高等数学教案第5章 定积分5.4.1无穷限的广义积分

5.4.1无穷限的广义积分 前言，在前面所讨论的是定积分中，都假定积分区间[a,b]是有限的，且 f(x)也是有界的，但是，在实际问题中，常会遇到积分区间是无限的，或者积分区间虽是有限，而被积函数在积分区间上出现了无界的情形，本节介绍的就是这两类积分的概念和计算方法。 一、 无限区间上的广义积分 1、引例 求曲线y= , x轴及直线x=1 右边所围成的 “开口曲边梯形”的面积（图5-11） 说明：这个图形不是封闭的曲边梯形，它在X轴的正方向 是开口的，这时积分区间是无限区间[1，+]，不能用前面 所学的定积分来计算它的面积。 怎么办：任意取一个大于1的数t，在[1，t]上，曲线y= 围成的曲边梯形面积为 显然：当t改变时，曲边梯形的面积也随之改变， 此极限值就表示了所求“开口曲边梯形”的面积。 2、 定义1：设函数f(x)在区间（a,+∞）内连续，对于任意给定的t>a，积分都存在，它是t 的函数，如果极限存在，则称此极限值为函数f(x)在无限区间[a,+]上的广义积分，记为 即：= 说明： 1   若存在，也称收敛 若不存在，也称发散 ② ∵ 而是f(x)的原函数。∴就是原函数当x->＋时的极限。 定义2： 如果f(x)在（-,b］上连续。则 　　 　 定义３：如果f(x)在（－，＋）上连续，则 当均收敛时，收敛， 当有一个发散，发散 设Ｆ（x）是f(x)的一个原函数，则记，Ｆ（＋）＝.Ｆ（-）＝. 于是有： 　　　　　 　 说明：从形式上看，上列三个式子与定积分的牛顿—莱布尼兹公式相似，但应注意，Ｆ（＋）和F（－∞）是极限，广义积分是否收敛，取决于这些极限是否存在。 二、例题解析 例１、 求 解：　＝= 这一结果的几何意义是曲线 y与Ｘ轴之间的图形 虽然可以现两边无限延伸但有有限的面积 例２、讨论广义积分的收敛性（a>0） 解：当p=１时， ＝=+ 当p时 ＝＝ 　　　　 因此，广义积分，当p>1时收敛　　当p≤1时发散 例３、讨论广义积分的收敛性 　解：因为极限不存在，所以，广义积分发散   例４、求 解： 　 因为 所以广义积分 注意这里当x->时，原函数的极限也是，只要指明有一个不存在，按定义即知广义积分发散 ��� � � �� � 1  � � �� � �� � � �� � � �� � �    � � (0,1)� � PAGE 1