抛物线的焦点弦

抛物线过焦点的弦的性质的探究 抛物线的焦点弦 【教学背景】前面已经学习了抛物线的定义、方程、抛物线的几何性质以及抛物线与直线的位置关系，通过对抛物线过焦点的弦的性质研究，达到优化学生的认知结构，同时抛物线过焦点的弦的性质又是历届模拟考和高考的热点，如2001年的高考题就出现两个题目。 【问题探究】 【问题】已知抛物线 ,过焦点F作一直线l交抛物线于A 、B , 【探究1】求弦长|AB|。 。 【结论1】 。 【探究2】还有没有其他方法求弦长|AB|？ (1)当 时,直线L的斜率不存在,此时AB为抛物线的通径, 结论得证； (2)当 时,设直线L的方程为： ，即： ，代入抛物线方程得： ，由韦达定理 ，由弦长公式得 。 【结论2】若直线l的倾斜角为 ，则弦长 。 【探究3】过焦点的所有弦中，何时最短？ 的最小值为 。 【结论3】过焦点的弦中通径长最小。 【探究4】从刚才的解题过程中我们能否发现了A、B两点的坐标关系？ ， 。 【结论4】(1) ；(2)x1x2= 。 【探究5】以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系？ 设M为AB的中点,过A点作准线的垂线AA1,过B点作准线的垂线BB1, 过M点作准线的 垂线MM1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知: ，所以二者相切。 【结论5】以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。 【探究6】连接A1F、B1 F 则 A1F、B1 F有什么关系？ ; 同理 A1F B1 F。 【结论6】A1F B1F。 【探究7】刚才我们证得 为直角三角形，那么图形中还有哪些直角三角形？ 由“探究5”知M1 在以AB为直径的圆上 AM1 BM1。 由“探究6”知 为直角三角形，M1 是斜边A1 B1 的中点， ， ， ， M1F AB。 【结论7】AM1 BM1，M1F AB。 进而可得如下结论：以A1B1为直径的圆与直线AB相切。 【探究8】点 O、B1的位置关系？ 因为 ，而 ， 所以 ，所以三点共线。 【结论8】点 O、B1三点共线。 【变式1】：过抛物线 焦点的一条直线，与它交于P、Q两点，经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M，求证直线MQ平行于抛物线的对称轴。 【变式2】：设抛物线 的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC x轴，证明AC经过原点O。 （01高考） 【类似结论】 （1）B、O、A1三点共线； （2）设直线AO与抛物线的准线的交点为B1，则BB1平行于 轴；(2001年高考题) （3）设直线BO与抛物线的准线的交点为A1，则AA1平行于 轴。 【探究9】 由抛物线的定义得： 。 【结论9】 。 【探究10】 是定值吗？(2001年高考题) 【法1】因为直线l的倾斜角为 ,过A作AR垂直于 轴,垂足为R,设准线与 轴的交点为R1,则 ； 同理可得： 。 （这实际上是极坐标的观点，想法不错） 【法2】可利用平行线分线段的比定理证得。 ，而 ， ， 又 。 （数与形的结合，这是重要的数学思想） 【法3】 ， （ 。 （利用前后知识的联系，不错） 【法4】直接利用“结论9”，可得证。 【结论10】 。 此时，学生参与热情还很高，还急于想发表自己的观点，但下课铃声已想，教师指出： 今天我们讲的是抛物线过焦点的弦的性质的探究，整堂课中同学们积极地思考，思维活跃， 探究出抛物线过焦点的弦的很多性质，希望同学们在以后的学习中要养成善于思考，勇于探 究的良好习惯，此课到此，但探究还没结束，其余性质请同学们回去继续研究。 如：1. 与 的交点是否在 轴上？ 2. 构成的四边形是什么四边形？ 【课后反思】 1、设计意图： 本节课设计主要注重对学生能力的培养，整堂课要求学生观察、思考、猜验证，通过联想、 类比，培养学生的探究能力，数形结合的能力,同时，紧扣抛物线的定义，抛物线与直线的 位置关系，努力寻找学生的“最近发展区”，通过教学把学生潜在的能力开发出来，促进学 生认知结构的发展,养成良好的探究习惯。 2、设计感悟： 若能用计算机辅助教学，图形就会更直观，效果会更好。