最优风险资产组合

最优风险资产组合1要点两个风险资产的组合，先讨论两个风险资产的情况，再讨论加入一个无风险资产，最后讨论合并很多风险资产的情况。（1）讨论两个风险资产组合的期望收益率、方差和相关系数，最小方差组合，有效边界构建，最优风险资产组合P的构建，完全资产组合的构建；（2）马科维茨的N项风险资的有效边界；（3）资产分散化。两个风险资产的组合两个风险资产构成的组合相对容易分析，其原理也可应用于多个资产组合，所以我们讨论两个资产构成的资产配置。假设风险投资组合P中的风险资产部分由两种共同基金构成：（1）一个投资于股票市场，该基金用E示，（2）一个投资于长期债券，该基金用B表示。定义基金E的收益率为，期望收益率为E(），标准差为;基金B的收益率为，期望收益率为E(），标准差为。同时，定义投资于债券基金的比例定义为，剩余的1-定义为投资于股票基金的比例，。 两个风险资产的组合——期望收益率投资于债券基金的比例定义为，剩余的定义为投资于股票基金的比例，并且满足那么，这个风险资产组合P的收益率是和分别是债券基金和股票基金的收益率，对上式子求期望。那么，风险资产组合p的期望收益率是两种证券期望收益的加权平均值，权重分别为其投资的比例 两个风险资产的组合——方差这个组合的收益率是和分别是债券基金和股票基金的收益率。对上式子，两边求方差有， 两个风险资产的组合——协方差矩阵协方差矩阵也可应用于任意多个资产的组合， 概念检查假设基金E的期望收益率为E=12%，标准差为；基金B的期望收益率为E=8%，标准差为，a.等于0.25时，按协方差矩阵方法计算上面的组合方差是多少？b.考虑三个基金X、Y、Z，权重为wX,wY,wZ。使用协方差矩阵方法计算组合方差是多少？ 概念检查a.按协方差矩阵方法计算上面的组合方差是多少？b.考虑三个基金X、Y、Z，权重为wX,wY,wZ。计算组合方差是多少？ 两个风险资产的组合——相关系数和最小方差组合现在，我们讨论两个风险资产组合在什么时候能够获得最小方差。或者说研究组合标准差如何随着投资权重和而变化。 现在，我们讨论两个风险资产组合在什么时候能够获得最小方差。或者说研究组合方差如何随着投资权重和而变化。这个时候需要将协方差改写为相关系数的表达式：我们分三种情况讨论，即=1，=−1以及∈(0,1)注意：最小方差组合一般不是最优风险资产组合。 两个风险资产的组合——相关系数和最小方差组合当两个资产完全正相关DE=l时，等号右边可化简为：组合标准差就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。由于相关系数在[-1，1]之间，在其他情况下，相关系数小于1使得组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。如果和∈[0,1]，那么就是股票投资基金的投资比例为0时获得。如果允许卖空，则可以有 两个风险资产的组合——相关系数和最小方差组合当两个资产完全负相关DE=-1时，有：当DE=-1时，通过解下式可以得到完全对冲的头寸解为：注意：完全对冲表示这一权重使得组合标准差变为零，即不存在风险。因此，其他条件不变，我们总是愿意在组合中增加与组合相关性小甚至负相关的资产。 两个风险资产的组合——相关系数和最小方差组合当两个资产的相关系数DE∈(0,1)时，有：假设已经知道的情况下，这个问题可以通过对权重或求一阶导数等于0求解。 两个风险资产的组合——相关系数和最小方差组合假设基金E的期望收益率为E=13%，标准差为；基金B的期望收益率为E=8%，标准差为，用这些数据，写出组合期望收益、方差和标准差的方程。那么最小方差组合的权重是多少？ 概念检查 （1）当>1,<0时表示的是什么情况？这种情况的组合策略是卖空股票基金并将资金投于债券基金。这将会继续降低组合的期望收益率。例如，当=2,=-1时，预期组合收益降到2×8+(-l)×13=3%，此时的债券基金规模是组合净值的两倍。（2）相反的情况是<0,>1时，这种策略需要卖空债券基金来筹资购买股权基金。 两个风险资产的组合——投资比例两个风险资产的组合——两个风险资产组合P的有效边界现在，我们开始讨论两个风险资产构成的组合P的可行集。即讨论随着两个资产的权重变化，两个风险资产组合P的可以出现的均值和方差组合情况？并把这些点画在均值标准差平面上。两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界现在，我们开始讨论两个风险资产构成的组合的可行集。我们依然分三种情况讨论，即以及。——期望收益率方程——方差方程对于两种特殊的情况，只需将由标准差表示的代入期望方差即可。 两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界（1）对于情形一，此时，两个资产的收益率是完全正相关。 （2）对于情形二，此时，两个资产的收益率是完全负相关的，类似可以得到： 两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界（3）对于情形三，此时，在期望-标准差平面中对应着两条双曲线。考虑到经济含义，我们只需考虑坐标轴第一象限内的部分。 两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界（1）首先，我们已经有下列的关系式：——期望收益率方程——方差方程（2）接下来，我们用替代（反过来也可以的），期望收益率方程改写为：（3）然后，将代入方差方程： 两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界（4）将组合的方差方程进行整理，得到风险组合的方差与期望收益率的关系: 两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界（1）在情形二和情形三中，我们可以根据最小方差点将可行集分为两个部分：位于最小方差点上方的部分和位于最小方差点下方的部分。（2）对于风险规避的投资者而言，只会选择最小方差点上方的资产组合，我们称这部分资产组合为全部资产组合的效率边界、有效边界、有效前沿（EfficientFrontier）两个风险资产的组合——两个风险资产组合的有效边界前面我们已经构建了只有两个风险资产时的风险资产组合的有效边界（或者说是风险资产组合的可行集）。那么在这个可行集中，哪个风险资产组合P对于投资者来说是最优的呢？两个风险资产的组合——最优风险组合P假设有效边界上的最小方差组合A，82%风险资金投资于债券，18%投资于股票。组合A的期望收益为8.9%，标准差为11.45%。当短期国库券利率为5%时，其报酬-波动性（夏普)比率，即资产配置线的斜率，为。假设有效边界上的组合B，投资70%于债券基金，投资30%于股票基金，期望收益为9.5%，标准差为11.7%，其报酬-波动性比率为。我们可以把资本配置线继续向上旋转直到最后和投资组合可行集相切，可得到最高报酬-波动性比率的资本配置线。 两个风险资产的组合——最优风险组合P夏普比率定义为超过无风险利率的风险溢价除以标准差。同时，资本配置线的斜率就是夏普比率。组合A为最小方差组合；D在A的下方，风险规避投资者是不会选择的；组合B的资本配置线斜率大于A，因此风险组合B优于风险组合A。两个风险资产的组合——最优风险组合P我们可以把资本配置线继续向上旋转直到最后和投资组合可行集相切，可得到最高报酬-波动性比率的资本配置线。因此，图7-7中那作点组合P是最优风险组合。两个风险资产的组合——最优风险组合P风险资产的优化配置实际上是想找出斜率最大或夏普比率值最大的资本配置线（CAL)。斜率越大的CAL，任何给定波动性时相应的预期收益越大。当只有两个风险资产时，我们可以把寻找最优风险资产组合P的过程，转化为如下数学问题。当最大化目标函数为夏普比率时，需要满足组合权重和为1的约束条件，即，因此，我们需解以下问题。 两个风险资产的组合——最优风险组合P在两个风险资产的情况下，最优风险组合的解由下式给出，注意：式中使用的是超额收益率（R)，而非总收益率r。 两个风险资产的组合——最优风险组合P此问题标准微积分计算即可求解，对的求一阶导并等于零。注意：为简化符号，记为，记为，记为，记为 两个风险资产的组合——最优风险组合P假设基金E的期望收益率为E=13%，标准差为；基金B的期望收益率为E=8%，标准差为，，无风险收益率为5%用这些数据，计算使得资本配置线最高的权重和、此时最优风险组合P的期望收益和标准差方差，最优组合资本配置线的斜率。提示：，或者直接对夏普比率求导。 概念检查 现在，我们已经构造了最优风险组合P，即最优风险组合P的期望收益率和方差都已经知道。那么，可以通过投资者的效用函数最大化，计算整个投资组合投资风险资产的最适比例。最优风险资产比例 两个风险资产的组合——完全资产组合现在，投资很多风险资产的情况就会较为便于理解。我们简要总结一下构造整个组合c的步骤:（1）确定所有证券的特征（期望收益率、方差、协方差)。（2）建立风险资产组合：a.计算最优风险组合P，获得相关权重w。b.通过w计算组合P的期望收益和标准差。（3）在风险资产和无风险资产之间配置资金：a.计算投资风险资产组合P的比例。b.计算整个组合中各资产的比例。两个风险资产的组合——完全资产组合两个风险资产的组合——完全资产组合分离定理（SeparationTheorem）：当市场中存在无风险资产和多个风险资产的时候，只要投资者是风险规避者，不管他具体的效用函数如何，他们选择的风险资产组合都是一样的，也就是无风险资产与效率边界相切的P点。投资者的效用函数或者说风险规避程度只决定了他持有的无风险资产和风险资产组合P的比例。根据这一定理，投资组合的选择过程可以分为两个阶段：首先，投资者要根据各风险资产的期望收益、方差以及协方差确定最优风险资产组合。之后，投资者在确定了最优风险资产组合的基础上，根据自身的风险规避程度确定投资在最有风险资产组合和无风险资产上的比例，从而得到最终的最优资产组合。分离定理（SeparationTheorem）假设现有证券包括股票基金A、B和短期国库券，数据如下所示。A和B的相关系数为-0.2期望收益（％)标准差（％)A1020B3060短期国库券50a.画出A和B构成的可行集。b.找出最优风险组合计算期望收益和标准差。c.计算资本配置线斜率。d.投资者风险厌恶系数A=5如何投资？提示： 概念检查a.股票和风险债券基金的期望收益与方差计算与之前例题相似，这里就不再表示。在给出a部分的图解时要注意这些计算。另外，A和B之间的协方差为b.最优风殓组合的权重为期望收益率为:标准差为: 参考注意：这里最优风殓组合的标准差小于股票A，同时投资组合P并不是整体最小方差投资组合，整体最小方差投资组合的权为 参考答案c.资本配置是无风险收益点与最优风险组合的连线，它代表短期国库券与最优风险投资组合之间的所有有效组合，资本配置线的斜率为d.在给定风殓厌恶系数A的条件下投资者愿意投资到最优风险投资组合的比例为这意味着风险厌恶系数A=5的投资者愿意在这个最优风险投资组合中投入50.89%的财产，由于A和B两种股票在投资组合中的比例分别为68.18%和31.82%，这个投资者分别投资于这两种股票的比例为34.7%和16.19%。 参考答案马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界风险资产组合有效边界背后的核心原理是，对于任意风险水平，我们只关注期望收益率最高的组合，或者说，边界是给定期望收益风险最小的组合集。1.市场上存在种风险资产，令。代表投资到这n种资产上的相对份额，则有：且卖空不受限制，即允许2.也是一个n维列向量，表示每一种资产的期望收益率，则组合的期望收益为：3.使用矩阵示资产之间的方差协方差，有注：方差协方差矩阵是正定、非奇异矩阵。所以，对于任何非0的向量a，都有 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界由于有效边界可以看作给定期望收益，风险最小的组合集，因此转化为求解如下规划问题。其中，是所有元素为1的n维列向量。我们可以把看成是已经知道的。 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界由此构造拉格朗日函数，并求一阶条件等于零。(1)(2)(3)其中，=[0,0,…,0]；式（1）代表了对不同分别求导。注意：矩阵求导法有其中，和为列向量，为矩阵 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界由（1）得到，左右同时乘以有（4）把（4）代入（2），得到把（4）代入（3）得到，注意：逆矩阵的性质,目的求解和 （6）（5）马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界为简化，定义这样我们就可以将（5）和（6）改写为解得（7）（8） 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界将（7）和（8）代入（4）得到，给定收益条件下的最优权重向量为（9）其中，最后，我们需要把消掉，表示为组合方差与组合期望收益率的关系式，就可以得出有效边界。 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界最小方差集的几何特征，在均值—标准差平面，最小方差集是双曲线。任意两个资产组合p和q，考虑其收益率的协方差：取p=q时，就得到任意资产组合的收益率和方差满足如下方程注意：协方差性质 马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界均值方差wgWg点是全局最小方差组合点（globalminimumvarianceportfoliopoint)。注意点Wg以下的部分，由于它违背了均方准则，被理性投资者排除，这样，全局最小方差点Wg以上的部分（子集)，被称为均方效率边界(mean-varianceefficientfrontier)。马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界前面我们已经介绍了N种风险资产有效边界的构造过程。那么，在有效边界基础上通过优化夏普比率就可以找到最优风险组合P。最后，再根据投资者的风险偏好，分配无风险资产与最优风险组合P的投资比例，我们就可以得到完整资产组合C。注意：另外一种寻找最优风险组合的方法是通过一开始就引入无风险利率。这种方法下，我们可以直接通过优化组合P的夏普比率。这里值得一提的原因是可以免去画有效边界而直接找出CAL斜率最大的组合。马科维兹资产组合选择模型——N项风险资产组合的有效边界Tobin（1958a,1958b）在Markowitz模型基础上假定市场中除了n个风险资产外，还存在一个无风险资产：通过构造Lagrange函数，最优化问题转化为：一阶导数为0，有：根据约束条件有：那么，若已知情况下，方差最小的风险资产组合权重为：注意：这里的依然表示风险资产的投资权重。这一限制条件被取消，表示可以使用借入或者借出无风险资产。 Tobin模型进而将权重表达式带入目标函数中，我们得到最优资产组合的方差将权重表达式带入目标函数中，我们得到资产组合的方差。上述两个式子各自对应着期望收益-标准差平面上一条从（0，rf）发出的射线。当rf的取值不同时，这两条射线与风险资产可行集的相对位置也会发生变化。 Tobin模型资产组合风险分散化当资产组合包含个风险资产时，组合收益率为：组合期望收益率为：组合方差为：表示协方差或者方差。 资产组合风险分散化组合方差也可以写成矩阵形式：假设项资产以相同比例构成资产组合，即每项资产的权重均为1/，而且每项资产的方差都等于，不同资产之间的相关系数等于,则资产组合的方差即为：当趋于无穷大的时候，方差部分趋于零，协方差部分趋于一个常数。由此可见，当资产组合资产数目较大时，资产间的相互影响是资产组合的主要风险来源。 系统性风险与非系统性风险随着资产组合中资产数量的增加，资产自身的风险对组合风险水平的影响越来越小，而不同资产之间的相互作用并不能随资产数量的增加而消失。根据资产的这两种特性，风险可以划分为：（1）非系统性风险（个别风险）：反映资产本身特性，可以通过增加资产组合数目而最终消除。（2）系统性风险（市场风险）：反映了各资产共同运动、无法通过资产组合中资产数目的增加而消除的风险。资产组合风险分散化