第29卷第3期
2008年6月
华北水利水电学院学报
JournalofNoahChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower
V01.29No.3
Jun.2008
文章编号:1002—5634(2008)03—0018—03
二维对流方程在模拟点污染源扩散中的应用
张雁杰,曹 兵,张艳艳,刘晓平
(华北水利水电学院,河南郑州450011)
摘要:采用带人T.耗散项的MaeCormack格式离散二维对流方程,建立点污染源对流扩散的数学模型.对
MacCormack格式离散方程进行了相容性、收敛性与稳定性
,存满足柯朗条件的基础上,进行了一个点源
二维对流扩散的数值模拟计算.将同问题的数值解与解析解加以对比,两者拟合度很高,证明这一离散格式的
可行性.研究还表明,引人人T耗散项对控制数值振荡具有一定效果,Gr大于100时边界数值开始m现较明显
的震荡.但数值解误差也明显缩小。这在水环境数值模拟计算中是需要注意的.
关键词:人工耗散项;MaeCormack格式;点源;数值模拟
中图分类号:TVl43 文献标识码:A
在大区域水环境中,企业排放废料与废水、船只
失事造成的危险品泄露、生活污水这些都是形成污
染水环境的点污染源.点污染源的扩散是十分常见
的水环境现象.为了有效地控制、消除这些污染,应
当从传播机理和传播规律上准确认识和模拟.
根据点源污染扩散的基本物理特性,模拟一般
动水环境中的污染扩散现象主要用对流扩散方程,
由于数学求解方面的困难,目前纯理论分析方法还
只能解决简单的点污染源扩散问题,而研究大面积
排放或复杂流场与浓度场问题,还要依靠实验和数
值模拟手段.用来进行环境水力学动水数值模拟计
算的数值格式很多,其中有限差分法(CFD)就有迎
风格式、对称隐格式、Lax—Wendroff格式、Preiss—
mann格式、Holly—Preissmann格式、杨国录一贡日
格式等⋯。有些格式在边界处易出现数值振荡,对
间断点无法捕捉,有些格式会对数值进行平滑化,因
此选用适宜的数值格式对平面动水域污染扩散现象
的准确模拟是十分重要的旧1.
在反映污染物扩散规律的对流扩散方程中,对
流项所起作用很大,故可采用有限差分法中带人工
耗散项”1的MacCormack格式”1离散二维对流方程
来近似求解.通过对该格式数值计算结果与解析解
的对比、分析,评价格式的精度与稳定性,期望能对
实际水污染问题的数值解法有一定的参考作用.
1 数学模型
1.1控制方程
二维对流扩散方程为”’
祟+u。兰弧ic35=o (1)af ”a茗 ”a', 、 ’
式中:s为污染物浓度;£‘。为名方向输移速度;t,。为Y
方向输移速度;罢为时间变位项;“。罢+口。害为对
Ot dx d’,
流输移项.对于双曲线型方程,即使非齐次项和初始
条件都充分光滑,也可能在局部区域出现解不惟一
或解沿特征线间断的现象№。】,同时由于对流项是
严格要求物质守恒,因此其数值解只能是近似的.
1.2定解条件
采用特征线法¨‘91来推求定解条件,函数s(石,
,,,t)的全微分形式为
害=塞4.-尝害4.-砉鲁 c2,一=一⋯—‘ l,ld£ df’a菇d£’afdf 、-7
由式(1),(2)可得
r1 Uo)Io]
【.1警警j
Os
a£
Os
Ox
Os
a),
收稿日期:2008一Ol一30
作者简介:张雁杰(1982一),男,河北张家口人,在读硕士研究生,主要从事水动力数值模拟方面的研究
厂0]
=dsJ 。’
万方数据
第29卷第3期 张雁杰等: ■维对流方程在模拟点污染源扩散巾的应用 19
若使得全微商坐dt=0,0as£,塞,坐Oy取得非平凡解,显然
r1 % %]
l·面dx打。 ¨’
即满足特征方程组m91
宝=%,考=% (5)
式中U。,Vo为常数,取为正值,即在茗方向与Y方向
均取上游边界条件.
1.3数值格式
MacCormack格式是Lax—Wendroff格式的变形。
它分为预测步和校正步‘“.由式(1)得
s:》小㈢。,△f+《, (6)
式中:(襄)。,项为害在时间t和t+△t之间的平均
值,瑙血为人丁耗散项,经变形有
3s:一1.j+35:.,一I,s:+I.J—I—s:一1.『+j)(13)
1.4误差分析
数值方法的误差分析包括相容性、稳定性、收敛
性分析,是考察数值方法的离散解是否满足原微分
方程的近似解的基本手段¨引.相容性考察离散方程
的截断误差,判断全方程的精度;稳定性考察差分格
式的舍人误差,主要针对初值在以后时层计算中是
否将被放大,好的差分格式应该做到无条件稳定;收
敛性考察离散方程的离散误差,判断
是网格独
立解.实例表明,误差的主要来源是离散误差J⋯.
用泰勒展开式可以证明差分公式(10)与原微
分方程是相容的,且在时间和卒间上都有二阶精度.
通过Fourier级数可以得到该格式的稳定条件为
1 l
C,。≤÷,C,,≤÷ (14)
2√2 242
由Lax定理及已知条件得上述差分格式(10)
在满足稳定条件(11)的情况下是收敛的.
0s:一f当+.0_s1 (7) 2UoVo 计算实例at一【五+;',J (7) 川开六刚
1.预测步.用¨u_菱分硌瓦禾禺散瓦【7)甲明至
间导数项,并在末尾引入人T耗散项得
.㈤:j=一(H。气≯Ⅶ气≯)㈩
令柯朗数c。=五uoA7t,c,=石voAt,并令
-sti。+血=s。t。+(Ods;l,'。iAt+C,,(s:+。。一2s:。+s:一.。)+c叮·
(s:.,+。一25:.,+s:.,一。) (9)
人T耗散项为
C,,(s:+..,一2s:。+s:一..,)+c,,(s:.,+,一2sjt.,+s:.,..)
2.校正步.用前差分来离散式(7)中的空间导
数项,得(蔷)::舢=一(u。掣+”。等)c·。,
由式(8),(10)可以得到
(害t)一1Dsl'..+(掰‘】⋯,
s:?‘吨+㈤。,△f+c。(i:=t+¨At、--t+A‘)+
c叩(《z。一《了‘) (12)
将式(11)代入式(12)得
%t+,At毡t厂知2t儿,如。一t
2《川““小孚㈠t¨一or6《,+
计算区域范围取z=400m,Y=400m,定常均
匀流场M=秽=0.1m/s,源点位置为菇=200m,Y=
200m;初始条件为t=to,算=zo,Y=Yo,s=so(取幅值
s。=1).通过求解得到式(1)的解析解¨’
如mz)=soexp(一[譬+譬】)(15)
式中:-1=石o+ut;歹=Yo+vt;偏差矿=竿;k为周期;f
为波长.
在数值模拟计算时,根据柯朗稳定条件取Ax=
Ay=1in,At=1s,计算时间取T=50s.为了反映浓
度分布曲线的陡峭程度的不同,采用不同偏差矿,考
察该种差分格式对相应扩散问题的适用性影响,进
行了点污染源扩散问题的解析解计算和数值解计
算.数值计算结果进行数据处理与解析解值进行分
析比较,采用动坐标系,绘制污染物平面扩散等值线
图(如图l所示),以及当盯分别取50与100时,沿
Y=200m这条线上的浓度分布曲线(如图2所示).
(a)盯=50 (b)盯=100
图1 平面扩散浓度等值线数值解与解析解对比
万方数据
华北水 利水 电 学院学报 2008年6月
0·9
0.8
一O·7
t 0.6
70.5
“0.4
蔷0.3
0.2
O-1
0.O
3对比分析
工,m
r a)G-=50
—
7
E
●
鼬
≮
图2沿Y=200的浓度分布曲线
1.从图1和图2可以看出,用带有人r丁耗散项
MacCormack格式离散二维对流方程,模拟计算点污
染源扩散的数值解曲线与解析解曲线有比较高的拟
合度,说明该格式具有很好的稳定性,数值计算能满
足计算精度要求.
2.从图1可以看出,污染物在平面扩散时,盯值
对扩散范围有重要影响.当矿增大时,同样浓度的s
值的扩散范围就相应增大.
3.图2表明,盯大于100时边界数值开始m现
较明显的震荡,数值解误差明显缩小,这需在水环境
数值模拟计算中注意.
参 考 文 献
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ApplicationofTwo-dimensionalConvectionEquationinthe
NumericalSimulationofPointSourcesDi仃usion
ZHANGYan-jie,CAOBing,ZHANGYan—yan,LIUXiao—ping
(NorthChinaInstituteofWaterConservancyandHydroelectricPower,Zhengzhou45001I,China)
Abstract:ThroughusingtheMacCormackformattodiscretetwo—dimensionalconvectionequationwithartificialdissipation。themathe—
maticalmodelofconvection·diffusionwithpointpollutionsourcesisestablished.OnthebasisoffittingtheCourant-number。thecompat·
ibility,theconvergenceandthestabilityoftheMacCormackformat,areanalyzed,thenthetwo·dimensionalconvection—diffusionofone
pointsourcebynumericalsimulationiscalculated.bycontrastingthenumericalsolutionandtheanalyticalsolutionofthesameequa·
tion.itisshownthatthenumericalsolutionfitstheanalyticalsolutionwell,thisprovesthefeasibilityofthisformat.Researchalso
showsthat,ithassomeeffecttocontrolnumericaloscillationbyintroducingartificialdissipation.andwhen盯isgreaterthan100,there
isobviousnumericaloscillationneartheboundary。butthenumericalerrornarrowsobviously,whichismustbepaidattentiontoduring
thenumericalsimulationinwaterenvironment.
Keywords:artificialdissipation;MacCormackformat;pointsource;numericalsimulation
O
9
8
7
6
5
4
3
2●O
●OO
0
O
O
0
0
0
0
O
万方数据
二维对流方程在模拟点污染源扩散中的应用
作者: 张雁杰, 曹兵, 张艳艳, 刘晓平, ZHANG Yan-jie, CAO Bing, ZHANG Yan-yan,
LIU Xiao-ping
作者单位: 华北水利水电学院,河南,郑州,450011
刊名: 华北水利水电学院学报
英文刊名: JOURNAL OF NORTH CHINA INSTITUTE OF WATER CONSERVANCY AND HYDROELECTRIC POWER
年,卷(期): 2008,29(3)
参考文献(10条)
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