2019届合肥一模数学答案-理科

高三数学试（理科）答案  第1 页（共4页） 合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.16，14.115.1332，16.222433nn三、解答题：17.(本小题满分12分)(I)∵3131cos2sin2cos2sin2cos2sin222226fxxxxxxx，∴函数fx的最小正周期为T.…………………………5分(II)由13f可得1sin263.∵0,2，∴72666，.又∵110sin(2),632∴2+,,62∴22cos263，∴126cos2cos2cos2cossin2sin6666666.………………………12分18.(本小题满分12分)(I)取CD的中点M，连结EM，BM.由已知得BCD为等边三角形，∴BMCD.∵2,23ADABBD，∴30,ADBABD∴90,ADC∴//BMAD.又∵BM平面PAD，AD平面PAD，∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点，M为CD中点，∴EM∥PD.又∵EM平面PAD，PD平面PAD.∴EM∥平面PAD.∵EMBMM，∴平面BEM∥平面PAD，题号123456789101112答案DCCDADDDCCBA高三数学试题（理科）答案  第2 页（共4页） ∵BE平面BEM，∴BE∥平面PAD.…………………………5分(II)连结AC，交BD于点O，连结PO.由对称性知，O为BD中点，且ACBD，BDPO平面PBD平面ABCD,POBD，PO平面ABCD，1POAO，3CO.以O为坐标原点，OC的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则D(0，3，0)，C(3，0，0)，P(0，0，1).易知平面PBD的一个法向量为11,0,0n.设平面PCD的法向量为2nxyz，，，则DCn2,DPn2，∴0022DPnDCn.∵)0,3,3(DC，)1,3,0(DP，∴03033zyyx.令3y，得3,1zx，∴)3,3,1(2n∴1313131,cos212121nnnnnn设二面角BPDC的大小为，则13cos13.………………………12分19.(本小题满分12分)(I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x；…………………………5分(II)由题意知，39.250.8，，39.250.80.6826Pt，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间39.250.8，的人数约为100000.68266826(人)；…………………………12分20.(本小题满分12分)(I)设椭圆的半焦距为c，由椭圆的离心率为22知，2bcab，，则椭圆方程为222212xybb.易求得20A，，则点22，在椭圆上，所以222212bb，解得2263ab，所以椭圆方程为22163xy.…………………………5分(II)当过点P且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x，由（1）知，2222MN，，，，22220OMONOMON，，，，，∴OMON.当过点P且与圆O相切的切线斜率存在时，可设切线方程为ykxm，高三数学试题（理科）答案  第3 页（共4页） 1122MxyNxy，，，，则221mk，即2221mk.联立直线和椭圆的方程得2226xkxm，∴222124260kxkmxm，得122212204212621kmxxkmxxk.∵1122OMxyONxy，，，，∴12121212OMONxxyyxxkxmkxm22222121222264112121mkmkxxkmxxmkkmmkk2222222222222126421322663660212121kmkmmkkkmkkkk，∴OMON.综上所述，圆O上任意点P处的切线交椭圆C于点MN，，都有OMON.在RtOMN中，由OMP与NOP相似，可得22OPPMPN为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(I)易知1x，且11xfxex.令11xhxex，则2101xhxex，∴函数11xhxex在1x，上单调递增，且000hf.可知，当10x，时，0hxfx，ln1xfxex单调递减；当0x，时，0hxfx，ln1xfxex单调递增.∴函数fx的单调递减区间是10，，单调递增区间是0，.……………………5分(II)∵ln1xgxfxaxexax，∴gxfxa.由(I)知，gx在1x，上单调递增，当1x时，gx；当x时，gx，则0gx有唯一解0x.可知，当01xx，时，0gx，ln1xgxexax单调递减；当0xx，时，0gx，ln1xgxexax单调递增，∴函数gx在0xx处取得极小值0000ln1xgxexax，且0x满足0011xeax.∴0000011ln111xgxxexx.高三数学试题（理科）答案  第4 页（共4页） max23S2312令11ln111xxxexx，则211xxxex.可知，当10x，时，0x，x单调递增；当0x，时，0x，x单调递减，∴max01x.∴函数gx极小值的最大值为1.…………………………12分22.(本小题满分10分)(I)221:1Cxy，2:=2cosC，则2=2cos，∴222xyx.联立方程组得222212xyxyx，解得111232xy，221232xy，∴所求交点的坐标为1322，，1322，.………………………5分(II)设B，，则=2cos,∴AOB的面积11sin4sin4cossin2233SOAOBAOB2cos236，∴当时，………………………10分23.(本小题满分10分)(I)22fxx，即1>22xx10101>221>22xxxxxx或13x∴实数x的取值范围是13，.………………………5分(II)∵1a，∴11a，(1)211(1)1112axxgxaxxaaxxa，，-，，，，，易知函数gx在1xa，时单调递减，在1xa，时单调递增，则min111gxgaa.∴1112a，解得2a.…………………………10分