习题解答量子力学导论习题解答

第1章 量子力学的诞生 1.1、设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动， 试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 （1） 又据de Broglie关系 （2） 而能量 （3） 1.2、设粒子限制在长、宽、高分别为 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 轴方向，把粒子沿 轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有 即 （ ：一来一回为一个周期） , 同理可得， , , 粒子能量 1.3、设质量为 的粒子在谐振子势 中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 提示：利用 解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 （1） 其中 由下式： 。 由此得 ， （2） 即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得 （3） 代入（2），解出 （4） 积分： 1.4、设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用 是平面转子的角动量。转子的能量 。 解：平面转子的转角（角位移）记为 。 它的角动量 （广义动量）， 是运动惯量。按量子化条件 ， 因而平面转子的能量 ， 第二章 波函数与Schrödinger方程 2.1、设质量为 的粒子在势场 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 ， （能量密度） （b）证明能量守恒公式 EMBED Equation.3 （能流密度） 证：（a）粒子的能量平均值为（设 已归一化） （1） （势能平均值） （2） 其中 的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为 。因此 （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度 （4） 且能量平均值 。 （b）由（4）式，得 （ ：几率密度） （定态波函数，几率密度 不随时间改变） 所以 。 2.2、考虑单粒子的Schrödinger方程 （1） 与 为实函数。 （a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积 内的几率随时间的变化为 证：（a）式（1）取复共轭， 得 （2） （1）- （2）,得 （3） 即 ， 此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积 积分，得 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积 的几率（ ） ，而第二项代表体积 中“产生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3、 设 和 是Schrödinger方程的两个解，证明 。 证： （1） （2） 取（1）之复共轭： （3） （3） （2）,得 对全空间积分： ，（无穷远边界面上， ） 即 。 2.4、设一维自由粒子的初态 ， 求 。 解： 2.5、 设一维自由粒子的初态 ，求 。 提示：利用积分公式 或 。 解：作Fourier变换： ， ， （ ） （指数配方） 令 ，则 。 2.6、 设一维自由粒子的初态为 ，证明在足够长时间后， 式中 是 的Fourier变换。 提示：利用 。 证：根据平面波的时间变化规律 ， ， 任意时刻的波函数为 （1） 当时间足够长后（所谓 ） ，上式被积函数中的指数函数具有 函数的性质，取 ， ， （2） 参照本的解题提示，即得 （3） （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在 处的主要成分为 ，即 ，强度 ，因子 描述整个波包的扩散，波包强度 。 设整个波包中最强的动量成分为 ，即 时 最大，由（4）式可见，当 足够大以后， 的最大值出现在 处，即 处，这表明波包中心处波群的主要成分为 。 2.7、写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。 解：经典能量方程 。 在动量表象中，只要作变换 ， 所以在动量表象中，Schrödinger为： 。 第三章 一维定态问题 3.1、设粒子处在二维无限深势阱中， 求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 EMBED Equation.3 若 ，则 这时，若 ，则能级不简并;若 ，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如 与 ） 3.2、设粒子限制在矩形匣子中运动，即 求粒子的能量本征值和本征波函数。如 ，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 , 当 时， 时，能级不简并； 三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 如 3.3、设粒子处在一维无限深方势阱中， 证明处于定态 的粒子 讨论 的情况，并于经典力学计算结果相比较。 证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数 . （1） （2） 在经典情况下，在 区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于 范围的几率为 ，故 ， （3） ， （4） 当 时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 3.4、设粒子处在一维无限深方势阱中， 处于基态 ，求粒子的动量分布。 解：基态波函数为 , （参P57，（12）） 动量的几率分布 3.5、设粒子处于半壁高的势场中 （1） 求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出薛定谔发程: （2） 其中 （3） 方程的解为 （4） 根据对波函数的有限性要求，当 时， 有限，则 当 时， ，则 于是 （5） 在 处，波函数及其一级导数连续，得 （6） 上两方程相比，得 （7） 即 （7’） 若令 （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程： （10）式是以 为半径的圆。对于束缚态来说， ， 结合（3）、（8）式可知， 和 都大于零。（10）式表达的圆与曲线 在第一象限的交点可决定束缚态能级。当 ，即 ，亦即 （11） 时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。 3.6、求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即 ， 当 时， ，故有 由 在 、 处的连续条件，得 （1） 由（1a）可得 （2） 由于 皆为正值，故由（1b），知 为二，四象限的角。 因而 （3） 又由（1），余切函数 的周期为 ，故由(2)式， (4) 由(3)，得 (5) 结合(4),(5)，得 或 （6） 一般而言，给定一个 值，有一个解 ，相当于有一个能级： （7） 当 时，仅当 才有束缚态 ，故 给定时，仅当 （8） 时才有束缚态（若 ，则无论 和 的值如何，至少总有一个能级） 当 给定时，由(7)式可求出 个能级（若有 个能级的话）。相应的波函数为: 其中 3.7、设粒子（能量 ）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故 由 ，得 。 由 ，得 。 从上二式消去c, 得 。 反射系数 将 代入运算，可得 3.8、利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系 并由此证明，在 态下， 证：谐振子波函数 （1） 其中，归一化常数 （2） 的递推关系为 （3） EMBED Equation.3 3.9、利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12）） 证：A3.式（12）： 3.10、谐振子处于 态下，计算 ， ， 解：由题3—6）， 由题3—7）， 对于基态， ，刚好是测不准关系所规定的下限。 3.11、荷电q的谐振子，受到外电场 的作用， （1） 求能量本征值和本征函数。 解： （2） 的本征函数为 ， 本征值 现将 的本征值记为 ，本征函数记为 。 式（1）的势能项可以写成 其中 （3） 如作坐标平移，令 （4） 由于 （5） 可表成 （6） （6）式中的 与（2）式中的 相比较，易见 和 的差别在于变量由 换成 ，并添加了常数项 ，由此可知 （7） （8） 即 （9） (10) 其中 (11) 3.12、设粒子在下列势阱中运动， 求粒子能级。 解：既然粒子不能穿入 的区域，则对应的薛定谔方程的本征函数必须在 处为零。另一方面，在 的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的 和谐振子的 完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的薛定谔方程）。振子的具有 的奇宇称波函数在 处为零，因而这些波函数是这一问题的解（ 的偶宇称波函数不满足边条件 ）所以 3.13、设粒子在下列势阱中运动， (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。 解：薛定谔方程: (2) 对于束缚态（ ），令 (3) 则 (4) 积分 , ,得 跃变的条件 (5) 在 处，方程(4)化为 (6) 边条件为 因此 (7) 再根据 点 连续条件及 跃变条件(5)，分别得 (8) (9) 由（8）（9）可得（以 乘以（9）式，利用（8）式） (10) 此即确定能级的公式。下列至少存在一条束缚态能级的条件。 当势阱出现第一条能级时， ，所以 , 利用 , （10）式化为 , 因此至少存在一条束缚态能级的条件为 （11） 纯 势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为 ，对 ）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯 势阱的特征长度 。 条件（11）可改写为 （12） 即要求无限高势垒离开 势阱较远（ ）。才能保证 势阱中的束缚态能存在下去。显然，当 （即 ）， 时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时 ，式（10）给出 即 （13） 与势阱 的结论完全相同。 令 ， 则式（10）化为 （14） 由于 ，所以只当 时，式（10）或（14）才有解。解出根 之后，利用 ，即可求出能级 （15） 第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1、设 与 为厄米算符，则 和 也是厄米算符。由此证明，任何一个算符 均可分解为 ， 与 均为厄米算符，且 证：ⅰ） 为厄米算符。 ⅱ） 也为厄米算符。 ⅲ）令 ，则 ， 且定义 （1） 由ⅰ），ⅱ）得 ，即 和 皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 4.2、设 是 的整函数，证明 整函数是指 可以展开成 。 证： （1）先证 。 同理： 现在， 而 。 又 而 4.3、定义反对易式 ，证明 证： 4.4、设 ， ， 为矢量算符， 和 的标积和矢积定义为 ， 为Levi-civita符号，试验证 （1） （2） （3） 证： （1）式左端 （1）式右端也可以化成 。 （1）式得证。 （2）式左端 （ ） （2）式右端 故（2）式成立。 （3）式验证可仿（2）式。 4.5）设 与 为矢量算符， 为标量算符，证明 （1） （2） 证：（1）式右端 （1）式左端 （2）式右端 （2）式左端 4.6）设 是由 ， 构成的标量算符，证明 （1） 证： （2） （3） 同理可证， （4） （5） 将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。 4.7）证明 。 证： 利用基本对易式 即得 。 因此 其次，由于 和 对易，所以 因此， 4.8）证明 EMBED Equation.3 （1） （2） （3） （4） 证: （1）利用公式 ， ，有 其中 因此 （2）利用公式， （Δ） 可得 ① ② ③ 由①②③，则（2）得证。 （3） （4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2）， ， 其中 （即 ） 类似地。可以得到 分量和 分量的公式，故（4）题得证。 4.9）定义径向动量算符 证明： ， ， ， ， 证： ， 即 为厄米算符。 EMBED Equation.3 据4.8）（1）， 。 其中 ， 因而 以 左乘上式各项，即得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。 解：一维谐振子能量 。 又 奇， ， ， （由(3.8)、(3.9)题可知 ） ， ， 由测不准关系， 得 。 ，得 同理有 ， 。 谐振子（三维）基态能量 。 4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数 换成 （ 为氢原子系数）而 理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 ，在类氢原子中变为 。 类氢原子基态波函数 ，仅是 的函数。 而 ，故只考虑径向测不准关系 ， 类氢原子径向能量为： 。 而 ，如果只考虑基态，它可写为 ， 与 共轭，于是 ， ， （1） 求极值 由此得 （ ：玻尔半径； ：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，得 基态能量， 运算中做了一些不严格的代换，如 ，作为估算是允许的。 4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为 ，则有 为求 的平均值，我们注意到坐标算符 与 的对易关系： 。 这里已用到最基本的对易关系 ，由此 这里用到了 的厄米性。 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符 可以表示为两个厄米算符 和 的对易子 ，则在 或 的本征态中， 的平均值必为0。 4.13）证明在的本征态下， 。 （提示：利用 ，求平均。） 证：设 是 的本征态，本征值为 ，即 ， ， 同理有： 。 4.14) 设粒子处于 状态下，求 和 解：记本征态 为 ，满足本征方程 ， ， ， 利用基本对易式 ， 可得算符关系 将上式在 态下求平均，因 作用于 或 后均变成本征值 ，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 又 上题已证 。 同理 。 4.15)设体系处于 状态（已归一化，即 ），求 （a） 的可能测值及平均值; （b） 的可能测值及相应的几率； （c） 的可能测值及相应的几率。 解： ， ； ， 。 （a）由于 已归一化，故 的可能测值为 ，0，相应的几率为 ， 。平均值 。 （b） 的可能测值为 ， ，相应的几率为 ， 。 （c）若 ， 不为0，则 （及 ）的可能测值为： ， ，0， ， 。 1） 在 的空间， 对角化的表象中的矩阵是 求本征矢并令 ，则 ， 得， ， ， 。 。 ⅰ）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。 ⅱ）取 ，得 ，本征矢为 ，归一化后可得本征矢为 。 ⅲ）取 ，得 ，归一化后可得本征矢为 。 在 态下， 取 的振幅为 ， 取 的几率为 ； 取 的振幅为 ，相应的几率为 ； 取 的振幅为 ，相应的几率为 。总几率为 。 2） 在 的空间， 对角化表象中的矩阵 利用 ， ， ， 。 ，本征方程 ， ， ， ， ， 。 ⅰ） ， ， ， ， 本征矢为 。在 态下，测得 的振幅为 。几率为 ； ⅱ） ， ， ， ， ，本征矢为 。在 态下，测得 的振幅为 ，几率为 。 ⅲ） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得 几率为 。 ⅳ） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得 的振幅为 。几率为 ； ⅴ） ， ， ， ， ，本征矢为 ，在 态下，测得 的几率为 。 。 在 态中，测 （和 ）的可能值及几率分别为： 4.16）设属于能级 有三个简并态 ， 和 ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解： ， ， ， 。 是归一化的。 ， ， 。 它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。 4.17）设有矩阵 等，证明 ， ， ， ， ， 表示矩阵 相应的行列式得值， 代表矩阵 的对角元素之和。 证：（1）由定义 ， 故上式可写成： ， 其中 是 的任意一个置换。 （2） （3） （4） （5） 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量 不显含 ， 为本体系的Hamilton量，证明 证.若力学量 不显含 ，则有 , 令 则 , 5.2）设力学量 不显含 ，证明束缚定态， 证：束缚定态为:： 。 在束缚定态 ，有 。 其复共轭为 。 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 5.3） 表示沿 方向平移距离 算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数） , 是 的本征态，相应的本征值为 证： ,证毕。 5.4）设 表示 的本征态（本征值为 ），证明 是角动量 沿空间 方向的分量 的本征态。 证：算符 相当于将体系绕 轴转 角，算符 相当于将体系绕 轴转 角， 原为 的本征态，本征值为 ，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的 轴（开始时和实验室 轴重合）已转到实验室坐标系的 方向，即 方向， 变成了 ，即变成了 的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为 。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327） 5.5）设Hamilton量 。证明下列求和规则 。 是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。 证： （ ） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 。 不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。 5.6）设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1） 证：式（1）左端 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） 计算中用到了公式 。 由于 是厄米算符，有下列算符关系： （3） 式（2）取共轭 ，得到 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （4） 结合式（2）和（4），得 EMBED Equation.3 证毕。 5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动（沿 轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系： 。 （1） 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2） 证明schrödinger方程在 参照系中表为 在 参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释， 和 的意义完全相同。 ， 是 时刻在 点找到粒子的几率密度； ，是 时刻在 点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6） 从（1）式有 （6’） 由此可以得出， 和 两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7） 由（1）式， , , （3）式变为： （8） 将（7’）代入（8）式，可得 EMBED Equation.3 （9） 选择适当的 ，使得（9） （4）， 。 （10） （10’） 从（10）可得 。 （11） 是 的任意函数，将（11）代入（10’），可得 积分，得 。 为积分常数，但 时， 系和 系重合， 应等于 ，即 应等于 ，故应取 ，从而得到 （12） 代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律： （13） 逆变换为 （13’） 相当于式（13）中的 ，带 的量和不带 的量互换。 讨论： 的函数形式也可用下法求出： 因 和势能 无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在 和 系中的表现形式，即可确定 . 沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14） 据此， 系和 系中相应的平面波波函数为 ， （15） （1）、（14）代入（15），即得 此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 （1） 总动量 EMBED Equation.3 （2） 总轨迹角动量 （3） 总动能 （4） 反之，有 （5） ， （6） 以上各式中， 证： ， （17） ， （18） 相对动量 （1’） 总动量 （2’） 总轨迹角动量 由（17）、(18)可解出 ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能 （4’） ［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］. 6.2) 同上题，求坐标表象中 、 和 的算术表示式 EMBED Equation.3 ， 解： （1） 其中 ， 而 ， 同理， EMBED Equation.3 ； （利用上题（17）（18）式。） EMBED Equation.3 ；仿此可设 EMBED Equation.3 （2） 代入（1）中，得 （3） （4） 只要将（3）、（4）式中的 、 以相应的算符代入即可。 6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a）电子偶素（positronium，指 束缚体系） （b）u原子（muonic atom） （c）u子偶素（muonium，指 束缚体系） 解：由氢原子光谱理论，能级表达式为： , 。 （a）电子偶素能级 ，（ ） （b）u原子能级 ，（ ） （c）u子偶素能级 ，（ ） 6.4）对于氢原子基态，计算 。 解： * 在求坐标系中，空间反演： （ ）。 氢原子基态波函数为 （1） 宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 （2） 由于 各向同性，呈球对称分布，显然有 （3） 容易算出 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （4） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （5） 因此 EMBED Equation.3 ， （6） ， （7） （8） 测不准关系的普遍结论是 （9） 显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且 很接近式（9）规定的下限 。 6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区 （即 ）的几率。 解：氢原子基态波函数为 ， ， 相应的能量 动能 是经典不允许区。由上式解出为 。 因此，电子处于经典不允许区的几率为 （令 ） EMBED Equation.3 6.6）对于类氢原子（核电荷 ）的“圆轨迹”（指 的轨迹），计算 （a）最可几半径； （b）平均半径； （c）涨落 解：类氢原子中电子波函数 可以表示为 （1） （a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 （2） 决定。 时， 。 代入（2）式，容易求得 （4） 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 （b）在 态下，各 之间有递推关系（Kramers公式） (5) （参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197） 在（5）式中令 ，注意到 。可设 (6) 依次再取 ，得到 EMBED Equation.3 （7） （c） EMBED Equation.3 （8） 因此， 的涨落 EMBED Equation.3 （9） （10） 可见， 越大， 越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。 6.7）设电荷为 的原子核突然发生 衰变，核电荷变成 ，求衰变前原子 中一个 电子（ 轨迹上的电子）在衰变后仍然保持在新的原子 的 轨迹的几率。 解：由于原子核的 衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的 电子，其波函数仍未 （1） 而新原子中 电子的波函数应为 （2） 将 按新原子的能量本征态作线形展开： （3） 则衰变前的 电子在衰变后处于新原子的 态的几率为 （4） 因此，本题所求的几率为 EMBED Equation.3 （5） 展开时保留到第三项 当 ，上式可近似取成 （5’） 例如， , ； , 。 6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为 （ ） （1） 为Bohr半径，求价电子的能级。 提示：令 ，解出 解：取守恒量完全集为 ，其共同本征函数为 EMBED Equation.3 （2） 满足径向方程 （3） 令 （4） 式（3）就可以化为 （3’） 相当于氢原子径向方程中 换成 。所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为 ， ， （5） 将 换成 ，即得价电子的能级： ， （6） 通常令 （7） EMBED Equation.3 （8） 称为量子数 和 的“修正数”。由于 ，可以对式（4）作如下近似处理： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 略去 ，即得 （9） 由于 ， ，因此，本题所得能级 和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“ 简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数 随 之升高而减小，这一点和实验符合的极好。 式（4）的精确解为 （10） 若对上式作二项式展开，保留 项，略去 以上各项，即可得到式（9）。 6.9）在二维谐振子势 中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性（ ）的谐振子，求能级的简并度。（参 书卷ⅠP302-303） 解： 第七章 粒子在电磁场中的运动 7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场 和均匀磁场 中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》 ） 解：以电场方向为 轴，磁场方向为 轴，则 ， （1） 去电磁场的标势和矢势为 ， （2） 满足关系 ， 粒子的Hamiton量为 （3） 取守恒量完全集为 ，它们的共同本征函数可写成 （4） 其中 和 为本征值，可取任意函数。 满足能量本证方程： 因此 满足方程 （5） 亦即，对于 来说， 和 式等价： （6） 其中 （7） 式（6）相当于一维谐振子能量算符 再加上两项函数，因此本题能级为 （8） 其中 和 为任意实数， 式（4）中 为以 为 变量的一维谐振子能量本征函数，即 （9） 为厄密多项式， 。 7.2）设带电粒子在均匀磁场 和各向同性谐振子势 中运动，求能量本征值。 第八章 自 旋 8.1) 在 表象中，求 的本征态。 解：在 表象中， 的矩阵表示为： EMBED Equation.3 设 的本征矢（在 表象中）为 ，则有 可得 及 。 则 EMBED Equation.3 则 利用归一化条件，可求出 的两个本征态为 。 8.2) 在 表象中，求 的本征态， 是 方向的单位矢. 解：在 表象中， 的矩阵表示为 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 （1） 因此， （2） 设 的本征函数表示为 EMBED Equation.3 ，本征值为 ，则本征方程为 ，即 （3） 由（3）式的系数行列式 ，可解得 。 对于 ，代回（3）式，可得 归一化本征函数用 表示，通常取为 或 （4） 后者形式上更加对称，它和前者相差因子 ，并无实质差别。若用 的直角坐标分量来表示，可以取为 或 （4’） 如 ，二者等价（仅有相因子的差别）。若 ，应取前者；若 ，应取后者。 对于 类似地可以求得 或 （5） 或 或 （5’） 若 ，取 ; 若 ，取 。 8.3) 在 本征态 下，求 和 。 解： EMBED Equation.3 但 （常数矩阵）， ， EMBED Equation.3 ，类似有 EMBED Equation.3 。 8.4) （a）在 本征态 下，求 的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处 于 的自旋态下，求 的各分量的可能测值及相应的几率以及 的平均值。 解：（a）利用8.2）题求得 的本征函数，容易求出：在自旋态 中， 的几率为 （1） 的几率为 （2） （b）在自旋态 EMBED Equation.3 态， 的几率为 （3） 的几率为： （4） EMBED Equation.3 [或 EMBED Equation.3 （5’）] 考虑到 ， 各分量以及 各分量在 的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作 轮换，就可推论出以下各点： 的几率为 ， （6） （7） 的几率为 （8） （9） 将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下： 自旋态 EMBED Equation.3 中， （10） 类似地，容易算出：自旋态 EMBED Equation.3 中， （11） 解二：（a）在 自旋态 中， 的可能测值为本征值 设相应的几率为 及 ，则 （12） 由于 （13） 考虑到在 的本征态中 和 的平均值为 ， 的平均值即为其本征值，因此在 态下， （14） 由式（12）、（14），并利用 ，就可求出 ， （15） 此即解一中的式（1）、（2）。 （b）在式（14）中， 是 轴和 的夹角。 轴和 的选取是任意的。完全可以将原来的 轴作为新的 轴，而原来的 取作新的 轴。由此可知：在 的自旋态中， 的平均值仍为 ，即 。再令 轮换，即得自旋态 EMBED Equation.3 中， （10） 在 态下 各分量的取值大部分当然均为 ，其几率也可估照（a）中计算而写出，即 的几率为 （6） 的几率为 （8） 的几率为 （3，4） 8.5) 证明 （ 为常数）[量Ⅱ] 8.7）由两个非全同粒子（自旋均为 ）组成的体系，设粒子间相互作用表为 （不考虑轨迹运动）。设初始时刻（ ）粒子1自旋“向上” ，粒子2自旋“向下” 。求时刻 时， (a) 粒子1自旋向上的几率（答： ，取 ） (b) 粒子1和2的自旋向上的几率（答： ） (c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是 ） (d) 求和的平均值（答： ， ， ）。 解：从求体系的自旋波函数入手，由于 （1） 易见总自旋 是守恒量，所以定态波函数可以选为 、 的共同本征函数，按照总自旋量子数 的不同取值，本征函数和能级为 （2） 时，体系的自旋态为 （3） 因此， 时波函数为 （4） 即 （4’） (a）由式（4’）可知，在时刻 ，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于 项］的几率为 。 (b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于 ，式（4’）中没有这种项］的几率为 。这是容易理解的。因为总自旋 为守恒量，而体系初态 ，所以任何时刻 必为0，不可能出现两个粒子均“向上” 的情形。 (c)由式（4）可知，总自旋量子数 取 和 的几率相等，各为 。由于 守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出 和 的平均值为 （5） 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（ ）与轨迹角动量（ ）耦合成总角动量 的波函数 ，这相当于 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 解：8.2节式（21a）（21b）: EMBED Equation.3 （21a） EMBED Equation.3 （21b） 此二式中的 相当于CG系数中的 ，而 , 。 因此，（21a）式可重写为 EMBED Equation.3 （21a’） 对照CG系数表，可知：当 , 时 ， 而 时， 对于 的（21b）式，有 9－2）设两个全同粒子角动量 ，耦合成总角动量 ， EMBED Equation.3 （1） 利用 系数的对称性，证明 由此证明，无论是Bose子或Fermi子， 都必须取偶数 证：由式（1）， EMBED Equation.3 把 , 利用 系数的对称性 (2) 对于Fermi子， 半奇数， 奇数，但要求 ， 即要求 ，所以 必须为偶数。 ，（ 情况，只能构成交换对称态，为什么？）因此 可验证：态 的总数为 。 [ ]。 对于Bose子， 整数， 偶数，但要求 即 ，故 也必须为偶数 9－3）设原子中有两个价电子，处于 能级上，按 耦合方案， ， ， （总角动量） 证明： （a） 必为偶数； （b） 。当 时， （偶）； 时， ， 可以为奇，也可以为偶。 证： 自旋的耦合： ， 轨迹角动量的耦合： ， 其中 偶是对称态， 奇是反对称态，总的波函数（对于交换全部坐标，包括自旋）要求反对称，所以 时， 时， 在两种情况下， 都为偶数，但 对于 ， 偶； ， 。 可以为奇，也可以为偶 ［讨论本题结论与题9－2有无矛盾？（按 耦合方案，似乎 必为偶数）。提示：在本题中，若用 耦合来分析， ？是否只有一个 值？两种耦合方案得出的态数是否相等？］ 9－4）大小相等的两个角动量耦合成角动量为 的态 ， 证明 EMBED Equation.3 的几率却相等，即 。 提示：利用 （P235，式（23）） 证：Dirac符号表示，有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 （1） 在本题的情况下， ， ， 。 则（1）成为 EMBED Equation.3 （2） 其中 即为耦合表象中的态 用无耦合表象基矢展开时的展开式系数—CG 系数，其模即表示体系处于 态时，测得 取值 （同时 取值 ， 取 各可能值）的几率。 由提示， （3） （4） 即，对于给定的 所合成的态 ， EMBED Equation.3 的几率与 的具体取值无关，皆为 。 9－5）设 ，在 态下，证明（取 ） ， EMBED Equation.3 证：（参剖析，8.68等） 9－6）在 表象(以为 基矢)中， 的子空间的维数为3，求 在此三维空间中的矩阵表示，再利用矩阵求出 的本征值和本征态 解：在 表象中， 的子空间中的基矢为 EMBED Equation.3 ， 。由于 。 对于本题，以上方式中 ， ， ， 不难求得 。 在此三维空间中的矩阵表示为［ 表象］ （1） 设 的本征值为 EMBED Equation.3 ，本征矢为 ，则本征方程为 （2） 此方程有非平庸解的条件为系数行列式等于零，由此可解得本征值： . （3） 将 代入（2），可得 ， ， 。 由此得 ， 归一化 ，取 。 （4） 同理，将 分别代入（2），可求得 ； 。 第十章 定态问题的常用近似方法 10－1) 设非简谐振子的Hamilton量表为 （ 为实常数） 用微扰论求其能量本征值（准到二级近似）和本征函数（准到一级近似）。 解：已知 ， ， ， 计算一级微扰： EMBED Equation.3 。 （也可由 EMBED Equation.3 （奇）直接得出） 计算二级微扰，只有下列四个矩阵元不为 ： 计算 ： 又 ， ， ， ， 10－2) 考虑耦合振子， 参 书.下册§9.2 （ 为实常数，刻画耦合强度） （a）求出 的本征值及能级简并度。 （b）以第一激发态为例，用简并微扰论计算 对能级的影响（一级近似）。 （c）严格求解 的本征值，并与微扰论计算结果比较，进行讨论。 提示：作坐标变换，令 ， ，则 可化为两个独立的谐振子， 称为简正坐标。 解：（a） 的本征函数和本征值可分别表为 （1） ， （2） 令 （3） 则能量表示式可改为 ， （4） 由式（3）可以看出，对于 情况。能级是简并的，简并度为 。 （b） 为第一激态（基态 ），能级为二重简并， 能量本征值为 相应的本征函数为 与 （或考虑它们的线形迭加），分别记为 和 。利用 不难得出： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （实） （5） 代入方程 得 解之，得 因此，原来二重简并的能级 变成两条，能量分别为 （6） 能级简并被解除，类似还可求出其他能级的分裂，如图所示。 （c）严格求解如下： 令 ， （7） 其逆变换为 ， （7’） 易证： （8） 因此，S.eq: （9） 变为 （10） 令 ， 即 （11） 于是方程（10）变为 （12） 是二彼此独立的谐振子，所以可以取 ， ， （13） 相应的能量为 （13） 当 时，由（11）式，得 此时 （14） （第一激发态）的情况下，可有 与 两种情况（二简并态），相应的能量分别为 ， 能级分裂 与微扰论计算结果一致。 10－3) 一维无限深势阱 中的粒子，受到微扰 作用 求基态能量的一级修正。 解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为 ， ， 基态 ， ， 基态能量的一级修正为 作变换 ， ， ； ， ， 。 代入上式完成积分， EMBED Equation.3 。 10－4) 实际原子核不是一个点电荷，它具有一定大小，可近似视为半径为 的均匀分 球体它产生的电势为 为核电荷，试把非点电荷效应看成微扰， 计算原子的 能级的一级微扰修正。 解：.类氢离子中 轨迹电子波函数为 为波尔半径， 能级的微扰论一级修正为 EMBED Equation.3 由于核半径 远小于原子半径 ，积分时可取 从而求出 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 其中 为类氢离子的基态能级。 10－5) 设氢原子处 能级，求它的Stark分裂。 提示：参阅10.2节中例1。注意 能级简并度为9，考虑到微扰 相应的选择定则，此9维空间可以分解为若干个不变子空间。 解：加电场前，能级共对应有9个状态。零级波函数形式为 （1） 的9个态分别记为： EMBED Equation.3 ； ， ； EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 ； （2） 视外电场为微扰，微扰作用势 （3） （4） 将 写成 ， 。 （5） 由于 ，所以 作用于 的结果，磁量子数 不变。又因为 （6） （6’） 作用于 ，量子数 将改变 。因此在计算微扰矩阵元 中，只有 ， ， ， 不为零。 先算径向积分： ， 再求出： ， ， ， 。 再代入方程 ，得 即 。 （由 ，解得 ） （由 ，解得 ） 结果， 的能级分裂成五条： ， ， ， ， 。 10－6) 设 ， ， （ 为实数） 用微扰论求解能级修正（准到二级近似），并与严格解（把 矩阵对角化）比较。 解：（1）由 表达式可见，微扰哈密顿的矩阵元为 ， 代入能量的微扰论二级近似公式 得 ， （2）直接求能量。设 的本征矢为 ，对应的本征值为 ，则本征方程为 即 有非零解的条件为 即 这是关于 的二次方程，其解为 以上的近似符合定态微扰论的要求， ， 即微扰矩阵元小于能级差。上式分开 号再写一步，得能级的二级近似 ， 这与（1）中用微扰论公式求得的结果完全一致。 10－7) 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为 ， 为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。 解：设基态波函数 ，归一化，得 ， 取 ， 。 EMBED Equation.3 （1） 由 ， 得 考虑 在 处要求有限的条件，取 （2） 代入式（1），得谐振子（一维）基态能量 与严格解求得的结果完全一致。 10－8) 对于非谐振子， ，取试探波函数为 （与谐振子基态波函数形式相同）， 为参数，用变分法求基态能量。 解： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （1） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） （3） 由 ，得 ， 解得 （4） 代入（3），得基态能量 （5） 10－9) 氢原子基态试探波函数取为 ， （Bohr半径）， 为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。 解： 10－10) 设在氘核中的质子与中子的相互作用表成 ，（ ）。设质子与中子相对运动波函取为 ， 为变分参数，用变分法计算氘核得基态能量。 解：取 ， （1） 归一化， ， 得 （2） （而Hamilton量为 ） 因此 （3） 其中 为质子－中子体系的约化质量，即 由极值条件 ，求得 最佳值满足的方程： （4） 给定了上式右端各参数值之后，可用数值法求出 的最佳值，相应的 最小值可以表成 （5） 式（4）中， 由式（4）求得 最佳值为 （6） 代入（5）式，即得 （7） 氘核基态能级的实验值为 ，二者相差约 % 。 式（1）作为基态波函数的近似表达式，虽不十分准确，但简明易算。例如，由式（1）易得基态最可几半径为 [ ] （8） 和公认的数值基本一致。最可几半径由径向几率密度的极值条件决定，即满足 （9） 由式（1）还可求出基态平均半径为 （10） 第十一章 量子跃迁 11—1）荷电 的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为 ，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。 11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用 。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取 沿 轴方向来计算）。 解：令 （6） 初始条件（5）亦即 （5） 用式（6）代入式（4），但微扰项 中 取初值 （这是微扰论的实质性要点！）即得 以 左乘上式两端并全空间积分，得 再对 积分，由 ，即得 （7） 因此 时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到 态的几率为[可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式] （8） 根据选择定则 ，终态量子数必须是 即电子只能跃迁到各 态 ，而且磁量子数 。 跃迁到各激发态的几率总和为 （9） 其中 （ 为奇宇称） EMBED Equation.3 （10） 为Bohr半径，代入式（9）即得 （11） 电场作用后电子仍留在基态的几率为 （12） 11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton量 表为（能量表象） , , 设 时刻体系处于基态，后受微扰 作用， , 求 时刻体系处于激发态的几率。 解： 时，体系 ，其矩阵表示（ 表象）为 （1） 设 的本征函数为 （2） 代入本征方程 （3） 得到 （4） 上式存在非平庸解的条件为 由此解出 （5） 令 ， ， （6） 式（5）可以写成 （5’） 当 ，由式（4）求得 取 ，即得相应的能量本征函数（未归一化）为 （7） 当 ，类似可求得 （8） 时，体系的初始状态为 （9） 其中 （10） 因此 时波函数为 （11） 以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得 （12） 体系处于 态的几率为 （13） 11—4）自旋为 的粒子，磁矩为 ，处于沿 轴方向的常磁场 中，初始时刻粒子自旋向下 。后来加上沿 轴方向的常磁场 EMBED Equation.3 。求 时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符 ，与外磁场的的作用 ） 解：粒子的磁矩算符可表示成 （1） 为泡利算符，磁场对粒子的作用势为 （2） 在 表象中， 的矩阵表示为 （2’） 以下求 的本征值和本征函数，设本征函数为 （3） 本征方程为 ，则 （4） 能级方程为 （5） 令 ， ， （6） 由式（5）容易解出 （7） 将 之值代回式（4），即可求出如下本征函数： （8） 注意，这两个本征函数并未归一化。 将 时的初始波函数按能量本征函数展开， （9） 因此， 时波函数 （10） 注意 满足归一化条件 在时刻 ，测得粒子自旋“向上” 的几率为 （11） 本题可以视为11—3）题的一个实例。 第十二章 散射 12－1) 对低能粒子散射，设只考虑 波和 波，写出散射截面的一般形式。 解： 只考虑 波和 波，则只取 ，于是 ， 代入上式，得 其中 ， ， 。 12－2) 用波恩近似法计算如下势散射的微分截面： （a） （b） （c） （d） 解：本题的势场皆为中心势场，故有 ， （1） （1） （a） （b） （3） 其中 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （4） 类似地可求得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （5） （4）、（5）代入（3），得 （6） 代入（2），得 （7） （c） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由此解得 EMBED Equation.3 （8） 代入（2），解得 （9） 将 代入§12.3.2式（18）， ，得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （10） 可见， 与 均无关，是各项同性的， EMBED Equation.3 。 12－3) 计算低能粒子散射截面（只考虑 波），设粒子自旋为 ，相互作用为 （1） 入射粒子和靶粒子均未极化。 提示：计及粒子的全同性，对于 态（ ，空间波函数对称），两粒子自旋之和必为 （单态），所以 （1’） 解：自旋为 的二全同粒子体系的总波函数必须是交换反对称的， 波（ ）波函数是两粒子空间坐标的对称函数，所以自旋波函数必须是反对称的，即为自旋单态，因此，体系总自旋为 ， 亦即，对于低能 波散射，式（1）等价于球方势阱 （1’） 在质心系中， 波空间波函数可以写成 （2） 其中 为两粒子的相对距离，即 时。径向方程为 （3） 亦即 （3’） 其中 （4） 为粒子质量， 为两粒子体系的约化质量。 方程（3’）满足边界条件 的解为 （5） 其中 为散射密度（待定）， 即散射振幅，利用 处 的连续条件，求得 EMBED Equation.3 （6） EMBED Equation.3 （7） 由于是全同粒子散射， 波微分截面为 EMBED Equation.3 （8） 总截面（自旋单态， 波）为 （9） 考虑到入射粒子和靶粒子都是未极化的，自旋指向取随机分布，两粒子形成自旋单态 的几率为 ，形成自旋三重态 的几率为 ，后若对 波散射无贡献。因此，有效的总截面为 （10） 在不发生共振散射的条件下，散射振幅和散射截面均和入射能量无关，这是低能散射的特点。 共振散射的条件为 ，亦即（参考式（6）） （11） 这正是势阱的“阱口”出现束缚能级 的条件，这时式（9）和（10）应改为 （12） 其中 为实验室坐标系中入射中子动能， 为质心系中总动能， 。 PAGE 59 _1146031112.unknown _1146048729.unknown _1146232202.unknown _1146250386.unknown _1146313057.unknown _1148971019.unknown _1148990654.unknown _1149257041.unknown _1149260747.unknown _1208592628.unknown _1211109650.unknown _1233829449.unknown _1234531906.unknown _1234549349.unknown _1212049184.unknown _1208592667.unknown _1209104968.unknown _1209105069.unknown _1208592746.unknown _1208592644.unknown _1149271269.unknown _1149271536.unknown _1149448607.unknown _1149431900.unknown _1149271485.unknown _1149270380.unknown _1149270428.unknown _1149270088.unknown _1149259568.unknown _1149260060.unknown _1149260170.unknown _1149259784.unknown _1149258013.unknown _1149258084.unknown _1149257959.unknown _1148997171.unknown _1148998487.unknown _1148998600.unknown _1149256450.unknown _1148998582.unknown _1148998234.unknown _1148998323.unknown _1148997295.unknown _1148996420.unknown 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