常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷1、填空题。1.方程是阶（线性、非线性）微分方程.2.方程经变换，可以化为变量分离方程.3.微分方程满足条件的解有个.4.设常系数方程的一个特解，则此方程的系数，，.5.朗斯基行列式是函数组在上线性相关的条件.6.方程的只与有关的积分因子为.7.已知的基解矩阵为的，则.8.方程组的基解矩阵为　　　　　　　　　　　．9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.  10.是满足方程和初始条件        的唯一解. 11.方程的待定特解可取         的形式:       12.三阶常系数齐线性方程的特征根是2、1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.2．求解方程.3.求解方程。4．用比较系数法解方程..    5．求方程的通解.6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.7．设，，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解.8.求方程通过点的第二次近似解.9.求的通解10.若试求方程组的解并求expAt三、证明题1.若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.2.设是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和没有共同的零点;(iii) 和没有共同的零点.4.试证：如果是满足初始条件的解，那么.一.填空题。1.二，非线性2.，3.无穷多4.5.必要6.7.8.9.10.11.12.1,二、计算题1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.解:设曲线方程为,切点为(x,y),切点到点(1,0)的连线的斜率为,则由题意可得如下初值问题:.                               分离变量,积分并整理后可得.           代入初始条件可得,因此得所求曲线为 .  2.求解方程.解：由求得令则有令，解得,积分得,故原方程的解为.3.求解方程解 令，直接计算可得，于是原方程化为 ，故有或，积分后得，即，所以 　就是原方程的通解，这里为任意常数。4.用比较系数法解方程..   解：特征方程为,特征根为. 对应齐方程的通解为.              设原方程的特解有形如                    代如原方程可得利用对应系数相等可得,故.                原方程的通解可以表示为(是任意常数) .5.求方程的通解.解：先解得通解为,令为原方程的解，代入得,即有,积分得,所以为原方程的通解.6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.解：由于，因为所以原方程为恰当方程.把原方程分项组合得,或写成,故原方程的通解为.7．设，，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解.解：特征方程为求得特征值,对应的特征向量分别为可得一个基解矩阵，又因为，于是，所求的解为8.求方程通过点的第二次近似解.解:令，于是9.求的通解解：方程可化为，令则有（*），（*）两边对y求导得，即，由得，即.将y代入（*）得，即方程的含参数形式的通解为：，p为参数；又由得代入（*）得也是方程的解.10.若试求方程组的解并求expAt解：特征方程，解得，此时k=1,。，由公式expAt=得三、证明题1.若是的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵，使得.证：是基解矩阵，故存在，令，则可微且，易知.所以而，所以,（常数矩阵），故.2.设是积分方程的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：在上.证明：由题设，有，.下面只就区间上讨论，对于的讨论完全一样。因为其中，所以其中,设对正整数有,则有,故由归纳法，对一切正整数，有.而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当时，它,因而函数序列在上一致收敛于.根据极限的唯一性,即得,.3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii) 和没有共同的零点;(iii) 和没有共同的零点.证明:和的伏朗斯基行列式为                                 因和是基本解组,故.    若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即 最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故(i)得证.     若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即 与无共同零点.故(ii)得证.   若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.即与无共同零点.故(iii)得证.   4.试证：如果是满足初始条件的解，那么.证明：因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得：，令，则：，所以，故友情提示：本资料代表个人观点，如有帮助请下载，谢谢您的浏览！整理为word格式整理为word格式整理为word格式