浙大范柏乃;《公共管理研究与定量分析方法》第12章 相关分析

第十二章 相关分析 自然界中的许多现象之间存在着相互依赖、相互制约的关系，这些关系表现在量上主要有两种类型：一类是变量之间存在着确定性的关系，即函数关系。例如，已知圆的半径 INCLUDEPICTURE "http://media.open.edu.cn/media_file/rm/ip2/2003_08_26/yygltj10/25/htm/zsjj25.files/image008.gif" \* MERGEFORMATINET ，则圆的面积可以用公式 来计算，这里 与 之间有着确定的关系。另一类为相关关系，在这种关系中，变量之间存在着不确定、不严格的依存关系，对于变量的某个数值，可以有另一变量的若干数值与之相对应，这若干个数值围绕着它们的平均数呈现出有规律的波动。身高与体重、血压与年龄、商品的销售量与价格、利用外资与国内生产总值、收入与支出、进口和出口、产品质量与用户满意度等变量之间存在着密切关系，但并不存在着确定性的关系，这些变量之间的关系称为相关关系。对于相关关系，虽然不能找出变量之间精确的函数关系，但是，通过大量的观测数据，可以发现它们之间存在着统计规律性。 利用双变量数据资料(bivariate data)，通常可以进行相关分析。所谓相关是指两变项(X、Y）相互之间发生关联，因此，了解两变量之间的相关关系，通常有两种方式，一种是绘制数据散布图，另一种是计算相关系数（亦即表示相关程度强弱、相关方向异同的数值）。相关分析即试图利用相关系数，去衡量两变量之间的关系。不同的相关分析对变量性质有不同的要求，表12-1给出了两变量的性质及其适用的相关分析。 表12-1：两变量的性质及其适用的相关分析 变量性质 分类变量 顺序变量 等距变量、等比变量 分类变量 列联相关 Φ相关 V相关 顺序变量 Spearman相关 KendallT系数 Kendall W系数 等距变量 等比变量 二列相关 点二列相关 多系列相关 Spearman相关 KendallT系数 Kendall W系数 Pearson相关 第一节 Pearson相关分析 一、Pearson积差相关系数 如果两个随机变量，一个变量由小到大变化时，另一个变量也相应地由小到大(或由大到小)地变化，并且测得两变量组成的坐标点在直角坐标系中呈线性趋势，就称这两个随机变量之间存在简单线性关系。 两变量间存在简单线性关系可以用皮尔森积差相关（Pearson product-moment correlation）来分析。Pearson积差相关是由英国统计学家Karl Pearson 于1890年提出的，通常适用于等距变量或等比变量测度的数据。Pearson积差相关分析是描述两个变量之间是否存在线性关系、线性关系的方向（即正相关还是负相关）和线性关系的密切程度（即相关系数的大小）的分析方法。 以 表示样本的Pearson积差相关系数，则其计算公式为： 式中： 表示 、 的协方差， 表示 的标准差， 表示 的标准差。两者之间的关系可用如下图示表示。 图12-1：两个变量的协方差与标准差之间的关系 两个变量之间Pearson相关的性质可用如图12-1所示的散点图直观地表示。 (a)0[Correlate]=>[Bivariate]（如图12-3所示）； 图12-3 （3）将分析变量x和y输送到到[Variables]分析框中，并采用默认设置（如图12-4所示）。 图12-4 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-3：Correlations 农村居民家庭人均纯收入（x） 城镇居民家庭人均可支配收入(y) 农村居民家庭人均纯收入（x） Pearson Correlation 1 .987(**) Sig. (2-tailed) . .000 N 20 20 城镇居民家庭人均可支配收入(y) Pearson Correlation .987(**) 1 Sig. (2-tailed) .000 . N 20 20 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 从输出结果可以看出，农村居民家庭人均纯收入（x）和城镇居民家庭人均可支配收入(y)两者之间的Pearson相关系数r=0.987，p值=0.000，在 =0.01条件下达到统计显著性线性相关。 第二节：Spearman和 Kendall相关 Pearson相关分析是最常用的相关分析方法，但其仅适用于计算等距变量或等比变量之间的相关系数。在公共管理研究中，经常会遇到大量的非等距变量和非等比变量（如顺序变量或等级变量），要研究这些变量之间关系的密切程度，这时必须选用其它合适的度量方法。本节介绍Spearman相关和Kendall相关。 一、Spearman等级相关 当两个等距变量或等比变量间呈线性相关时，可以采用Pearson积差相关系数来描述。对于非等距变量或非等比变量（如顺序变量、等级变量），可采用Spearman等级相关（Spearman rank-order correlation）进行分析。Spearman等级相关系数又称秩相关系数，是利用两变量的秩次大小作线性相关分析，对原始变量的分布不作要求，属于非参数统计方法，适用范围要广些。对于服从Pearson相关系数的数据亦可计算Spearman相关系数，但统计效能要低一些。 设有n个配对的样本观察值x和y，Rx表示x的等级，Ry表示y的等级（也称为秩）,d= Rx – Ry。则Spearman等级相关系数的公式： 在小样本的条件下，可采用t 检验方法对 Spearman等级相关系数进行统计显著性检验，检验方法和程序与简单相关系数的统计显著性检验方法完全相同。 【例12-2】以2005年我国31个省市的统计数据为依据，运用SPSS计算城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x）和城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y)两者之间的Spearman等级相关系数，并进行统计显著性检验。 表12-4：2005年镇居民家庭平均每人全年可支配收入和消费性支出(单位：元) 地区 城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x） 城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y) 地区 城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x） 城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y) 北京 17652.95 13244.20 湖北 8785.94 6736.56 天津 12638.55 9653.26 湖南 9523.97 7504.99 河北 9107.09 6699.67 广东 14769.94 11809.87 山西 8913.91 6342.63 广西 9286.70 7032.80 内蒙古 9136.79 6928.60 海南 8123.94 5928.79 辽宁 9107.55 7369.27 重庆 10243.46 8623.29 吉林 8690.62 6794.71 四川 8385.96 6891.27 黑龙江 8272.51 6178.01 贵州 8151.13 6159.29 上海 18645.03 13773.41 云南 9265.90 6996.90 江苏 12318.57 8621.82 西藏 9431.18 8617.11 浙江 16293.77 12253.74 陕西 8272.02 6656.46 安徽 8470.68 6367.67 甘肃 8086.82 6529.20 福建 12321.31 8794.41 青海 8057.85 6245.26 江西 8619.66 6109.39 宁夏 8093.64 6404.31 山东 10744.79 7457.31 新疆 7990.15 6207.52 河南 8667.97 6038.02 （1）在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-Spearman等级相关分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[Analyze]=>[Correlate]=>[Bivariate]； （3）将分析变量x和y输送到到[Variables]分析框中，并在[Correlation Coefficients]一栏中选择[Spearman]（如图12-5所示）。 图12-5 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-5：Correlations 城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x） 城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y) Spearman's rho 城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x） Correlation Coefficient 1.000 .897(**) Sig. (2-tailed) . .000 N 31 31 城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y) Correlation Coefficient .897(**) 1.000 Sig. (2-tailed) .000 . N 31 31 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 从输出结果可以看出，城镇居民家庭平均每人全年可支配收入（x）和城镇居民家庭平均每人全年消费性支出(y)两者之间的Spearman相关系数r=0.897，p值=0.000，在 =0.01条件下达到统计显著性相关。 二、Kendall-tau相关 Kendall（肯德尔）的tau相关系数由统计学家Kendall提出，适用于度量两个顺序变量X与Y之间的相关。共有三种形式：tau-a、tau-b和tau-c，公式分别为： 其中， 为X和Y的同序对的数目； 为X和Y的异序对的数目； 为X中同分对的数目； 为Y中同分对的数目；n为样本容量；m为X与Y等级数较小者。所谓同序对是指变量大小顺序相同的两个样本观测值，即其X的等级高低顺序与Y的等级顺序相同，否则称为异序对；所谓同分对是指等级相同的一对样本观测值，如果样本容量为n，则样本观测值两两组对的话一共可以有n(n-1)/2对。 一般情况下，tau-a是在没有同分对时采用，它表示同序对的数目与异序对的数目的差在全部可能对数中所占的比例。当存在同分对时，常用tau-b和tau-c；如果X和Y的等级数相同，则可用tau-b，否则用tau-c。在SPSS中采用tau-b。 Kendall's tau-b等级相关系数：用于反映分类变量相关性的指标，适用于两个分类变量均为有序分类的情况。对相关的有序变量进行非参数相关检验；取值范围在-1到1之间，此检验适合于正方形

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。 【例12-3】：以2005年我国31个省市的统计数据为依据，运用SPSS计算农村居民家庭平均每人全年纯收入(x)和农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y)两者之间的Kendall（肯德尔）等级相关系数，并进行统计显著性检验。 表12-6：2005年农村居民家庭平均每人全年纯收入和消费性支出(单位：元) 地区 农村居民家庭平均每人全年纯收入（x） 农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y) 地区 农村居民家庭平均每人全年纯收入（x） 农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y) 北京 7346.3 5315.71 湖北 3099.2 2430.19 天津 5579.9 3035.96 湖南 3117.7 2756.43 河北 3481.6 2165.72 广东 4690.5 3707.73 山西 2890.7 1877.70 广西 2494.7 2349.60 内蒙古 2988.9 2446.17 海南 3004.0 1969.09 辽宁 3690.2 2805.94 重庆 2809.32 2142.12 吉林 3264.0 2305.98 四川 2802.8 2274.17 黑龙江 3221.3 2544.65 贵州 1877.0 1552.39 上海 8247.8 7277.94 云南 2041.8 1789.00 江苏 5276.3 3567.11 西藏 2077.9 1723.76 浙江 6660.0 5432.95 陕西 2052.6 1896.48 安徽 2641.0 2196.23 甘肃 1979.9 1819.58 福建 4450.4 3292.63 青海 2151.5 1976.03 江西 3128.9 2483.70 宁夏 2508.9 2094.48 山东 3930.6 2735.77 新疆 2482.2 1924.41 河南 2870.6 1891.57 （1）在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-Kendall's tau-b相关分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[Analyze]=>[Correlate]=>[Bivariate]； （3）将分析变量x和y输送到到[Variables]分析框中，并在[Correlation Coefficients]一栏中选择[Kendall's tau-b]（如图12-6所示）。 图12-6 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-7：Correlations 农村居民家庭平均每人全年纯收入（x） 农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y) Kendall's tau_b 农村居民家庭平均每人全年纯收入（x） Correlation Coefficient 1.000 .742(**) Sig. (2-tailed) . .000 N 31 31 农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y) Correlation Coefficient .742(**) 1.000 Sig. (2-tailed) .000 . N 31 31 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 从输出结果表12-7可以看出，农村居民家庭平均每人全年纯收入(x)和农村居民家庭平均每人全年消费性支出(y)两者之间的Kendall（肯德尔）相关系数r=0.742，p值=0.000，在 =0.01条件下达到统计显著性相关。 三、Kendall和谐系数 当多个变量值以等级次序表示，用肯德尔提出的统计量或相关公式计算这几个变量之间的一致性程度，这个统计量称为肯德尔和谐系数(Kendall's coefficient of concordance)，它适用于多个等级变量之间是否一致的系数。 肯德尔和谐系数，又称肯德尔W系数，它是检验

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意见一致性的方法。如果多个评价者同时评价多个对象（或指标），评价结果是以等级

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(或以分数记录，但转换为等级)，那么衡量多个评价者评价意见的一致性程度，要用肯德尔W系数。W系数越大，说明评价者掌握评价标准的一致性程度越高，评价结果越可靠；反之，则说明评价者意见分歧较大，或把握评价指标不一致，评价结果的可靠性、客观性就较差。 设有k个评价者，对n个评价对象进行评价，将每个评价者的n个评价值按从小到大（或从大到小）的顺序赋予1，2，3，4，…，n等级，将第 个评价者第 个评价对象所对应的评价等级相加得 。 表12-8：k个变量的n个观测值 评价对象 评价者 1 2 … … n 1 X11 X12 … X1j … X1n 2 X21 X22 … X2j … X2n … … … … … … … … … … … … … … … … k Xk1 Xk2 … Xkj … Xkn R1 R2 … … Rn 则Kendall和谐系数W为： W值介于0与1之间，计算值都为正值，若表示相关方向，可从实际资料中进行分析。这种方法的原理是基于这样一种思想：如果各个评价者评价标准完全一致，那么评价者对评价对象的评价等级应该相同，其等级和的最大方差即最大可能应为SS=K2(N3-N)/12。如果评价者的评价标准不同，则其方差SS将变小，一致性程度降低。如果评价者的评价标准完全不同，则各个评价对象的评价等级之和应该趋于一致，其最大可能方差SS应为零。实际等级和的方差与最大可能的方差的比值，便是和谐系数，其值必介于0与1之间。 肯德尔和谐系数的显著性检验基本程序： 我们可以用SPSS来计算上例中Kendall-W系数，其基本程序如下： （1）将演讲者设为变量（X1-X10），在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-Kendall's W系数分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[Analyze]=>[ Nonparametric Tests]=>[ K Related Samples]； 图12-7 （3）将分析变量x1-x10输送到到[Test Variables]分析框中，并在[Test Type]一栏中选择[Kendall's W]（如图12-8所示）。 图12-8 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-9 Mean Rank x1 2.17 x2 6.67 x3 3.00 x4 8.00 x5 6.67 x6 6.67 x7 8.00 x8 8.67 x9 3.17 x10 2.00 表12-10：Test Statistics N 6 Kendall's W(a) .747 Chi-Square 40.364 df 9 Asymp. Sig. .000 a Kendall’s Coefficient of Concordance 输出结果解释：第10个演讲者得分最低，其平均等级为2分，第8个演讲者得分最高，其平均等级为8.67。Kendall's W系数为0.747，Chi-Square值为40.364，统计检验结果表明，拒绝H0假设，即六位评委对10个演讲者的评价具有高度的一致性。可见，SPSS运行结果与手工计算是一致的。 第三节：质量相关和品质相关 一、质量相关 质量相关是指一个变量为等距变量或等比变量，另一个变量为分类变量，求两个变量之间的线性相关。质量相关包括二列相关、点二列相关和和多系列相关。 （一）二列相关 两个变量都属于连续性的变量，但其中的一个变量被人为地划分成二分变量（如按一定的标准将考试成绩划分成合格与不合格，通过与不通过，达标与不达标，好与差等），这两个变量之间的相关就称为二列相关（Biserial Correlation Coefficient）。 进行二列相关分析需要满足如下一些基本条件： 1) 两个变量都是连续变量，且总体呈正态分布或接近正态分布； 2) 两个变量之间是线性关系（两个变量的关系用图象表示接近于一条直线）； 3) 其中的一个二分变量是人为划分的，其分界点应尽量靠近中值。 二列相关系数计算公式： 上式中： 1) p 表示二分变量中某一类别频数的比率； 2) q 表示二分变量中另一类别频数的比率； 3) 表示与二分变量中p类别相对应的连续变量的平均数； 4) 表示与二分变量中q类别相对应的连续变量的平均数； 5) 表示连续变量的标准差； 6) Y 表示正态曲线下与p相对应的纵线高度。 （二）点二列相关 在两个变量中，有一个变量是属于连续性变量，另一个变量属于真正的二分变量（如性别的男与女，硬币的正与反，题目的对与错等等），这两个变量之间的相关就称为点二列相关（Point-Biserial Correlation Coefficient）。从某种意义上讲，点二列相关是二列相关的特例。 点二列相关系数计算公式： 上式中： 1) p表示二分变量中某一类别频数的比率 2) q表示二分变量中另一类别频数的比率 3) 表示与二分变量中p类别相对应的连续变量的平均数 4) 表示与二分变量中q类别相对应的连续变量的平均数 5) 表示连续变量的标准差。 （三）多系列相关 两个变量都是连续变量，其中一个变量按一定标准被人为地分成多个类别，这两个变量之间的相关就称为多系列相关（Multi-serial Correlation）。如：学习成绩与品德等级（优、良、中、差四档）之间的相关。 假设被人为地分类变量的第 类别（）的数据的平均数为，数据个数占总数的比率为，类别按一定顺序排列后，第 类别的上下限所对应的正态曲线的纵线高分别为和。另一个变量数据的全体的标准差为，则可以得到多系列相关的计算公式如下： 由于求只考虑不同类别相互之间的差异，而没有考虑各类中不同数据差异对总体间相关性的影响，因此，在用表示两个变量的相关程度时需要校正。设对校正所得的结果为，则校正的方法是 二列相关、点二列相关和多系列相关系数的显著性检验方法和程序可以参阅Pearson积差相关的显著性检验。 当m=2时，我们有第i类别（）的数据的平均数为，数据个数占总数的比率为，类别按一定顺序排列后，第i类别的上下限所对应的正态曲线的纵线高分别为和，所收集的另一个变量的数据的全体的标准差为，满足以下关系： 。 不妨设： 代入多系列相关系数公式可得： = = 由此可见，二列相关系数是多系列相关的特例。 在SPSS中，相关系数统计功能模块中并没有直接提供二列相关、点二列相关和多系列相关的计算。其实，点二列相关系数就是当一列变量为连续变量时，另一列变量是值域为（0，1）情况下的Pearson积差相关系数，可以通过公式推导进行验证。因此，在SPSS中计算两个变量的点二列相关系数，就是计算这两个变量的Pearson相关系数。只是需要注意的是，其中的那列二分变量的取值范围必须是（0，1）。在SPSS中计算两个变量的二列相关系数，也相当于直接计算两个连续变量的Pearson相关系数。 （四）质量相关系数计算实例 【例12-4】下表为10名考生一次测验的卷面总分和一道问答题的得分，试求该问答题的区分度（该问答题满分为10分，因此得分6分和6分以上则为该题通过，6分以下为不通过）。 表12-11：10位考生卷面总分和问答题得分 考生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 卷面总分 75 57 73 65 67 56 63 61 65 67 问答题得分 7 6 7 4 7 4 4 4 7 6 解：回答题得分被人为地划分为通过和不通过两类，应求二列相关。 当p=0.60时，查正态分布表得到：x=0.25。 当x=0.25时，代入标准正态密度函数 得到：Y=0.3866 ， ， 则可以通过公式计算得到二列相关系数： 在此基础上，用SPSS来计算上例中二列相关系数，其基本程序如下： （1）将卷面总分设为变量X1，问答题得分设为变量X2（1表示“通过”，0表示“没有通过”），在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-二列相关分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[Analyze]=>[Correlate]=>[Bivariate]； （3）将分析变量X1和X2输送到到[Variables]分析框中，并采用默认设置。 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-12：Correlations 卷面总分（X1） 问答题得分（X2） 卷面总分（X1） Pearson Correlation 1 .630 Sig. (2-tailed) . .051 N 10 10 问答题得分（X2） Pearson Correlation .630 1 Sig. (2-tailed) .051 . N 10 10 从输出结果可知，两个变量的Pearson相关系数为0.630，这个结果与手工计算的二列相关系数结果是吻合的。 【例12-5】有一是非选择测验，共有50题，每题选对得2分，满分为100分。现有20人的总成绩及对第5题的选答情况如表12-13所示，问第5题与总分的相关程度如何？ 表12-13：20名学生的总分及第5题选答情况 解： p=答对学生的比率=10/20=0.5，q=1-p=0.5。 =88.4, =74.8, =8.66, 第5题与总分相关较高,相关系数为0.785,即第5题的答对答错与总分有一致性。也可以说该题的区分度较高。 同样，我们可以用SPSS来计算上例中点二列相关系数，其基本程序如下： （1）将卷面总分设为变量X1，第5题选答情况设为变量X2（1表示“对”，0表示“错”），在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-点二列相关分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[Analyze]=>[Correlate]=>[Bivariate]； （3）将分析变量X1和X2输送到到[Variables]分析框中，并采用默认设置。 （4）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-14：Correlations 卷面总分（X1） 第5题选答情况（X2） 卷面总分（X1） Pearson Correlation 1 .785(**) Sig. (2-tailed) . .000 N 20 20 第5题选答情况（X2） Pearson Correlation .785(**) 1 Sig. (2-tailed) .000 . N 20 20 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 从输出结果可知，两个变量的Pearson相关系数为0.785，且在 条件下达到统计显著性水平。这个结果与手工计算的点二列相关系数结果是吻合的。 二、品质相关 若两个变量的值都是按性质不同划分成几种类别，那么这两个变量之间的相关就称为品质相关，包括列联相关、Φ相关和V相关系数三种形式。 （一）列联相关系数 当两个变量均被分成两个以上类别，或其中一个变量被分成两个以上类别，这两个变量之间的相关程度可用列联相关系数（Contingency coefficient）来测度。如：行政人员、现任教师、学生家长与对现有考试

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持赞同、不置可否、反对意见有无相关。 假设变量被分成个类别，被分成个类别，而且至少有一个大于2，这时变量与变量的列联相关系数记为。 记为观察数据属于变量的第类别（）、变量的第类别（）的频数。记 ， 构造 这样可以得到列联相关系数的计算公式： 若检验显著，则列联相关系数也显著。 （二）Φ相关系数 当两个变量都是二分变量，无论是真正的二分变量还是人为的二分变量，这两个变量之间的相关系数就称为Φ相关系数（phi-coefficient）。如：性别的男与女和体育成绩的达标与不达标之间的相关；户口的城市与农村和创新能力的强与弱之间的相关。 Φ相关系数的适用条件是2×2列联(contingency table cross tabulation)表，变量的数据结构如下表所示。 表12-15：2×2列联表 变量B 变量A B1 B2 合计 A1 a b a+b A2 c d c+d 合计 a+c b+d N=a+b+c+d Φ相关系数的计算公式如下： 容易证明： （三）V相关系数 V相关系数（(Cramer's V)）是鉴于Φ系数无上限、C系数小于1的情况而提出的相关系数。其计算公式如下： 当两个因素相互独立时，V＝0；当两个因素完全相关时，V=1。 （四）品质相关分析的实例 【例12-6】某高校为了了解广大师生对学校某项改革政策的态度，共对2531名学生和教师进行了抽样调查，抽样调查结果如表12-16所示。计算调查对象与态度之间的列联相关系数，并进行统计显著性检验。 表12-16：问卷调查对象与态度关系的3×3列联表 态 度 对 象 C 总计 赞成 不置可否 反对 R 低年级学生 446 212 319 977 高年级学生 273 193 324 790 教 师 262 325 177 764 总计 981 730 820 2531 解：根据公式 计算 值 则 查 分布表，得到临界值 因为 所以求得的列联系数C=0.221具有统计显著意义。 同样，我们可以用SPSS来计算上例中列联相关系数，其基本程序如下： （1）将“调查对象”设为变量R（1表示低年级、2表示高年级、3表示教师），“态度”设为变量C（1表示赞成、2表示不置可否、3表示反对），列联表中的数字设为变量W（1表示“对”，2表示“错”），在SPSS中录入对应的原始数据（数据结构如下表所示），建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-列联相关分析）； 表12-17：列联表输入的数据结构 R C W 1 1 446 1 2 212 1 3 319 2 1 273 2 2 193 2 3 324 3 1 262 3 2 325 3 3 177 （2）打开SPSS数据文件，选择[Data]=>[Weight Cases](如图12-9所示)； 图12-9 （3）进入[Weight Cases] ，并W输入[Frequency Variable]框中(如图12-10所示)； 图12-10 （4）选择[Analyze]=>[Descriptive Statistics]=>[Crosstabs]； 图12-11 （5）进入[Crosstabs]，并将R、C分别输入[Row(s)]和[Column(s)]框中； 图12-12 （6）进入[Statistics] ，并选中[Chi-square]和[Contingency Coefficient]，如图12-13所示； 图12-13 （7）单击[OK]进行分析，输出结果如下： 表12-18：Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Pearson Chi-Square 130.017(a) 4 .000 Likelihood Ratio 126.007 4 .000 Linear-by-Linear Association .664 1 .415 N of Valid Cases 2531 a 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 220.36. 表12-19：Symmetric Measures Value Approx. Sig. Nominal by Nominal Contingency Coefficient .221 .000 N of Valid Cases 2531 a Not assuming the null hypothesis. b Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. 从输出结果可知， =130.017，列联相关系数0.221，且具有统计显著性意义。这个结果与手工计算的结果是吻合的。 【例12-7】某一研究者为了研究青年大学生的性别与对心理测验态度的关系，选取170名青年学生进行了一种心理测验，结果如下表所示。请计算青年大学生的性别与对心理测验态度的Φ相关系数。 表12-20：心理测验项目反应2 ×2列联表 C Total 肯定 否定 R 男生 22 88 110 女生 18 42 60 Total 40 130 170 解：根据公式 计算 值 则 查 分布表，得到临界值 因为 所以求得的系数Φ相关系数=0.1127不具有统计显著意义，即青年男女大学生的性别与对心理测验反应态度之间是独立无关。 同样，我们可以用SPSS来计算上例中列联相关系数，其基本操作程序如上例（略），主要输出结果如下（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-Φ相关分析）。 表12-21：Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Exact Sig. (2-sided) Exact Sig. (1-sided) Pearson Chi-Square 2.158(b) 1 .142 Continuity Correction(a) 1.638 1 .201 Likelihood Ratio 2.110 1 .146 Fisher's Exact Test .185 .101 Linear-by-Linear Association 2.145 1 .143 N of Valid Cases 170 a Computed only for a 2x2 table b 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 14.12. 表12-22：Symmetric Measures Value Approx. Sig. Nominal by Nominal Phi -.113 .142 Cramer's V .113 .142 N of Valid Cases 170 a Not assuming the null hypothesis. b Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. 从输出结果可知， =2.158，Φ相关系数=-0.113，且不具有统计显著性意义。这个结果与手工计算的结果也是一致的。 第四节 偏相关分析 线性相关分析计算两个变量间的相关关系,分析两个变量间线性关系的程度。往往因为第三个变量的作用,使相关系数不能真正反映两个变量间的线性程度。如身高、体重与肺活量之间的关系。如果使用Pearson相关计算其相关系数,可以得出肺活量与身高和体重均存在较强的线性关系。但实际上,如果对体重相同的人,分析身高和肺活量,是否身高越高,肺活量就越大呢？不是的。原因是身高与体重有线性关系,体重与肺活量存在线性关系,因此得出身高和肺活量之间存在着较强的线性关系的错误结论。在研究商品的需求量和价格、消费者收入之间的关系时会发现，需求量和价格之间的相关关系实际上还包含了消费者收入对商品需求量的影响。 因此，在分析身高与肺活量之间的相关性时，就要控制体重在相关分析中的影响。在研究需求量和价格之间的关系时，就要控制消费者收入对商品需求量的影响。在控制年龄和工作经验两个变量的影响条件下，考察工资收入与受教育程度之间的关系。在控制了销售能力与其他经济指标的情况下，研究销售量与广告费用之间的关系等。 偏相关分析（Analysis of Partial Correlation）的任务就是在研究两个变量之间的线性相关关系时控制可能对其产生影响的其他变量。 剔除了一个变量Z影响后，两个变量的偏相关系数计算公式： 剔除了两个变量影响后，两个变量的偏相关系数 【例12-8】以2004年我国31个省市出口商品、国内生产总值和实际利用外资的相关统计数据为依据，研究出口商品与国内生产总值的关系。 表12-23：2004年我国各地区出口商品、国内生产总值和实际利用外资情况 地区 出口商品（Y，亿美元） 国内生产总值（X1，亿元） 实际利用外资（X2，万美元） 北京 205.69 6060.28 255974.0 天津 208.52 3110.97 172091.0 河北 93.39 8477.63 69954.00 山西 40.34 3571.37 9022.00 内蒙古 13.54 3041.07 34297.00 辽宁 189.14 6672.00 540677.0 吉林 17.15 3122.01 19237.00 黑龙江 36.81 4750.60 33917.00 上海 735.05 8072.83 631087.0 江苏 874.94 15003.60 894830.0 浙江 581.39 11648.70 573256.0 安徽 39.37 4759.32 42850.00 福建 293.95 5763.35 192384.0 江西 19.95 3456.70 204487.0 山东 358.45 15021.84 866423.0 河南 41.75 8553.79 42211.00 湖北 33.82 5633.24 174441.0 湖南 31.06 5641.94 141803.0 广东 1915.71 18864.62 1001158 广西 23.86 3433.50 29579.00 海南 10.93 798.90 11926.00 重庆 20.91 2692.81 25196.00 四川 39.80 6379.63 36503.00 贵州 8.67 1677.80 6271.00 云南 22.39 3081.91 14153.00 西藏 1.30 220.34 .- 陕西 23.97 3175.58 14132.00 甘肃 9.96 1688.49 3539.00 青海 4.55 466.10 - 宁夏 6.46 537.16 6704.00 新疆 30.46 2209.09 3996.00 解：手工计算偏相关系数是较为麻烦的，采用SPSS进行运算基本程序如下： （1）将“出口商品”设为变量Y、“国内生产总值”设为变量X1、“实际利用外资”设为变量X2，在SPSS中录入对应的原始数据，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-偏相关分析）； （2）先计算Y与X1之间的Pearson相关系数，再计算偏相关系数； （3）选择[Analyze] =>[Correlate]=>[Partial]（如图12-14所示）； 图12-14 （4）进入[Partial]，将Y和X1输入[Variables]分析变量框，将X2 输入到[Controlling for]控制变量框； 图12-15 （5）单击[OK]进行分析，Pearson相关系数和偏相关系数输出结果如下： 表12-24：Correlations 出口商品总值 国内生产总值 出口商品总值 Pearson Correlation 1 .814(**) Sig. (2-tailed) . .000 N 31 31 国内生产总值 Pearson Correlation .814(**) 1 Sig. (2-tailed) .000 . N 31 31 ** Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed). 表12-25：Correlations Control Variables 出口商品总值 国内生产总值 实际利用外资金额 出口商品总值 Correlation 1.000 .276 Significance (2-tailed) . .155 df 0 26 国内生产总值 Correlation .276 1.000 Significance (2-tailed) .155 . df 26 0 从输出结果可知，出口商品总值和国内生产总值之间的简单相关相关系数高达0.814，且达到了高度的统计显著性水平。但将实际利用外资金额控制起来的条件下，出口商品总值和国内生产总值之间的偏相关系数仅为0.276，且不具有统计显著意义。 第五节 典型相关分析 典型相关分析（Canonical Correlation Analysis）由Hotelling于1936年在《生物统计》期刊上发表的论文“两组变量之间的关系”中首次提出，后来Cooley and Lohnes (1971), Kshirsagar (1972)和 Mardia, Kent, Bibby (1979) 等推动了典型相关分析的应用和推广。 一、典型相关分析的基本思想 典型相关分析是测度两组变量间整体相关关系的统计分析方法。与其他检测相关关系的统计方法(如Pearson简单相关分析、简单回归分析和多元回归分析等)一样，典型相关分析用来显示变量之间是否存在相互依存在的变化关系，但与简单相关分析(即验证两个单一的观测变量之间相关关系的分析方法)和多元回归分析(即验证多个自测变量与一个因变量之间相关关系的方法)不同，它验证一组变量与另一组变量之间的整体相关性，即一个变量组的综合结果与另一个变量组的综合结果之间是否存在相关。例如：病人的各种临床症状与所患各种疾病之间的相关关系；原材料质量与产品质量之间的相关关系；居民的营养状况与其健康状况之间的相关关系；青少年生长发育和身体素质之间的关系；毕业生求职对用人单位的要求和用人单位招工的条件之间的相关关系；公务员的工作能力与工作绩效之间的关系；科技投入与科技产出间的关系等等。测度这些变量组之间的关系需要运用典型相关分析。 表12-26：典型相关分析的变量 （ ） （ ） 1 病人的临床症状 所患各种疾病 2 原材料质量 产品质量 3 营养状况 健康状况 4 生长发育（肺活量） 身体素质（跳高） 5 毕业生对用人单位的要求 用人单位招工的条件 6 公务员的工作能力 公务员的工作绩效 7 科技投入 科技产出 典型相关分析方法的基本思想与主成分分析方法非常相似，也是降维，即根据变量间的相关关系，寻找一个或少数几个综合变量(实际观察变量的线性组合)对来替代原变量，从而将二组变量的关系集中到少数几对综合变量的关系上。提取时要求第一对综合变量间的相关性最大，第二对次之，依此类推。这些综合变量被称为典型变量。第1对典型变量间的相关系数则被称为第1典型相关系数。 典型相关分析关键就是采用主成分方法寻找到第i对典型变量（ ）。 式中 是观测变量转换为典型变量的回归系数，在典型分析中称为典型系数（Canonical Coefficient）。 第i对典型变量（ ）间的简单相关系数称为典型相关系数（Canonical Correlation Coefficient）），即为： 第一对典型变量的相关系数为： CanR1＝Corr（U1，V1）（使U1与V1 间最大相关） 第二对典型相关变量相关系数为： CanR2＝Corr（U2，V2）（与U1、V1 无关；使U2与V2 间最大相关） 第P对典型变量相关系数为： CanRP＝Corr（UP，VP）（UP与VP 间最大相关） 且满足条件： 1≥CanR1≥CanR2≥……≥CanRP≥0 图12-16：典型相关分析示意图 二、运用SPSS进行典型相关分析 科技投入与科技产出的典型相关分析。通过对这两组变量的典型相关分析来研究两者之间存在的内在关系。其中科技投入变量组由R&D经费（X1）、科技经费支出额（X2）、R&D人员（X3）和科学家工程师（X4）构成，科技产出变量组由发明专利授权量（Y1）、高技术产业规模以上企业产值（Y2）、高技术产品出口额（Y3）和技术市场成交金额（Y4）。考虑到科技投入与产出之间存在一定的时间延迟，我们假设该延迟时间为两年。所以，这里科技投入指标选用2003年数据，科技产出的指标选用2005年数据（原始数据如表12-27所示）。 表12-27：我国不同地区科技投入和科技产出主要指标 地区 Ｒ＆Ｄ 经费 （亿元） 科技经费 （亿元） Ｒ＆Ｄ 人员 （万人年） 科学家 工程师 （万人） 发明专利授权量 （项目） 高技术产业产值 （亿元） 高技术产品出口额（亿美元） 技术市场成交

合同

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金额 （亿元） 北京 256.25 436.57 10.99 22.63 3476 404.19 77.24 489.59 天津 40.43 83.72 2.88 5.56 763 392.65 125.55 51.71 河北 38.05 74.29 3.44 7.86 371 93.23 2.64 10.38 山西 15.83 44.69 1.85 5.51 280 27.07 1.06 4.8 内蒙古 6.39 18.33 .87 2.25 98 35.47 1.52 10.99 辽宁 82.97 145.24 5.6 11.7 942 173.16 26.46 86.52 吉林 27.8 51.31 1.95 5 391 77.05 .91 12.23 黑龙江 32.68 60.09 3.46 6.65 407 73.56 1.15 14.26 上海 128.92 288.44 5.62 12.33 1997 786.33 360.32 231.73 江苏 150.46 338.02 9.81 20.89 1241 1460.27 530.3 100.83 浙江 75.23 176.67 4.66 12.34 1110 368.38 60.95 38.7 安徽 32.42 83.47 2.51 5.67 238 55.24 2.98 14.26 福建 37.5 69.03 2.66 4.92 242 317.37 77.98 17.2 江西 16.98 32.43 1.7 3.7 142 75.84 .69 11.12 山东 103.84 222.49 7.83 16.26 903 533.32 42.28 98.36 河南 34.19 75.03 4.07 9.36 356 103.04 .95 26.37 湖北 54.82 108.13 5.19 14.34 733 165.4 4.42 50.18 湖南 30.09 71.55 2.7 6.8 533 74.88 .99 41.74 广东 179.84 332.4 9.38 19.86 1876 2353.02 851.08 112.47 广西 11.24 34.81 1.32 3.24 140 42.59 .57 9.41 海南 1.21 3.26 .1 .26 36 13.2 .39 1 重庆 17.44 44.48 1.77 4.83 178 46.36 1.37 35.71 四川 79.42 154.31 5.79 11.22 613 203.6 5.43 19.08 贵州 7.89 15.48 .86 1.91 162 53.47 .93 1.05 云南 11.01 25.58 1.29 3.3 306 24.53 .73 　 西藏 .31 .96 .06 .2 　 1.93 .03 　 陕西 67.99 114.14 5.42 8.67 445 136.57 2.68 18.9 甘肃 12.77 26.56 1.69 4.28 116 21.38 .48 17.72 青海 2.41 6.69 .23 .59 24 4.03 .03 1.18 宁夏 2.38 6.31 .27 .67 40 6.82 .03 1.41 新疆 3.8 17.4 .53 1.69 88 3.86 .42 8 在SPSS中可以有两种方法来实现典型相关分析，一种是采用Manova过程来；另一种是采用专门提供的宏程序。第二种方法在使用上非常简单，而输出的结果又较为详细，这里介绍第二种方法。 该程序名为Canonical correlation.sps，就放在SPSS的安装路径之中，调用方式如下： INCLUDE 'SPSS所在路径\Canonical correlation.sps'. CANCORR SETl=第一组变量的列表 /SET2=第二组变量的列表. 在程序中首先应当使用include命令读入典型相关分析的宏程序，然后使用cancorr名称调用，注意最后的“.”表示整个语句结束，不能遗漏。 在SPSS中采用第二种方法进行典型相关分析的基本程序如下： （1）将科技投入变量组设为“X1、X2、X3、X4”，科技产出变量组设为“Y1、Y2、Y3、Y4”，把相关的原始数据输入到SPSS，建立SPSS数据文件（SPSS数据文件见本书光盘中的文件“SPSS12-典型相关分析）； （2）打开SPSS数据文件，选择[File]=>[New] => [Syntax]（如图12-17所示） 图12-17 (3)进入[Syntax]，并在该语法窗口中键入如下命令程序如下： include file'C:\Program Files\spss\Canonical correlation.sps'. cancorr set1=X1 X2 X3 X4 /set2=Y1 Y2 Y3 Y4. （4）选择[Run]=>[All] 图12-18 (5)运行并输出结果(为了节省篇幅对输出结果进行了适当的整理)。 表12-28：科技投入与科技产出的相关矩阵 x1 x2 x3 x4 x1 1.0000 .9868 .9474 .9284 x2 .9868 1.0000 .9506 .9421 x3 .9474 .9506 1.0000 .9847 x4 .9284 .9421 .9847 1.0000 y1 y2 y3 y4 .9556 .7002 .6325 .8646 .9356 .7388 .6764 .8269 .8434 .7035 .6064 .7113 .8433 .6994 .6039 .7010 y1 .9556 .7002 .6325 .8646 y2 .9356 .7388 .6764 .8269 y3 .8434 .7035 .6064 .7113 y4 .8433 .6994 .6039 .7010 1.0000 .5833 .5387 .9411 .5833 1.0000 .9810 .3652 .5387 .9810 1.0000 .3337 .9411 .3652 .3337 1.0000 表12-29：典型相关系数及其显著性检验 Canonical Correlations 1 .991 2 .733 3 .451 4 .282 Test that remaining correlations are zero: Wilk's Chi-SQ DF Sig. 1 .006 121.118 16.000 .000 2 .339 25.448 9.000 .003 3 .733 7.300 4.000 .121 4 .920 1.949 1.000 .163 第一、第二、第三、第四对典型相关系数分别为O.991、O.733、0.451、0.282；其中第一、第二典型相关系数达到统计显著性水平；第三、第四典型相关系数未能达到统计显著性水平。 表12-30：科技投入变量组标准化及未标准化的典型系数 Standardized Canonical Coefficients for Set-1 1 2 3 4 x1 -1.392 1.299 -6.430 -.416 x2 -.019 1.658 6.739 .312 x3 .954 -2.734 1.688 5.930 x4 -.517 -.514 -1.931 -5.838 Raw Canonical Coefficients for Set-1 1 2 3 4 x1 -.023 .021 -.106 -.007 x2 .000 .015 .060 .003 x3 .320 -.917 .566 1.990 x4 -.083 -.083 -.312 -.942 表12-31：科技产出变量组标准化及未标准化的典型系数 Standardized Canonical Coefficients for Set-2 1 2 3 4 y1 -.594 -.637 -.104 -4.705 y2 -.599 -4.603 -1.024 3.746 y3 .360 4.476 2.000 -2.389 y4 -.253 1.045 -.506 3.944 Raw Canonical Coefficients for Set-2 1 2 3 4 y1 -.001 -.001 .000 -.006 y2 -.001 -.009 -.002 .007 y3 .002 .024 .011 -.013 y4 -.003 .011 -.005 .041 由于原始变量的测量单位不同，不宜直接比较，我们采用标准化的典型系数，给出科技投入和科技产出典型变量的相关模型： 科技投入的第一、第二典型变量分别为： 科技产出的第一、第二典型变量分别为： 表12-32：科技投入和产出变量的典型负载及交叉负载系数矩阵 Canonical Loadings for Set-1 U1 U2 U3 U4 X1 -.987 -.132 .026 .091 X2 -.973 -.143 .179 .039 X3 -.892 -.433 .100 .084 X4 -.888 -.438 .110 -.090 Cross Loadings for Set-1 V1 V2 V3 V4 -.978 -.097 .012 .026 -.964 -.105 .081 .011 -.884 -.318 .045 .024 -.880 -.321 .049 -.025 Cross Loadings for Set-2 Y1 -.979 .054 -.045 -.027 Y2 -.679 -.148 .313 .028 Y3 -.627 -.025 .348 .019 Y4 -.903 .189 -.140 .025 Canonical Loadings for Set-2 -.988 .073 -.100 -.095 -.685 -.202 .693 .099 -.632 -.034 .771 .067 -.911 .258 -.310 .087 典型负载系数（Canonical Loadings）是典型变量与本组的观测变量之间的两两简单相关系数。由上表可知，科技投入的第一典型变量U1，在X1，X2，X3，X4上均有较高荷重，说明R&D经费、科技经费支出额、R&D人员和科学家工程师四原始变量在科技投入中具有重要地位。同样，科技产出的第一典型变量V1在Y1，Y2，Y3和Y4上有较高荷重，说明发明专利授权量、高技术产业规模以上企业产值、高技术产品出口额和技术市场成交金额在科技产出中均占有主导地位。 交叉负载系数（Cross Loadings）是典型变量与另一组的观测变量之间的两两简单相关系数。由于第一对典型变量之间的高度相关，导致科技投入中四个主要变量与科技产出的第一典型变量呈高度相关；而科技产出中的四个变量则与科技投入的第一典型变量也呈高度相关。这种一致性从数量上体现了科技投入和科技产出之间存在一定的内在关系，与科技投入和产出指标的实际意义是吻合的。 表12-33：冗余度分析（Redundancy Analysis） Proportion of Variance of Set-1 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var U1 .876 U2 .104 U3 .014 U4 .006 Proportion of Variance of Set-2 Explained by Its Own Can. Var. Prop Var V1 .669 V2 .029 V3 .295 V4 .008 Proportion of Variance of Set-1 Explained by Opposite Can.Var. Prop Var V1 .861 V2 .056 V3 .003 V4 .000 Proportion of Variance of Set-2 Explained by Opposite Can. Var. Prop Var U1 .657 U2 .015 U3 .060 U4 .001 由表12-33可知，第一对典型变量U1和V1均较好地解释了对应的那组变量，而且交互解释能力也比较强。来自科技投入的方差被科技投入和科技产出第一典型变量解释的比例分别为87.6%和86.1%；来自科技产出的方差被科技产出和科技投入第一典型变量解释的方差比例为66.9%和65.7%。 复习思考题 1. 怎样进行Pearson积差相关系数的显著性检验？ 2. 比较说明Pearson相关、Spearman相关和Kendall相关的对变量要求有何不同。 3. 简述二列相关、点二列相关和和多系列相关三者的区别与联系。 4. 比较说明简单相关和偏相关分析的特点。 5. 简述典型相关分析的基本思想。 6. 结合某个研究课题，运用SPSS进行偏相关分析。 7. 结合某个研究课题，运用SPSS进行典型相关分析。 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Unknown ��� � EMBED Unknown ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Unknown ��� � EMBED Unknown ��� � EMBED Unknown ��� PAGE 35 _1237699638.unknown _1237712292.unknown _1237808041.unknown _1237818132.unknown _1237995579.unknown _1244665337.unknown _1244669464.unknown _1244669483.unknown _1244669505.unknown _1244669379.unknown _1237998970.unknown _1238001599.unknown _1237998952.unknown _1237997265.unknown _1237818272.unknown _1237828512.unknown _1237995520.unknown _1237828479.unknown _1237818240.unknown _1237817862.unknown _1237817953.unknown _1237814718.unknown _1237815971.unknown _1237814697.unknown _1237712496.unknown _1237807928.unknown _1237807963.unknown _1237807518.unknown _1237807886.unknown _1237743360.unknown _1237807269.unknown _1237722687.unknown _1237712409.unknown _1237712416.unknown _1237712402.unknown _1237712346.unknown _1237712007.unknown _1237712046.unknown _1237712066.unknown _1237712057.unknown _1237712036.unknown _1237705214.unknown _1237707245.unknown _1237707286.unknown _1237707306.unknown _1237706395.unknown _1237705330.unknown _1237700759.unknown _1237705199.unknown _1237705135.unknown _1237700753.unknown _1237461473.unknown _1237699583.unknown _1237699599.unknown _1237699625.unknown _1237699589.unknown _1237640246.unknown _1237699452.unknown _1237699528.unknown _1237699544.unknown _1237640312.unknown _1237640665.unknown _1237640262.unknown _1237469263.unknown _1237640154.unknown _1237640184.unknown _1237639789.unknown _1237640144.unknown _1237638721.unknown _1237461521.unknown _1237397230.unknown _1237442451.unknown _1237448912.unknown _1237461240.unknown _1237448910.unknown _1237448911.unknown _1237448909.unknown _1237404604.unknown _1237394642.unknown _1237394786.unknown _1237394921.unknown _1237395827.unknown _1237394811.unknown _1237394765.unknown _1237394637.unknown