高中数学数列2.5.1等比数列的前n项和课件新人教A版必修

【课标】　1.掌握等比数列的前n项和公式，了解推导等比数列前n项和公式的过程与.2.能够运用等比数列的前n项和公式进行有关的计算.3.掌握等比数列的前n项和的性质及其应用．自主学习　基础认识　|新知预习|1．等比数列的前n项和公式Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))2．等比数列前n项和的性质(1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构成等比数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)Sm＋n＝Sm＋qmSn.(q为数列{an}的公比)(3)若{an}是项数为偶数，公比为q的等比数列，则eq\f(S偶,S奇)＝q.|化解疑难|1．等比数列前n项和公式推导的方法是什么？教材中用错位相减法推导出等比数列的前n项和公式．错位相减法是数列求和的一种基本方法．它适用于一个等差数列{an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和．2．公式的使用情形(1)当q＝1时，等比数列的前n项和不能用以上几种方法推导，因为此时等比数列是常数列，所以Sn＝na1.(2)当q≠1时，等比数列前n项和Sn有两个公式．当已知a1，q与n时用eq\f(a11－qn,1－q)较方便；当已知a1，an与q时用eq\f(a1－anq,1－q)较好．(3)公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)还可写成Sn＝eq\f(a1qn－1,q－1).前者更适用于当q<1时，而当q>1时用后者更简便．|自我尝试|1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)来求．(　　)(2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　)×√2．等比数列1,2,4,8，…，前10项的和为(　　)A．210　　　　　　　　B．210－1C．29D．210＋1解析：等比数列的首项a1＝1，公比q＝2，所以S10＝eq\f(1－210,1－2)＝210－1.：B3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}的前7项的和为(　　)A．63B．64C．127D．128解析：设公比为q(q>0)，由a5＝a1q4及设知16＝q4.所以q＝2，所以S7＝eq\f(a11－q7,1－q)＝eq\f(1－27,1－2)＝127.答案：C4．在等比数列{an}中，a3＝eq\f(3,2)，其前三项的和S3＝eq\f(9,2)，则数列{an}的公比q＝(　　)A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)或1D.eq\f(1,2)或1解析：由题意，可得a1q2＝eq\f(3,2)，①a1＋a1q＋a1q2＝eq\f(9,2)，②由②÷①，得eq\f(1＋q＋q2,q2)＝3，解得q＝－eq\f(1,2)或1.答案：C5．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.解析：由S6＝4S3，所以eq\f(a11－q6,1－q)＝4eq\f(a11－q3,1－q)，所以q3＝3(q3＝1不合题意，舍去)，所以a4＝a1·q3＝1×3＝3.答案：3课堂探究　互动讲练类型一等比数列前n项和的基本运算[例1]　在等比数列{an}中，(1)S2＝30，S3＝155，求Sn；(2)S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，求an；(3)若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n.【思路点拨】　(1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组求解．【解析】　(1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30,a11＋q＋q2＝155))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180,q＝－\f(5,6)))，从而Sn＝eq\f(1,4)×5n＋1－eq\f(5,4)或Sn＝eq\f(1080×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)))n)),11).(2)∵S6≠2S3，∴q≠1，又S3＝eq\f(7,2)，S6＝eq\f(63,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q3,1－q)＝\f(7,2)　　①,\f(a11－q6,1－q)＝\f(63,2)　　②))②÷①得1＋q3＝9，∴q＝2.将q＝2代入①中得a1＝eq\f(1,2)，∴an＝a1qn－1＝eq\f(1,2)·2n－1＝2n－2，即an＝2n－2.(3)由Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，an＝a1·qn－1以及已知条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(189＝\f(a11－2n,1－2)，,96＝a1·2n－1，))∴a1·2n＝192，即2n＝eq\f(192,a1)，∴189＝a1(2n－1)＝a1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(192,a1)－1))，∴a1＝3,2n－1＝eq\f(96,3)＝32，∴n＝6.方法归纳,(1)解答关于等比数列的基本运算问题，通常是利用a1，an，q，n，Sn这五个基本量的关系列方程组求解，而在条件与结论间联系不很明显时，均可用a1与q列方程组求解．(2)运用等比数列的前n项和公式要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程组时，通常用两式相除约分的方法进行消元．跟踪训练1　(济南高二期末)已知等比数列{an}中，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求其第4项及前5项和．解析：设公比为q，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1q2＝10，a1q3＋a1q5＝\f(5,4)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q2＝10，①a1q31＋q2＝\f(5,4)，②))②÷①得q3＝eq\f(1,8)，即q＝eq\f(1,2)，将q＝eq\f(1,2)代入①得a1＝8，所以a4＝a1q3＝8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3＝1，S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(8×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5)),1－\f(1,2))＝eq\f(31,2).类型二等比数列前n项和的性质[例2]　(1)已知等比数列{an}中，若前10项的和是10，前20项的和是30，则前30项的和是________；(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.70　2【解析】　(1)法一：因为数列{an}是等比数列，所以有S10，S20－S10，S30－S20成等比数列，所以(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(30－10)2＝10×(S30－30)，即S30－30＝40，即S30＝70.法二：由性质Sm＋n＝Sn＋qnSm，得S20＝S10＋q10S10，即30＝10＋10q10，所以q10＝2.所以S30＝S20＋q20S10＝30＋40＝70.(2)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S奇＝－80，S偶＝－160.))所以q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(－160,－80)＝2.方法归纳等比数列前n项和性质的应用(1)利用等比数列前n项和的性质可以简化运算，优化解题过程．(2)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．跟踪训练2　(1)若等比数列{an}的公比为eq\f(1,3)，且a1＋a3＋…＋a99＝60，则{an}的前100项和为________；(2)一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求数列的通项公式．80解析：(1)令X＝a1＋a3＋…＋a99＝60，Y＝a2＋a4＋…＋a100，则S100＝X＋Y，由等比数列前n项和性质知：eq\f(Y,X)＝q＝eq\f(1,3)，所以Y＝20，即S100＝X＋Y＝80.故填80.(2)设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．因为数列{an}的项数为偶数，所以有q＝eq\f(S偶,S奇)＝eq\f(1,3).又因为a1·a1q·a1q2＝64，所以aeq\o\al(3,1)·q3＝64，即a1＝12，故所求通项公式为an＝12×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1.类型三等比数列前n项和的实际应用问题[例3]　某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年换掉x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考： 1.19≈2.4 1.00499≈1.04 1.110≈2.6 1.004910≈1.05 1.111≈2.9 1.004911≈1.06【解析】　(1)由题意知10年后学生的人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b.1年后的设备数为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备数为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－x(1＋1.1)，…，10年后的设备数为：a×1.110－x(1＋1.1＋1.12＋…＋1.19)≈2.6a－x×eq\f(1×1－1.110,1－1.1)≈2.6a－16x，由题设，得eq\f(2.6a－16x,1.05b)＝2·eq\f(a,b)，解得x＝eq\f(a,32).即每年应更换的旧设备为eq\f(a,32)套．(2)全部更换旧设备共需eq\f(1,2)a÷eq\f(a,32)＝16(年)．即按此速度共需16年能更换所有需要更换的旧设备.方法归纳,解答数列应用题的步骤框图表示如下跟踪训练3　一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125m吗？解析：用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125.所以这个热气球上升的高度不能超过125m.|素养提升|1．等比数列前n项和公式的两点认识(1)当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1.(2)q≠1时，等比数列前n项和Sn有两个求解公式．当已知a1，q与n时，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)(q≠1)较方便；当已知a1，q与an时，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)(q≠1)较方便．2．等比数列中用到的数学思想(1)分类讨论的思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；(2)数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝eq\f(a1,q)·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn＝eq\f(a1,q－1)·(qn－1)(q≠1)．设A＝eq\f(a1,q－1)，则Sn＝A(qn－1)也与指数函数相联系．|巩固提升|1．在等比数列{an}中，a1＝8，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,2)，则Sn等于(　　)A．15　　　　　　　　　B．8C.eq\f(31,2)D．31解析：Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)＝eq\f(8－\f(1,2)×\f(1,2),1－\f(1,2))＝eq\f(31,2).答案：C2．(甘肃白银靖远县校级三模)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＋3S2＝0，则公比q＝(　　)A．－2B．2C．3D．－3解析：∵S3＋3S2＝0，∴eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(3a11－q2,1－q)＝0，即(1－q)(q2＋4q＋4)＝0.解得q＝－2或q＝1(舍去)．答案：A3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(S3,S6)＝eq\f(1,3)，则eq\f(S6,S9)＝________.解析：由eq\f(S3,S6)＝eq\f(S3,S31＋q3)＝eq\f(1,1＋q3)＝eq\f(1,3)得q3＝2，所以eq\f(S6,S9)＝eq\f(S31＋q3,S31＋q3＋q6)＝eq\f(1＋q3,1＋q3＋q6)＝eq\f(3,7).答案：eq\f(3,7)