第 8章 非线性偏微分方程与积分方程
前面几章所研究的偏微分方程都是线性的,但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线
性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的
假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法
略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.在实际工作中,还经常碰上另外一类重
要的方程—积分方程,它在弹性介质理论和流体力学中应用很广,本章,我们对这两类重要
的方程做一个简单的介绍,掌握一些基本概念和方法,更深入的结果请查阅相关的书籍和论
文。
8.1 极小曲面问题
设Ω是平面上的有界区域,它的边界 Ω∂ 是充分光滑的,其方程为
)0(
)(
)(
0sssyy
sxx ≤≤⎩⎨
⎧
=
=
式中, )()0(),()0( 00 syysxx == ,即 Ω∂ 是一条闭曲线
在空间作一条闭曲线 l,其在平面上的投影为 Ω∂ ,有
)0(
)(
)(
)(
: 0ss
su
syy
sxx
l ≤≤
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
ϕ
这里 )()0( 0sϕϕ =
所谓极小曲面问题就是在区域 Ω∂+Ω=Ω 上定义一张曲面 S,
(1) S以 l为周界
(2)在所有的 S中,求表面积最小的曲面 *S
假设空间曲面的方程为
),( yxvv =
则由微积分的理论可知,这个曲面的表面积为
)1.1.8(1)( 22 σdvvvJ yx∫∫
Ω
++=
于是上述极小曲面问题就变成求一个函数u,使得
(1) ),( yxuu = 所表示的曲面以 l为周界,即 ϕMu∈ ,其中 { };,)(1 ϕϕ =Ω∈= Ω∂vcvvM
(2) )2.1.8()(min)( vJuJ
Mv ϕ∈
=
这是一个变分问题
如何求出变分问题式(8.1.2)的解?我们先来看看假若 ϕMu∈ 是式(8.1.2)的解,那
么u必需满足什么样的条件。为此,我们定义 { },0,)(10 =Ω∈= Ω∂vcvvM 任取 0Mv∈ ,
对任意 ,),,( ϕεε Mvu ∈++∞−∞∈ 记 )()( vuJj εε += 式中, )(uJ 由式(8.1.1)确定,从
式(8.1.1)可知 )(εj 是定义在R上的一个可微函数,由于u是式(8.1.2)的解,所以对任
意 )0()(, jjR ≥∈ εε ,即 )(εj 在 0=ε 处取的是最小值,故 )0)0( =′j
不难算出 dxdy
vuvu
vvuvvu
j
yyxx
yyxx∫∫Ω ++++
+++=′
22 )()(1
)()(
)( εε
εεε
∫∫Ω =+++++ 0]11[ 2222 dxdyvuu
v
v
uu
u
y
yx
y
x
yx
x
假若u具有更好的光滑性,例如 )(2 Ω∈Cu ,则由格林公式可得
∫∫ ∫Ω Ω∂ =∂
∂
++
+
++∂
∂+
++∂
∂− 0
1
]}
1
[]
1
[{
222222
ds
n
u
uu
vvdxdy
uu
u
yuu
u
x
yxyx
y
yx
x
由于 0Mv∈ ,即 0=Ω∂v ,因此上式左端第二项为零,再由 v的任意性及被积函数的连续
性可知
)3.1.8(0]
1
[]
1
[
2222
=
++∂
∂+
++∂
∂
yx
y
yx
x
uu
u
yuu
u
x
这个方程称为变分问题(8.1.2)的欧拉方程
上面的推导说明,如果u是式(8.1.2)的解,且 )(2 Ω∈Cu ,则u必满足式(8.1.3),当然
还应满足边界条件
)4.1.8(ϕ=Ω∂u
因此定义在Ω上且以空间曲线 l为周界的极小曲面 ),( yxuu = 必定在Ω内满足式(8.1.3)
并在 Ω∂ 上满足边界条件式(8.1.4)式(8.1.3)可以改写成
)5.1.8(0)1(2)1( 22 =++−+ yyxxyyxxxy uuuuuuu
这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点?它关于二阶导数 xyxx uu , 及 yyu 是线性的,
但它们前面的系数分别含有 yxy uuu ,2 及 2yu ,所以对 yx uu , 来说它不是线性关系,特别是,
如果把 yx uu , , xyxx uu , 及 yyu 同等对待,则这个方程对它们不是一个线性方程,故它是一个
非线性方程。
我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程。其实,在力学、物理学及几何
学中都有大量的非线性偏微分方程。例如,在热传导问题中,如果热传导系数 k不是常数,
而是温度的函数,则三维热传导方程为
)6.1.8())(())(())((
z
uuk
zy
uuk
yx
uuk
xt
u
∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂
∂
∂=∂
∂
这也是一个非线性方程
在流体力学中,描述粘性气体运动的方程是著名的纳维—斯托克斯方程,其形式为
0
)(3
1
=∂
∂+∂
∂ ∑
=i i
i
x
u
t
ρρ (连续性方程)
∑ ∂
∂+∂
∂−=
j j
xy
i
i
xx
P
dt
du τ
ρ
1
(动量方程) (8.1.7)
t
Pu
x
T
x
uTC
dt
d
i
iji
jj j
p ∂
∂++∂
∂
∂
∂=+ ∑∑ ρτλρ 1)(1)2(
2
(能量方程)
式中
TRP
x
u
tdt
d
i i
i ρ=∂
∂+∂
∂= ∑ ,
)
3
2( ∑ ∂∂−∂
∂+∂
∂=
l l
l
ij
i
j
j
i
ij x
u
x
u
x
u δητ
式中, ρ 是流体密度; ),,( 321 uuuu = 是流速;T 是温度; ξη, 是粘性系数;λ是传热系
数;P是压强; PC 是定压比热;R是气体系数; ijτ 是表示粘滞力的张量; ijδ 为克罗内克
记号,即
⎩⎨
⎧
≠
==
ji
ji
ij 0
,1δ
当流体不可压缩时, ρ 是常数,若不计温度的变化,则式(8.1.7)化为不可压缩流体
的纳维—斯托克斯方程
)8.1.8(1,0 i
ii
i
i
i u
x
P
dt
du
x
u ∆+∂
∂−==∂
∂∑ ρηρ
取 1≡ρ ,则上述方程组为
∑
=
==∂
∂+∂
∂+∆−∂
∂ 3
1
)3,2,1(0
j ij
i
ii
i i
x
P
x
uuu
t
u η
∑
=
=∂
∂3
1
0
i i
i
x
u
(8.1.9)
这是关于 321 ,,, uuuP 的非线性方程组
在热平衡问题中,如果热传导系数是常数,但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的
热源,则可得
),,( uuxfu ∇=∆ (8.1.10)
在微分几何中,若要求出总曲率 k为已知的曲面时,就需要求解下列方程
),,,,(2 qpuyxfsrt =− (8.1.11)
其中 yyxyxxyx utusuruqup ===== ,,,, 这个方程称为蒙日—安培尔方程
8.2 非线性偏微分方程的概念及求解
上面我们给出了一些描述不同现象的非线性方程或方程组,现在对它们的特点作进一步
的
以便分类及求解。式(8.1.11)中的最高导数部分纯粹是线性的,它的非线性只出现
在函数u及其一阶导数项,这样的方程称为半线性方程,式(8.1.10)也是半线性的;式(8.1.5)
对最高阶导数来说是线性的,但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数,这样的方程称
为是拟线性的,式(8.1.12)的特点是对最高阶导数也是非线性的,这样的方程称为完全非
线性方程,显而易见,完全非线性方程的非线性程度最高,半线性方程的非线性程度最低,
拟线性方程的非线性程度介于两者之间。
对于非线性偏微分方程,一般说来是无法求出解的表达式的,只能求其近似解。但对一
些很特殊的情形,通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程,或者经过适当的数学处
理化成可以求解的方程,下面举例说明。
例 1 在流体力学中有一个很中重要的方程叫比尔吉斯方程
xxxt uuuu λ=+
是一个半线性的三阶偏微分方程,为了解这个方程,令 ,xvu = 对 x积分一次可得
xxxt vvv λ=+ 22
1
再令
φλInv 2−=
则得
xxt λφφ =
这是一维的线性热传导方程,对它的各种定解问题可以用第 2,3章中的方法求出它的解,
有了φ之后就可以求出u
例 2 求解微分方程几何中的刘维尔方程
ue
yx
u =∂∂
∂ 2
(8.2.1)
这是一个半线性的二阶方程,若令 1u 是
01
2
=∂∂
∂
yx
u
(8.2.2)
的解,则再构造一个偏微分方程组
)3.2.8(
2 )(2
1
1
)(
2
1
1
1
1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−∂
∂−=∂
∂
−∂
∂=∂
∂
−
+
uu
uu
e
y
u
y
u
e
x
u
x
u
β
β
式中,β 是常数,可以验证,若u是式(8.2.3)的解,则u必是式(8.2.1)的解
而式(8.2.2)的通解为
)()(),(1 ygxfyxu += (8.2.4)
式中, gf , 是任意可微函数,将式(8.2.4)代入式(8.2.3)中,可求出
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
+−+−
−=
∫ ∫ βββ 1))(exp(1)(exp2
]2/))()(exp[(2
dyygdxxf
ygxfInu
与线性方程相比,非线性方程还有一个特点,即它的解即使存在,也不一定对所有的时间
0≥t 都存在,而只是在某个有限时间内存在,见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
>=
)()0(
0,
00
2
是常数vvv
tv
dt
dv
容易求出它的解
tv
v
tv
0
0
1
)( −=
显然,若 00
v ,则当
0
1
v
t →
时, ,)( +∞→tv 这时解在时刻
0
0
1
v
t = 产生破裂,所以方程只在 )1,0[
0v
内有解,简称解是
局部存在的。
例 4 考虑伯格斯方程 xxxt uuuu δ=+
式中,δ 是扩散系数
方程又可写成
dtuu
xt
u
x )2
(
2
−∂
∂=∂
∂ δ
由全微分方程存在的充要条件,有
dtuuudxd x )2
(
2
++= δϕ
显然 ux =ϕ (8.2.5)
2
2uuxt −= δϕ
这样我们得到了
xxxt δϕϕϕ =+ 22
1
(8.2.6)
这样求解伯格斯方程的问题就转化为求解式(8.2.6)的问题,我们能求解线性扩散方程
xxt vv δ= (8.2.7)
所以我们考虑式 (8.2.6)与式(8.2.7)之间的关系,令
)(ϕgv = (8.2.8)
代入式(8.2.7)有
xxxt g
g δϕϕϕ
ϕδϕ =′
′′− 2
)(
)(
(8.2.9)
对比式(8.2.6)、式(8.2.9)两式,易知 )(ϕg 满足方程
2
1
)(
)( =′
′′− ϕ
ϕδ
g
g
积分得
2
2
1
1)( CeCg +=
− ϕδϕ
取 ,0,1 21 == CC 并将 )(ϕg 代入式(8.2.8),得 ϕδϕ 2
1
)(
−== egv
即 Invδϕ 2−=
代入式(8.2.5)可得
x
Invtxu ∂
∂−= δ2),( (8.2.10)
变换式(8.2.10)称为柯勒—霍普夫变换。在处理非线性问题时,常常会用到这种变换。由
此例可看出,选取柯勒——霍普夫变换后,求解非线性的伯格斯方程就转化为求解线性的扩
散方程了
8.3 积分方程简介
在方程中,若未知函数在积分号下出下,则称这种方程为积分方程。一般的线性积分方程,
可写为
)()(),()()( xfdyygyxKxgxh
b
a
=− ∫λ (8.3.1)
式中, )(xh 和 )(xf 是已知函数; )(xg 是未知函数;λ是常数因子; ),( yxK 被称为积分
方程的核,也是已知函数。在式(8.3.1)中,若 0)( =xh ,则有
)()(),( xfdyygyxK
b
a
=∫ (8.3.2)
称之为第一类弗雷得霍姆方程;若 1)( =xh ,则有
)()(),()( xfdyygyxKxg
b
a
=− ∫λ (8.3.3)
称之为第二类的弗雷得霍姆方程。有时候,对于 xy > 时, 0),( =yxK 。在这种情况下,
积分上下限为 x,即式(8.3.2)和式(8.3.3)变为
)()(),( xfdyygyxK
x
a
=∫ (8.3.4)
)()(),()( xfdyygyxKxg
x
a
=− ∫λ (8.3.5)
分别称之为第一类和第二类的伏特拉方程
以上各方程中,若 0)( =xf ,则称之为齐次方程
如果积分方程的核具有如下形式
∑
=
=
n
i
ii yxyxK
1
)()(),( φϕ (8.3.6)
则被称之为是退化的。具有退化核的积分方程,可用初等的方法来求解。下面,我们将通过
具体的例子来说明如何求解退化核方程。
例 5 求解积分方程
∫ =+− 10 22 )()()( xdyygyxxyxg λ (8.3.7)
解 令 ∫∫ == 1010 2 )(,)( dyyygBdyygyA (8.3.8)
这样原方程变为
2)( BxAxxxg λλ ++= (8.3.9)
现将式(8.3.9)代入式(8.3.8),得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
++=
BAA
BAA
λλ
λλ
4
1
3
1
3
1
5
1
4
1
4
1
(8.3.10)
式(8.3.10)的解为
22 120240
80,
120240
60
λλλλ
λ
−−=−−
+= BA
代入式(8.3.9),于是得积分方程式(8.3.7)的解为
2
2
120240
80)60240()( λλ
λλ
−−
+−= xxxg (8.3.11)
注意,有两个λ的值可使我们的解式(8.3.11)变为无穷大。当λ取某些特殊值时,齐次积
分方程有非零解,这样的λ值称为积分方程的本征值,而相应的非零解称作本征函数
由此例我们可以看到,如果核是退化的,则积分方程的求解问题就转化为代数方程的求解问
题,关于这方面的一系列理论称为弗雷得霍姆定理。
对于具有退化核的伏特拉方程,常常通过求微分使之变为微分方程。我们仍举例来说明。
例 6 求解 ∫ =− x xdyyxyuxu 0 )()( (8.3.12)
解 令 ∫= x dyyyuxg 0 )()( 代入式(8.3.12),则有 )()( xxgxxu +=
所以 )]([)()( xxgxxxxuxg +==′
解此微分方程得 331)( xcexg +−=
将之代入式(2.1.17),可求得 1=c
如果核仅仅是关于 )( yx − 的一个函数,即所谓的位移核,且积分范围是 ∞− 到 ∞+ ,则我
们可以应用傅立叶变换来求解,考虑方程
)()()()( xdyygyxKxg ϕλ =−− ∫+∞∞− (8.3.13)
对此方程进行傅氏变换,并记
)()]([,)(),()],([),()]([ ωϕϕωω ω ==== ∫+∞∞− − xFKdxeyxKyxKFgxgF xi
则又卷积定理有
)()(])()([ ωω gKdyygyxKF ∫+∞∞− =−
于是积分方程式(8.3.13)变为
)()()()( ωωλωϕω gKg =
因此
)(1
)()( ωλ
ωϕω
K
g −=
如果我们能求上式的逆变换,则我们就能得到式(8.3.13)的解
如果积分方程含有一位移核,积分区间从0到 x,且被积函数对于 0