平面与直线
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平面与直线总结
平面方程 直线方程
1.一般式方程 0=+++ DCzByAx
平面的法向量 { }CBAn ,,=v
2.一般式方程(两平面交线)
⎩⎨
⎧
=+++
=+++
22222
11111
0
0
π
π
平面
平面
DzCyBxA
DzCyBxA
直线的方向向量 21 nns
vvv ×=
2.点法式方程
已知平面上的点 及其
平面的法向量 ,则
),,( 0000 zyxM
{ }CB,An ,=r
0)()()( 000 =−+−+− zzCyyBxxA
2.
式(对称式)方程
已知直线上的点 及其
直线的方向向量
),,( 0000 zyxM
{ }nml ,,s =v ,则
n
zz
m
yy
l
xx 000 −=−=−
3.截距式方程
已知平面在三个坐标轴上的截距分别为
,即平面过点cba ,, ),0,0()0,,0()0,0,( cba
则 1=++
c
z
b
y
a
x
3.参数式方程
已知直线上的点 及其
直线的方向向量
),,( 0000 zyxM
{ }nml ,,s =v ,则
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+=
+=
+=
ntzz
mtyy
ltxx
0
0
0
4.三点式方程
已知平面上的三点 ,
, , 则
),,( 1111 zyxM
),, 333 zyx),,( 2222 zyxM (3M
0
131313
121212
111
=
−−−
−−−
−−−
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
4.两点式方程
已知直线上的两点 ,
, 则
),,( 1111 zyxM
),,( 2222 zyxM
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
−
−=−
−=−
−
平面与直线总结 2/3
平面间的关系
设有两个平面:
0:
0:
22222
11111
=+++
=+++
DzCyBxA
DzCyBxA
π
π
平面与直线间的关系
设有直线与平面:
n
zz
m
yy
l
xx
L 000:
−=−=−
0: =+++ DCzByAxπ
直线间的关系
设有两条直线:
1
1
1
1
1
1
1 : n
zz
m
yy
l
xx
L
−=−=−
2
2
2
2
2
2
2 : n
zz
m
yy
l
xx
L
−=−=−
1.平行的充要条件
2
1
2
1
2
1
21 // C
C
B
B
A
A ==⇔ππ
1.平行的充要条件
0// =++⇔ CnBmAlL π
1.平行的充要条件
2
1
2
1
2
1
21 // n
n
m
m
l
l
LL ==⇔
2.垂直的的充要条件
021212121 =++⇔⊥ CCBBAAππ
2.垂直的的充要条件
n
C
m
B
l
AL ==⇔⊥π
2.垂直的的充要条件
021212121 =++⇔⊥ nnmmllLL
3.夹角的确定
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++=θ
3.夹角的确定
222222
sin
nmlCBA
CnBmAl
++++
++=θ
3.夹角的确定
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121cos
CBACBA
CCBBAA
++++
++=θ
平面与直线总结 3/3
点 到平
面
),,( 0000 zyxM
0=++ DCzBy: +Axπ 的距
离为
222
000
CBA
DCzByAx
d
++
+++=
点 到 直 线),,( 0000 zyxM
n
zzy 11 −=
m
y
l
xx
L 1:
−=− 的距离为
222
101010
01
nml
nml
zzyyxx
kji
s
sMM
d ++
−−−
=×=
vvv
0M
l
1M
或 210
2
10 ])[( sMMMMd r−=
两个平行平面
0:
0:
22
11
=+++
=+++
DCzByAx
DCzByAx
π
π
间 的 距
离
222
21
CBA
DD
d
++
−=
两条异面直线
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
:
:
n
zz
m
yy
l
xx
L
n
zz
m
yy
l
xxL
−=−=−
−=−=−
间的距离
222
111
222
111
121212
nml
nml
kji
nml
nml
zzyyxx
d rrr
−−−
=
由方程可得 , ),,( 1111 zyxP ),,( 2222 zyxP
故两条直线共面的充分必要条件: 0)( 2121 =⋅× PPss vv