曾谨言量子力学答案ch5

第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量 不显含 ， 为本体系的Hamilton量，证明 证.若力学量 不显含 ，则有 , 令 则 , 5.2）设力学量 不显含 ，证明束缚定态， 证：束缚定态为:： 。 在束缚定态 ，有 。 其复共轭为 。 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 。 5.3） 示沿 方向平移距离 算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数） , 是 的本征态，相应的本征值为 证： ,证毕。 5.4）设 表示 的本征态（本征值为 ），证明 是角动量 沿空间 方向的分量 的本征态。 证：算符 相当于将体系绕 轴转 角，算符 相当于将体系绕 轴转 角， 原为 的本征态，本征值为 ，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的 轴（开始时和实验室 轴重合）已转到实验室坐标系的 方向，即 方向， 变成了 ，即变成了 的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为 。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327） 5.5）设Hamilton量 。证明下列求和规则 。 是 的一个分量， 是对一切定态求和， 是相应于 态的能量本征值， 。 证： （ ） EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 。 不难得出，对于 分量，亦有同样的结论，证毕。 5.6）设 为厄米算符，证明能量表象中求和规则为 （1） 证：式（1）左端 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2） 计算中用到了公式 。 由于 是厄米算符，有下列算符关系： （3） 式（2）取共轭 ，得到 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （4） 结合式（2）和（4），得 EMBED Equation.3 证毕。 5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系 的速度 相对于惯性参照系 运动（沿 轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系： 。 （1） 势能在两个参照系中的表示式有下列关系 （2） 证明schrödinger方程在 参照系中表为 在 参照系中表为 其中 证：由波函数的统计解释， 和 的意义完全相同。 ， 是 时刻在 点找到粒子的几率密度； ，是 时刻在 点找到粒子的几率密度。 但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即 （6） 从（1）式有 （6’） 由此可以得出， 和 两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以 （7） （7） 由（1）式， , , （3）式变为： （8） 将（7’）代入（8）式，可得 EMBED Equation.3 （9） 选择适当的 ，使得（9） （4）， 。 （10） （10’） 从（10）可得 。 （11） 是 的任意函数，将（11）代入（10’），可得 积分，得 。 为积分常数，但 时， 系和 系重合， 应等于 ，即 应等于 ，故应取 ，从而得到 （12） 代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律： （13） 逆变换为 （13’） 相当于式（13）中的 ，带 的量和不带 的量互换。 讨论： 的函数形式也可用下法求出： 因 和势能 无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在 和 系中的表现形式，即可确定 . 沿 方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为 （14） 据此， 系和 系中相应的平面波波函数为 ， （15） （1）、（14）代入（15），即得 此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于 和 系的相对速度 ，而与粒子的动量 无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。 PAGE 5 _1145557726.unknown _1145648411.unknown _1145649537.unknown _1145653429.unknown _1145681269.unknown _1146033067.unknown _1146033567.unknown _1146033847.unknown _1146034126.unknown _1146041394.unknown _1146041416.unknown _1146034478.unknown _1146034477.unknown _1146033912.unknown _1146034062.unknown _1146033875.unknown _1146033620.unknown _1146033696.unknown _1146033792.unknown _1146033149.unknown _1146033179.unknown _1146033295.unknown _1146033363.unknown _1146033150.unknown _1146033090.unknown _1146033103.unknown _1146033078.unknown _1146032178.unknown _1146032464.unknown _1146032693.unknown _1146032803.unknown _1146032823.unknown _1146032838.unknown _1146032872.unknown _1146032813.unknown _1146032789.unknown _1146032600.unknown _1146032672.unknown _1146032534.unknown _1146032375.unknown _1146032454.unknown _1146032332.unknown _1146031648.unknown _1146032124.unknown _1146032161.unknown _1146032114.unknown _1145709159.unknown _1146031627.unknown _1145681427.unknown _1145680601.unknown _1145680642.unknown _1145680841.unknown _1145680842.unknown _1145680696.unknown _1145680712.unknown _1145680613.unknown _1145680222.unknown _1145680275.unknown _1145680482.unknown _1145680488.unknown _1145680446.unknown _1145680259.unknown _1145653643.unknown _1145653979.unknown _1145679556.unknown _1145653941.unknown _1145653967.unknown _1145653485.unknown _1145653506.unknown _1145653465.unknown _1145652426.unknown _1145652928.unknown _1145653143.unknown _1145653250.unknown _1145653271.unknown _1145653206.unknown _1145652986.unknown _1145653076.unknown _1145652590.unknown _1145652725.unknown _1145652753.unknown _1145652801.unknown _1145652657.unknown _1145652492.unknown _1145652536.unknown _1145652448.unknown _1145650414.unknown _1145650607.unknown _1145652218.unknown _1145650571.unknown _1145649729.unknown _1145649865.unknown _1145649572.unknown _1145648846.unknown _1145649073.unknown _1145649212.unknown _1145649115.unknown _1145649188.unknown _1145649010.unknown _1145649033.unknown _1145649042.unknown _1145649016.unknown _1145648899.unknown _1145648564.unknown _1145648609.unknown _1145648631.unknown _1145648592.unknown _1145648441.unknown _1145648477.unknown _1145648430.unknown _1145647489.unknown _1145648133.unknown _1145648314.unknown _1145648355.unknown _1145648362.unknown _1145648336.unknown _1145648219.unknown _1145647853.unknown _1145648065.unknown _1145648080.unknown _1145648095.unknown _1145647835.unknown _1145647594.unknown _1145647666.unknown _1145647755.unknown _1145647506.unknown _1145647347.unknown _1145647403.unknown _1145647448.unknown _1145647366.unknown _1145557885.unknown _1145647213.unknown _1145557834.unknown _1145557038.unknown _1145557308.unknown _1145557532.unknown _1145557629.unknown _1145557452.unknown _1145557206.unknown _1145557249.unknown _1145557185.unknown _1145556788.unknown _1145556854.unknown _1145556979.unknown _1145556807.unknown _1145556620.unknown _1145556719.unknown _1145556569.unknown _1145556609.unknown _1145543642.unknown