高中数学联合竞赛模拟试题15套全国高中数学联赛模拟试题1

http://jmtlf.nease.net 全国高中数学联赛模拟试（一） （命题人：吴伟朝） 第一试 1、 选择题：（每小题6分，共36分） 1、 方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是 （A）1 （B）3 （C）4 （D）5 2、 函数 （x∈R，x≠1）的递增区间是 （A）x≥2 （B）x≤0或x≥2 （C）x≤0 （D）x≤ 或x≥ 3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，则l的方程为 （A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0 （C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0 4、 若方程cos2x＋ sin2x＝a＋1在 上有两个不同的实数解x，则参数a的取值范围是 （A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1 （C）a＜1 （D）0＜a＜1 5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是 （A）42 （B）45 （C）48 （D）51 6、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2​,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排列的个数是 （A）8 （B）10 （C）14 （D）16 2、 填空题：（每小题9分，共54分） 1、[x]表示不大于x的最大整数，则方程 ×[x2＋x]＝19x＋99的实数解x是 ． 2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ． 3、数799被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC中，∠A＝ ，sinB＝ ，则cosC＝ ． 5、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2－1＝0的两个根为sin和cos，则的取值范围是 ． 6、数 （n∈N）的个位数字是 ． 3、 （20分） 已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1． 求证：x(1－2x)(1－3x)＋y(1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件． 4、 （20分） （1） 求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数． （2） 试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根． 5、 （20分） 试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都有cos2＋xcos＋y≥0}之中． 第二试 一、（50分） 设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0． 求证： 的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0． 二、（50分） 如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证： （1） AK⊥BC； （2） ，其中 表示△ABC的面积． 三、（50分） 给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程： ． 确定和式 的值（写成关于n的最简式子）． 参考 第一试 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A B D 二、填空题： 1、 或 ； 2、7×2n-1​​－n2－2n－3； 3、343； 4、 ； 5、{|＝2n＋或2n－ ，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）． 三、证略，等号成立的条件是 或 或 或 ． 四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的可能取值有－3，11，－1，9． 五、rmax＝ ． 第二试 一、证略（提示：直接解出 ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）． 二、证略（提示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则 ＝AR＞AT＞AQ＝AP，对于AK＜AP，可证∠APK＜∠AKP）． 三、 ． C A B D Q K P 第 1 页 共 4 页 _1130482812.unknown _1132239474.unknown _1132239953.unknown _1132240208.unknown _1132240766.unknown _1132241065.unknown _1132240367.unknown _1132239971.unknown _1132239901.unknown _1132239944.unknown _1132239527.unknown _1130485265.unknown _1132239321.unknown _1132239360.unknown _1131087587.unknown _1130484340.unknown _1130484633.unknown _1130483014.unknown _1130481773.unknown _1130482376.unknown _1130482794.unknown _1130481797.unknown _1130481521.unknown _1130481522.unknown _1130481374.unknown _1116271170.unknown