第3章 随机变量的数字特征、概率生成函数、特征函数(硕士)

第3章随机变(向量)的数字特征、生成函数、特征函数概率论.随机变量的数学期望MathematicalExpectation以频率为权重的加权平均，反映了这7位同学高数成绩的平均状态。一、引例某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为.二、数学期望的定义离散型随机变量Def设离散型随机变量的概率分布为连续型随机变量Def设连续型随机变量的概率密度为，若广义积分.随机变量数学期望所反应的意义例3.1已知随机变量X的分布律为求数学期望解：由数学期望的定义例3.2已知随机变量X的分布律为求数学期望解：由数学期望的定义4561/41/21/401....例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望..二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(X,Y)为二维离散型随机变量(X,Y)为二维连续型随机变量.例3.8设(X,Y)的联合密度为解：..随机变量函数的数学期望1.一元随机变量函数的情况设离散型连续型.2.二元随机变量函数的情况离散型连续型.例3.9例3.10设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为..随机变量数学期望的性质1.设C是常数，则E(C)=C；2.若k是常数，则E(kX)=kE(X)；3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；4.设X，Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立：这里只证明行至3,4.利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。.例3.12设随机变量X~B(n,p)，求二项分布的数学期望。X~B(n,p)，则X示n重贝努里试验中的“成功”次数。解：.随机变量的方差Variance随机变量方差的定义方差的计算均方差（差）.离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型设连续型随机变量X的分布密度为f(x)方差的统计意义随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例3.11已知随机变量X的分布律为求方差解：01.....方差的性质1.设C是常数，则D(C)=0；2.若a，b是常数，则3.证明:例3.16.解：.随机变量的矩与中位数随机变量的矩原点矩与中心矩(OriginandCentralmoment)Def设X是随机变量，若存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数(Median)Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差.随机变量的偏度与峭度.随机变量的条件数学期望与应用一、条件数学期望的概念1.Def设随机变量的条件分布存在，则条件数学期望定义如下2.随机变量的条件数学期望的意义.所以，注意：条件数学期望具有数学期望的所有性质.二、条件数学期望的数学期望（重期望）为重期望，即定理（重期望公式）设为二维随机向量，且存在，则有证明：只对连续性情况证明.重期望公式的应用这公式提供了一个在大范围求平均的一种思想方法，即所谓的两次平均法.例3.18一名矿工被困在矿井有三个门的位置，第一个门与一个经3小时路程可到达安全区的坑道连接；第二个门与一个经5小时路程可回到原处的坑道连接；第三个门与一个经7小时路程可回到原处的坑道连接。假定该矿工等可能在三个门种选择，求他平均需要多少时间才能到达安全区。显然有由重期望计算式解的解得.（单位：万千瓦）。如果工厂从电力公司得到足够的电力则每万千瓦电力可创造30万元的利润，如工厂从电力公司得不到足够的电力，不足部分通过其他途径解决，但每万千瓦电力可创造10万元的利润，求该工厂每月的平均利润.解：设该工厂每月的利润为，则有.重期望公式知该工厂的约平均利润为.随机变量的条件方差与性质..随机变量间的的协方差与相关系数CovarianceandCorrelationcoefficient随机变量间协方差与相关系数Def协方差的定义相关系数的定义Def.随机变量间协方差的计算离散型连续型注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。.例3.20解：边际分布如表0123103/83/803/431/8001/81/41/83/83/81/8.解：边际概率密度为.随机变量间协方差与相关系数的性质性质6,7说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。.证明:随机变量间线性无关的概念Def.例3.22解：这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。-1011/31/31/301-11/30001/311/30.随机变量的概率生成函数......随机变量的特征函数一、随机变量特征函数的定义与计算特征函数的计算设离散型随机变量的概率分布为则随机变量的特征函数为设连续型随机变量的概率密度为则随机变量的特征函数为.例3.24例3.25.例3.26例3.27.二、随机变量特征函数的性质...例3.28例3.29.例3.30.例3.31.三、特征函数的性质续....三、逆转公式与唯一性定理....例3.32.