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对数函数与指数函数的导数一[doc文档] 对数函数与指数函数的导数一 课 : 3(5对数函数与指数函数的导数(1) 教学目的: 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导 新疆王新敞奎屯公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点:应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数( 教学难点:对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 新疆王新敞奎屯授课类型:新授课 新疆王新敞奎屯课时安排:1课时 新疆王新敞奎屯教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式: nn,1新疆王新敞奎屯C',0(sinx)',cosx(cosx)',,sinx(x)',nx;;; '''[u(x),v(x)],u(x),v(x)2.法则1 ( 新疆王新敞,,奎屯[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,，[()]'()CuxCux,法则2 , 'uuvuv'',,,新疆王新敞奎屯法则3 ,,(0)v,,2vv,, ,,3.复合函数的导数:设函数u=(x)在点x处有导数u′=′(x)，函数y=f(u)在点x的x ,y',y',u'对应点u处有导数y′=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或uxux ,,f′( (x))=f′(u) ′(x). x 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导 新疆王新敞奎屯数 新疆王新敞奎屯5.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代( 二、讲解新课: 1新疆王新敞奎屯(lnx)',?对数函数的导数(1): x y,f(x),lnx证明:? x，,x,x,y,ln(x，,x),lnx,ln? ， ,ln(1，)xx xx1x,x,y1,x1,,x? = ,ln(1，)ln(1，),ln(1，)xx,x,xxx,xx xxyx11x,11,,x,x,y,lne,? (',lim,ln[lim(1)]limln(1，),，,x,00x0,,,x,xxxxxxx, 1即 ( (lnx)',x 11xx新疆王新敞奎屯附:重要极限或 lim(1，),elim(1，x),e,,,0xxx 1新疆王新敞奎屯2.对数函数的导数(2): (logx)',logeaax 证明:根据对数的换底公式 lnx111 ( (logx)',()',,,logeaalnalnaxx 根据对数函数的求导公式以及函数的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，我们可 以求一些简单函数的导数( 三、讲解范例: 2y,ln(2x，3x，1)例1求的导数( 14x，322解: y′=,ln(2x+3x+1),′= (2x+3x+1)′=222x，3x，12x，3x，1 2y,lg1,x例2求的导数( 1221,x1,x解法一:y′=(lg)′=lge?()′ 21,x 1,1lgelge1222=??(1,x)(1,x)′=??(,2x)22221,x1,x21,x ,xlgexlge新疆王新敞奎屯,= 221,xx,1 新疆王新敞奎屯分析:对数函数，可以先把它化简，然后根据求导法则进行求导 1221解法二:? y=lglg(1,x) ,x, 2 11122?y′=,lg(1,x),′=lge(1,x)′ 2221,x xlgelge新疆王新敞奎屯=?(,2x)= 22x,12(1,x) :真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导( 2y,lguu,vv,1,x实际上，解法1中，，，取了两个中间变量，属于多重复合(而 12u,1,x解法2中，，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错(y,lgu2 2例3求函数y=ln(,x)的导数. x，1 分析:由复合函数求导法则:y′=y′?u′对原函数由外向内逐个拆成几个简单的基本xux 初等函数. 1,111222,,解: (1)y,,x，,x,，,,[(1)21)xx222，,xx1x，1,x 21x111xx,， ,,(1),,,,22222xxx，,，11xxxx，,，，111 ()=ln(ln)，那么′()|= .(B) 例4 若fxxfxx=e 1A.e B. C.1 D.以上都不对 e 11新疆王新敞奎屯解:f′(x)=,ln(lnx),′=?(lnx)′= lnxxlnx 11新疆王新敞奎屯f′(x)|== x=ee,lnee 例5 y=ln,ln(lnx),的导数是 (C) 1111A. B. C. D. xln(lnx)lnxln(lnx)xlnxln(lnx)ln(lnx) 111解:y′=,ln(lnx),′=? (lnx)′ ln(lnx)ln(lnx)lnx 1111=??= xln(lnx)lnxx,lnxln(lnx) 所以用复合函数的求导法则时，要由外向内逐层求导，直到不能求导为止. 例6求y=ln|x|的导数. 1解:当x,0时，y=lnx. y′=(lnx)′=; x 11当x,0时，y=ln(,x)，y′=,ln(,x),′= (,1)= ， ,xx 1?y′= x 1错误方法:y′=(ln|x|)′=，|x|可以看成ln|x|的中间变量，对|x|还要求导.所以 |x| 以后遇到要求含有绝对值的函数的导数时，首先要把绝对值去掉，分情况讨论. 2例7求y=log的导数. 1，xa 122解:y′=(log)′=loge?()′ a1，xa1，x21，x 1,logexloge12aa2新疆王新敞奎屯 ,,(1，x),2x,2221，x1，x n(lnx)x例8(仅教师参考)求y=的导数. 的幂函数.这样用以前学过的幂函数的求导公式就行不分析:这类函数是指数上也是含有x v(x)通了. 以前指数是常数的幂函数.像形如(())的函数的求导，它的方法可以是两边取自然ux 对数，然后再对x求导. n(lnx)x解:y=两边取自然对数. n(lnx)nn+1xlny=ln=(lnx)?lnx=(lnx). nx(ln)1n两边对x求导， y′=(n+1)(lnx)?(lnx)′=(n+1) xy nnnnnxnx(，1)(ln)(，1)(ln)(lnx)(lnx),1nxx?y′=?y=?=(n+1)(lnx)?. xx 四、课堂练习: 求下列函数的导数. 1新疆王新敞奎屯1.y=xlnx解:y′=(xlnx)′=x′lnx+x(lnx)′=lnx+x?=lnx+1 x 11111,2,1新疆王新敞奎屯2.y=ln解:y′=(ln)′= ()′=x?(,1)?x=,x=,. 1xxxx x 2xlogeloge222aa3.y=log(x,2). 解:y′=,log(x,2),′= (x,2)′=.aa22x,2x,2 lgelge新疆王新敞奎屯4.y=lg(sinx)解:y′=,lg(sinx),′= (sinx)′=cosx=cotxlge. sinxsinx 1,x5.y=ln. 1,1112,1,x解:y′=(ln)′,(1,x),(1,x)(,1) 21,x1,x 11 ,,, 2(1,x)2(x,1) 26.y=lnx，1 122,x，1解:y′=(ln)′ ,(x，1)21x， 1,x1122. 2x,,,(x，1),22x，12x，1 xlnx7.y=,ln(x+1). x，1 xlnx解:y′=()′,,ln(x+1),′ x，1 1,(ln)(1)ln(1)xxxxxx，,，,，1(ln1)(1)ln1xxxx，，,x,, ,,22(1)1xx，，(1)1xx，， xxxxxxxlnln1ln1，，，,,,lnx ,,22(1)x，(1)x， 222xaxxa，，22xa8.y=. ，，,ln a22 222xax，x，a22,,解:y′= ()(ln)x，a， 22a 12,111xaa2222222, ,，，,，,，,,，，xaxaxxxa()2()222222a，，xxa 122,11xa22222,，，，，，,xaxax[1()2]222222，，，22()xaxxa 221xax22,，，，,，xa(1)22222222()xaxxaxa，，，， 222222222xaxaxax，，，，2xaa，，22新疆王新敞奎屯 ,，,,，xa2222222222()xaxxaxa，，，，2xa， 五、小结 :?要记住并用熟对数函数的两个求导公式;?遇到真数中含有乘法、除法、乘方、 开方这些运算的，可以先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，以使运算 新疆王新敞奎屯较简便 六、课后作业:求下列函数的导数: 21，x2y,log(x，1，x)?; ?; y,ln221,x sin2x2y,lnsin(e,x)?y,ln; ?( x ，，logeloge12222x,1，(1，)'解:?y',(x，1，x)',,222x，1，x21，xx，1，x，， ，，logelogex221,， ; ,,,222x1x1x，，，1，x，， 122? y,[ln(1，x),ln(1,x)]2 22，，12x2x2x,1(1x)'(1x)'，,，，,,,; y',,,,42222,,1,x21x1x2，,1x1x，,，，，， 1xsin2xx2xcos2x,sin2x,2cot2x,?; y',()',,2xsin2xxsin2xx 2[sin(e,x)]'2sin(e,x)cos(e,x)(,1)新疆王新敞奎屯? y',,,,2cot(e,x)22sin(e,x)sin(e,x) 新疆王新敞奎屯七、板书设计(略) 新疆王新敞奎屯八、课后记: