中国人口增长预测模型

PAGEPAGE17中国人口增长预测模型摘要：本文首先建立了一个基于人口平衡等式的模型，然后再对影响它的多种因素进行逐个，在对这些因素的分析中，我们对原始数据中的信息有了深层次的认识，利用GM(1,1)模型和Markov模型对影响因素进行合理的预测，进而找到了各个影响因素之间的联系，通过这些我们不仅得到了中国人口增长的预测模型，而且还分析出了中国未来老龄化趋势、育龄妇女数、各年龄段人口分布等。在对模型进行改进时，我们利用了按年龄分组的种群增长模型，使模型的预测更加合理。通过Matlab软件的模拟，发现预测的数据与一部分已知的实际数据吻合的非常好，可以为未来中国人口增长的预测提供一定的参考。关键词：人口平衡等式GM(1,1)模型Markov模型老龄化趋势1．问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。如果人口总量（不含香港、澳门特别行政区和台湾省，下同）峰值控制在15亿人左右，全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展。然而要处理好它们之间的关系，就要确定人口发展战略。可是现实却是现在的人口总量持续增长，影响着全面建设小康社会目标的实现，人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响日益显现，人口素质难以适应日趋激烈的综合国力竞争。面对这样的情况，我们要从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并对中国的老龄化等问题进行预测，提供这些预测数据，能够让我们对我国的人口增长和人口结构进行了解，制定出相对应的政策，解决我国现在面临的问题。2．模型假设2.1.在一定的时间段里，国内国外的环境安定，人口数目不会遭到锐减或剧增的情况；2.2.从总体上看，中国人口是一个封闭系统，没大规模的移民影响人口变化；2.3.市镇乡三个地区人口的迁入迁出方向是单向的，只有：镇→市乡→镇；3．符号说明：年（t=2001，2002，2003，……）；：去值为1、2、3分别代城市、城镇、乡村；：取1，2分别代表男性和女性；：第t年全国出生人数；：第t年全国城市、城镇、乡村出生人数；：第t年全国城市、城镇、乡村人口出生率；：第t年全国城市、城镇、乡村男性或女性人口出生率；：第t年全国死亡人数；：第t年全国城市、城镇、乡村死亡人数；：第t年全国城市、城镇、乡村人口死亡率；：第t年全国城市、城镇、乡村男性或女性人口死亡率；：第t年全国人口自然增长率；：第t年城市、城镇、乡村的人口自然增长率；：第t年全国城市、城镇、乡村年龄为r的男性或女性人口死亡率；：第t年全国城市、城镇、乡村年龄为r的男性或女性人口出生率；：第t年全国迁入人口总数；：第t年全国迁出人口总数；：第t年城市、城镇、乡村迁入人口数；：第t年城市、城镇、乡村迁出人口数；：第t年城市、城镇、乡村的育龄妇女比率；：第t年城市、城镇、乡村年龄为r的女性或男性人口比率；：总和生育率，即第t年城市、城镇、乡村平均每个育龄妇女的生育数；：第t年城市、城镇、乡村年龄为r的妇女生育率，即年龄为r的女性中有多少可以生育；：第t年从k地迁出的人数占k地人口总数的比率；：第t年城市、城镇、乡村人口总数；：第t年中国总人口总数；4．模型的建立模型一：总人口的增长预测模型利用人口平衡等式来预测中国人口的增长情况：仅考虑人口总数受死亡率和出生率的影响时人口增加数：-＝＝＝其中：＝仅考虑出生率与死亡率时人口的增长率如下：＝从全国总人口数来求当年的人口出生率：＝＝从全国总人口数来求当年的人口死亡率：＝＝＝用全国城市、城镇、乡村人口增长率的加权平均值作为当年人口的增长率：，其中：，权值以城市、城镇、乡村的总人口之比为依据得到，如下：当t取2001～2005年,可得5组权值,再求算术平均值即可:；考虑总人口受迁入、迁出影响时的情况：；但迁入（迁出）不能仅仅考虑迁入（迁出）的纯人数，还要考虑其中的女性由于生育可能带来的人口增加数（减少数），并且只考虑乡→镇，镇→市这种单方向的迁移，即只有城镇才同时有迁出和迁入所以：即：＝其中：按生育年龄15～49岁来计算育龄妇女比率：；总和生育率：＝；迁入与迁出之间的关系：；其中：；而迁移率为简单计算可以认为是一个常数；③综上所述：＝++模型二：预测市、镇、乡人口数变化的Markov模型对市、镇、乡人口数进行求解时，模型函数要求求出迁入和迁出的人口数在求解过程中，我们发现要用到下一年市、镇、乡人口数各占当年总人口数的百分比，经过对附表2中的各年中国人口1%调查数据进行分析，我们得到各年市、镇、乡人口数各占当年总人口的百分比，如下表所示：地区年份市镇乡20010.240.130.6320020.260.130.6120030.260.150.5920040.260.150.5920050.280.170.55并且由于人口转移的方向只考虑乡→镇镇→市这种单方向的迁移，所以我们可以认为上面的数据中市、镇、乡人口数所占当年总人口百分比状态在发生转移时，每次状态的转移都只与相互接引的前一次有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，这正符合Markov模型，于是我们采用Markov模型来对市、镇、乡人口数所占当年总人口的百分比；设第n步处于状态i的概率为从状态i转移到状态j的概率为则第n+1步处于状态j的概率；若第n步有k个状态,第n+1步有s个状态,则，j=1，…，s。如记(称转移概率矩阵)则由此可以容易得到：,将市、镇、乡三个不同地区人口数看作3个状态（即将市人口数、镇人口数、乡人口数依次记为状态1、2、3），将市、镇、乡人口数所占当年总人口百分比看作是其所处状态的概率，即=下面构照转移概率矩阵，它是预测成功的关键。而且人口的转移的方向为：乡→镇镇→市，具有单向性。见转化图：步数，时间市镇乡第一步，20010.240.130.630.240.020.020.110.61第二步，20020.260.130.610.260.130.020.59第三步，20030.260.150.590.260.150.59第四步，20040.260.150.590.260.020.040.130.55第五步，20050.280.170.55由转化图，可以得到转移人口的百分比状态12311.020020.040.520300.082.34由于转移概率矩阵的每一行之和必须为1，故将上表中的每一个数除以所在行之和，就可得到转移概率矩阵为：模型三：对人口各种比率预测的GM（1，1）模型由于人口总数的求解时要用到死亡率、婴儿出生率等函数，但附件中给的数据是一些离散的点，在确定这些函数时如果我们采取的是用回归分析方法来对它们进行拟合，从而得到这些函数。例如对死亡率的求解，在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大致与时间无关，于是可近似地假设死亡率＝,利用2001年—2004年这四年某个年龄段的死亡率用回归分析方法来对进行拟合，然后对2005年的死亡率进行预测，我们会发现与实际数据相比误差比较大，这是因为：附件中给的数据较少，而且这个死亡率还受其他方面的影响。鉴于此种情况，我们采用灰色预测模型来预测2001年以后是十几年几十年的各年龄段的死亡率，因为：灰色预测的特点是单数列预测，不必拼凑那些受众多因素的影响，又无法确定关系的灰色量，而是从自身的时间序列中寻找有用信息，建立和利用模型，发现和认识内在规律，并进行预测。这样我们就会得到比较多的数据，再来用这些数据来求解,，得到的,就会更加精确。我们用不同年龄段的死亡率，性别比，或女性生育率作为非负初始序列X(0)来预测未来的比率；设X(0)为非负初始序列：X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))其中≥0，k=1,2,…,n；X(1)为X(0)的1-AGO序列：X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))其中；Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列：Z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(n))其中；k=2，3，…，n。若为参数列，且，则微分方程的最小二乘估计参数列满足，则GM(1,1)白化方程的解也称时间响应函数为：5．模型的求解模型一：从2001——2005年市，镇，乡人口出生率如下：时间地区女出生率男出生率总出生率2005城0.1108670.12749710.238364镇0.08220.09590550.178106乡0.2978490.35852220.6563712004城0.10587330.1213670.22724镇0.06756720.09060150.158169乡0.29998740.37057260.670562003城0.09366210.1040690.197731镇0.07304730.08370010.156747乡0.3232050.3878460.7110512002城0.10203620.11511780.217154镇0.05771420.07026070.127975乡0.34935480.41064510.762001城0.10163890.11373870.215378镇0.06742210.07649810.14392乡0.364440.42099110.785431从2001——2005年市，镇，乡人口死亡率如下：死亡率城镇乡20050.224660.09070.403220040.117450.080170.424720030.13180.072360.405620020.121090.062570.440720010.116870.060550.416求出来的权值为：（见下表）时间20052004200320022001求和权值市0.27720.25820.26160.26160.12971.18830.2598镇0.17130.15360.15220.12550.12970.73210.1464乡0.55160.58820.58760.61290.62832.96870.5937从2001——2005年市，镇，乡人口增长率（‰）如下：时间20012002200320042005增长率8.758.277.797.386.96取迁移率为常数：0.04(说明：迁移率根据Markov模型转移矩阵求得)所以用模型一预测的中国总人口如下：（预测值、实际值的单位为：亿人）时间20012002200320042005预测值12.765812.881912.965113.052813.1235实际值12.762712.845312.922712.998813.0756绝对误差0.00310.03660.04240.0540.0479相对误差0.0002430.0028490.0032810.0041540.003663表中实际值来自《中国人口年鉴》。模型二：从2001年开始用Markov模型来预测以后市，镇，乡人口百分比的变化表如下：百分比年份市人口百分比镇人口百分比乡人口百分比20010.240.130.6320020.25590.13240.61220030.26190.14350.593620040.2680.1540.575820050.27420.16830.558420060.28060.18230.541620070.28710.19750.525320080.29380.21390.509520090.30060.23170.494220100.30760.2510.479320110.31470.27190.469620120.32210.29450.450920130.32950.31910.437320140.33720.034560.424220150.3450.037440.411420160.35310.040550.39920170.36310.43930.38720180.36970.47580.3754经过与2001年到2005年的实际值相比，相对误差很小模型三：我们以年龄77岁的死亡率为例来进行灰色预测。最后我们可以用这一个模型稍加修改去预测男性比率（女性比率），生育率等。⑴作类加生成数列考虑有变量X(0)原始序列：X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(５))　　　　　　＝(0.37200.34260.37970.38930.3691)；对作1-AGO得类加生成序列,其中，，得：X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))=(0.37200.71461.09431.48361.8527)　　；⑵对进行准光滑性检验由满足准光滑条件，本组从k>3后准光滑条件，见表１表１　　准光滑性检验K23450.9209680.5313460.3557530.248787⑶检验X(1)是否具有准指数规律　　　由可以建立GM(1,1)模型，本组数据k>3时满足准指数规律，见表2表2　　准指数规律检验K23451.9209681.5313461.355753１.248787　　　⑷确定数据矩阵B,Y对X(1)作紧邻均值生成　，（注意：一般背景值，可以将背景值改进为：），得：Z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z(1)(5))　＝(0.54330.904451.288951.66815)，　⑸对参数列＝进行最小二乘估计此组，有＝＝⑹确定微分方程模型GM(1,1)模型为一阶微分白化方程：，即：求微分方程的解，得到时间响应函数为：，　　即：　　　(k=1,2…5)。　⑺求的模拟值，并类减还原求出的模拟值,由，计算结果见表3表　3　　　模拟值的计算结果k123450.37200.35730.36570.37440.3832k6789100.39230.40150.41100.42070.43076．模型分析⑴用模型一总人口的增长预测模型来预测中短期总人数时相对误差非常小，可以非常好的预测未来全国总人口数量，预测结果如下图所示：（横轴代表1994年到2005年）：由图型可以看出预测全国总人口数随时间的递增而增大，但是可以看出人口的增长率是越来越小。因此模型一预测效果比较好，对现实有参考价值。但是发现2005年的人口预测数接近14.5亿，与现实有微小的误差，我们可以通过改进的模型把误差进一步的缩小。⑵对我国2005年人口年龄分布进行统计如下：根据第一个模型求出来的总人口数，利用第三个模型求出各个年龄段的人口比值，我们得到下面的预测结果，发现实际情况与预测结果两者之间误差较小，因此我们可以用所建的模型对我国未来人口作出比较可信的结果来。图形反映年龄分布在10-20和30-40之间的人口数比较密集，与现实情况比较相符合。⑷对我国老龄化以及未来育龄妇女人数图形化分析如下：从上面两个图形可知我国60岁以上老年人人口比率呈现递增的趋势，特别是到了2050年以后60岁以上老年人人口比率已经超过0.30，会对社会造成非常大的压力，对我们预测未来人口出生率与死亡率有很大的影响，因此有必要加以分析和预测，这正是我们的模型所希望达到的目的。而未来育龄妇女数有一个下降的趋势，这又会影响人口的出生率，使得年轻一代的人数有所下降，特别是男女婚配比例问题影响会很显著。⑸我国男女出生比例时期变化（横轴代表1994年到2005年）根据国际惯例所达到的正常比例103：100，中国的男女比例已经远远超出这个比例，希望政府采取有效措施来抑制这种上升趋势，使男女比例趋于平衡7.模型改进由于我们前面的模型主要是从中短期进行考虑，虽然吻合的比较好，但是在长期预测方面却不是很理想。当用前面的模型来对2050年的人口数量和未来老龄化趋势进行预测时，我们发现所求的结果并不能让我们满意，人口数量的连续增加，老龄化问题的逐渐日显，让我们不的不对现在的情况作出行动，在前面对人口数量的求解时发现女性的生育率对人口的增长贡献较大，再结合现实，得出：要控制人口的增长就要控制女性的生育率。如果将女性的生育率降低到某一个值时，并维持一定时间（比如10年，20年不等），那么人口数量也将会发生变化，下面我们就考虑女性的生育率对我们前面模型的影响。参考文献[1]中的年龄分组的种群增长模型来进行模型改进，我们在这里将一岁为1个年龄段，1年为1个时段，即k年i岁的，女性人数为.设生育率与年龄和时间有关，记k年i岁的女性生育率（每位女性生育率的女儿数）为，育龄区间为[]。设死亡率只与年龄有关，记i岁女性死亡率为，存活率为。进一步将分解为=，；其中为生育模式，而满足是k年所有育龄女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期所及的时间内保持生育率不变，则就是k年岁的每位女性一生平均生育的女儿数，即总和生育率（或生育胎次），是控制人口数量的主要参数。仍用x(k)表示女性人口的分布向量，为了弄清楚地表明的作用，将L矩阵作如下分解。记，则模型应表为x(k+1)=Ax(k)+Bx(k);当根据统计资料知道了人口的初始分布x(0)和存活率矩阵A，并给定了生育模式矩阵B，就可用不同的总和生育率来预测或控制未来的人口数量。结果说明：若=3，2006年将达到15亿左右。若=2，则2006年达到12.4亿，65年后达到最大值，此后略有下降。若=1，则在2005年就可以达到10.8亿，50年后降至9.7亿。8.结论模型运用一个基于人口平衡等式的模型来对中国人口的增长进行了预测，递推性的模型简单，理解起来容易，方法科学，数据量大是求解此问题的难点，然而Matlab可以从Excel中导入数据并能对多维数组进行编程运算，因此模型求解并不难，因此模型具有较高的推广价值。9.参考文献[1]姜启源，谢金星，叶俊，数学模型.北京：高等教育出版社，2003。[2]邓聚龙，灰色系统理论，武汉:华中理工大学出版社,1990。[3]伊泽明等.精通MATLAB6[M].北京：清华大学出版社，2002[4]中国人口统计年鉴.中国统计出版社，2006年12月