以X与Y不相互独立, XY