【数学】2010年高考试题——数学（福建卷）（文）

2010年高考福建数学（文史类） 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】==,故选A． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题． 2．计算的结果等于( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式=,故选B． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值． 3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( ) A． B．2 C． D．6 【答案】D 【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为 ，侧面积为，选D． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。 4．是虚数单位,等于 ( ) A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】C 【解析】=,故选C． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力． 7．函数的零点个数为 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】当时，令解得； 当时，令解得，所以已知函数有两个零点，选C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。 【命题意图】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识。 11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得， 因为，，所以 ==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。 【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。 12．设非空集合满足：当时，有。给出如下三个命题工：①若，则；②若，则；③若，则。其中正确命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】 【命题意图】 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。 【答案】1 【解析】由题意知，解得b=1。 【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。 14． 将容量为n的样本中的数据分成6组，绘制频率分布直方图。若第一组至第六组数据的频率之比为2：3：4：6：4：1，且前三组数据的频数之和等于27，则n等于 。 【答案】60 【解析】设第一组至第六组数据的频率分别为，则，解得，所以前三组数据的频率分别是， 故前三组数据的频数之和等于=27，解得n=60。 【命题意图】本小题考查频率分布直方图的基础知识，熟练基本公式是解答好本题的关键。 15． 对于平面上的点集，如果连接中任意两点的线段必定包含于，则称为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）： 其中为凸集的是 （写出所有凸集相应图形的序号）。 【答案】②③ 【解析】 【命题意图】 16. 观察下列等式： ① cos2a=2-1; ② cos4a=8- 8+ 1; ③ cos6a=32- 48+ 18- 1; ④ cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; ⑤ cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1． 可以推测，m – n + p = ． 【答案】962 【解析】因为所以；观察可得， ，所以m – n + p =962。 【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。 三、解答题 ：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分12分 ） 数列{} 中＝，前n项和满足-＝ （n）． ( I ) 求数列{}的通项公式以及前n项和； （II）若S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列，求实数t的值。 18．（本小题满分12分） 设平顶向量＝ （ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m， n {1,2,3,4}． （I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果； （II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。 19．（本小题满分12分） 已知抛物线C：过点A （1 , -2）。 （I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程； （II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。 20． （本小题满分12分） 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1,D1C1上的点（点E与B1不重合），且EH//A1D1。过EH的平面与棱BB1,CC1相交，交点分别为F，G。 （I）证明：AD//平面EFGH； （II）设AB=2AA1=2a。在长方体ABCD-A1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自于几何体A1ABFE – D1DCGH内的概率为p。当点E，F分别在棱A1B1, B1B上运动且满足EF=a时，求p的最小值。 21．(本小题满分12分) 某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°且与该港口相距20海里的处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在，使得小艇以海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定的取值范围；若不存在，请说明理由。 22．（本小题满分14分） 已知函数f（x）=的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+是[]上的增函数。 （i）求实数m的最大值； (ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。 第 1 页 共 12 页