1
第十四章 静不定问题
题号 页码
14-1 ................................................................................................................................................................1
14-2 ................................................................................................................................................................2
14-3 ................................................................................................................................................................4
14-4 ................................................................................................................................................................7
14-5 ................................................................................................................................................................9
14-7 ..............................................................................................................................................................10
14-8 ..............................................................................................................................................................12
14-10 ............................................................................................................................................................14
14-11 ............................................................................................................................................................15
14-12 ............................................................................................................................................................17
14-13 ............................................................................................................................................................19
14-14 ............................................................................................................................................................21
14-15 ............................................................................................................................................................22
14-16 ............................................................................................................................................................27
14-18 ............................................................................................................................................................28
14-20 ............................................................................................................................................................29
14-21 ............................................................................................................................................................31
( 也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
14-1 试判断图示各结构的静不定度。
2
题 14-1图
解:(a)在平面受力时,一个封闭框有三个多余约束,此问题又多一个外约束,故为四度静不
定。
(b)若无中间铰,两边的刚架分开,二者均为静定刚架。安此中间铰,使相连处在 x、y两个
方向的相对位移均受到约束,故为二度静不定。
另一种分析方法是搭结构法,以左边的静定刚架为基础,搭上右边的刚架需要加三个约束,中
间铰已提供了两个,右下端只需再加一个约束就可以了,可现在加了三个约束(固定端),故为二
度静不定。
(c)在平面受力时,一个圆环有三个多余约束,安一个中间铰,减少一个约束,现安有两个
中间铰,故为一度静不定。
(d)在平面受力时,一个封闭框有三个多余约束,此框在左上角和右下角各有一个中间铰,
减去两个约束,故为一度静不定。
14-2 图示各刚架,弯曲刚度 EI均为常数。试求支反力,并画弯矩图。
题 14-2图
(a)解:法 1,常规解法
3
此为一度静不定问题。
如图 14-2a(1)所示,解除 B处水平约束,代以多余反力 FBx 。
图 14-2a
由∑ = 0AM ,得
BxBy Fl
M
F −= e
据图(1)与图(2),列弯矩方程如下:
( ) 1e1 xFl
MxM Bx
−= , ( ) lFxFxM BxBx −= 22
( ) 11 xxM −= , ( ) lxxM −= 22
将其代入
( ) ( ) += ∫ 111 0 d 1 xxMxMEI∆ lBx ( ) ( ) 222 0 d 1 xxMxMEI l∫
并利用协调条件 0=Bx∆ ,可得
l
M
FBx 2
e= (←)
依据平衡条件,进而可得
l
M
FBy 2
e= (↑),
l
M
FAx 2
e= (→),
l
M
FAy 2
e= (↓),
4
法 2,利用反对称性求解
见图(3),可直接得到合支反力 F,
l
MF
2
e=
将其分解,所得结果与法 1完全相同。
弯矩图如图(4)所示。
(b)解:此为一度静不定问题。
载荷状态及单位状态如图 14-2b所示。
图 14-2b
弯矩方程为
( ) 22211 2)( , x
qlFxMxFxM BxBx −==
( ) 11 xxM = , ( ) lxM =2
将其代入
( ) ( ) += ∫ 111 0 d1 xxMx MEI∆ lBx ( ) ( ) 222 0 d1 xxMxMEI l∫
积分后,得
−=
63
41 43 qllF
EI
∆ BxBx
代入协调条件
0=Bx∆
得
8
qlFBx =
弯矩图如图(3)所示。
14-3 图示圆弧形小曲率杆,弯曲刚度 EI 为常数。试求支反力。对于题(b),并计算截面
5
A的水平位移。
题 14-3图
(a)解:此为一度静不定问题。
由对称性可得
2
FFF CyBy == (↑)
又由于对称性(θA=0),求ΔCx的载荷状态及单位状态可示如图 14-3a。
图 14-3a
弯矩方程为
( ) ( )ϕϕϕ cos1
2
sin −−= RFRFM Cx
( ) ϕϕ sinRM =
将其代入
=Cx∆ ( ) ( )∫ 2π 0 d1 ϕϕϕ RMMEI
积分后,得
=Cx∆
−
44
π3 FF
EI
R
Cx
代入协调条件
0=Cx∆
得
6
π
FFCx = (←)
进而求得
π
FFBx = (→)
(b)解:此为一度静不定问题。
求 Ay∆ 的载荷状态及单位状态可示如图 14-3b。
图 14-3b
弯矩方程为
( ) ϕϕ sine RFMM Ay−=
( ) ϕϕ sinRM −=
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕ d1 2
π
0
RMM
EI
∆Ay ∫=
积分后,得
−= e
2
4
π MRF
EI
R∆ AyAy
代入协调条件
0=AyΔ
得
7
R
MFAy π
4 e= (↑)
进而求得
0=BxF , R
MFBy π
4 e= (↓), eπ
π4 MM B
−= (3)
求 Ax∆ 的载荷状态及单位状态示如图(3)和(4)。
弯矩方程为
( ) ϕϕ sinπ
4 e
e
MMM −=
( ) ( )ϕϕ cos1−= RM
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕ d1 2
π
0
RMM
EI
∆Ax ∫=
积分后,得到
EI
RM
EI
RM∆Ax
2
e
2
e
2
0658.0π2
)4π2π( −=−−= (←)
14-4 图示桁架,各杆各截面的拉压刚度均为 EA。试求杆 BC的轴力。
题 14-4图
解:此为一度静不定问题。
求 '/ ee∆ 的载荷状态及单位状态如图 14-4a和 b所示。
8
图 14-4
求切口处相对位移 '/ ee∆ 的过程列于下表:
i il iF N iFN iii lFF NN
1 a
2
1−
2
5NF−
2
N5aF
2 a
2
1−
2
5NFF −
2
)( N5 aFF −
3 a
2
1−
2
5NFF −
2
)( N5 aFF −
4 a
2
1−
2
5NF−
2
N5aF
5 a2 1 N5F aF 5N2
∑ ( ) FaaF −+ 5N22
由此得
'/ ee∆
( )
EA
FaaF
EA
lFF ii
i
i −+==
∑
= 5N
N
5
1
N
22
代入协调条件
'/ ee∆ 0=
得到
FFF BC 2
22
5NN
−==
9
14-5 图示小曲率圆环,承受载荷 F作用。试求截面 A与 C的弯矩以及截面 A与 B的相
对线位移。设弯曲刚度 EI为常数。
题 14-5图
解:1.求 AM 和 CM
此为三度静不定问题。有双对称性可利用。
由对称条件可得(图 14-5a)
2NN
FFF DC ==
图 14-5
由双对称性可知,
0=Cθ , 0=Aθ
据此可方便地求出 CM 。求 Cθ 的载荷状态及单位状态示如图 b和 c。
弯矩方程为
( ) ( )ϕϕ cos1
2
−+= RFMM C
10
( ) 1=ϕM
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕθ d1 2
π
0
RMM
EIC ∫=
积分后,代入协调条件
0=Cθ
可得
FRM C π2
2π −−=
进而可求得
π
FRM A =
2.求 BA∆ /
令原题图中的 F=1,即为求 BA∆ / 的单位状态。
依据图 a,可以写出弯矩方程如下:
( ) ( )ϕϕ cos1
2π2
2π −+−−= RFFRM
( ) =ϕM ( )ϕcos1
2π2
2π −+−− RR
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕ d4 2
π
0
/ RMMEI
∆ BA ∫=
积分后,得到
EI
FR
EI
FR∆ BA
332
/ 1488.0π4
)8π( =−= (← →)
14-7 试画图示刚架的弯矩图。设弯曲刚度 EI为常数。
11
题 14-7图
(a)解:此为二度静不定问题。有对称性可利用。
如图 14-7a 所示,由于 C 处有铰,所以 0=CM ;又由于 C 处在对称位置,故知其 0S =F 。
铰 C 左右两边各受切向载荷 F/2。相当系统(取左边一半)如图(1)所示,待求未知力仅有 FNC
一个。
图 14-7a
求截面 C的水平位移 Cx∆ ,并根据对称条件,有
0=Cx∆
由此得到
FF C 8
3
N = (→)
弯矩图如图(2)所示,其最大弯矩为
4
|| max
FlM =
(b)解:此为三度静不定问题。有反对称性可利用。
在结构对称面 C处假想切开,由于反对称,故有
0N =CF , 0=CM
12
待求未知内力仅有 FSC一个。
求 Cy∆ 的载荷状态及单位状态如图 14-7b所示。
图 14-7b
弯矩方程为
( ) 1S1 xFxM C= , ( ) 2S2 22 x
qllFxM C −=
( ) 11 xxM = , ( ) 22
lxM =
将其代入
( ) ( ) += ∫ 1112 0 d1 xxMxMEI∆
l
Cy ( ) ( ) 222
0
d1 xxMxM
EI
l∫
积分后,得
EI
qllF
∆ CCy 24
37 43S −=
代入协调条件
0=Cy∆
得
qlF C 7
3
S = (↑)
弯矩图如图(3)所示,其最大弯矩为
7
2
||
2
max
qlM =
14-8 试画图示各刚架的弯矩图,并计算截面 A与 B沿 AB连线方向的相对线位移。设弯
曲刚度 EI为常数。
13
题 14-8图
提示:本题 a~d 均为三度静不定问题。其中,a 与 b 均为双对称问题。对称面上 0S =F ,FN
可由静力平衡条件求出,只剩下一个未知内力待求,依据协调条件(切口两边相对转角为零)即可
求出。c与 d均为双反对称问题,结构对称面上只有 SF 待求,而且可由静力平衡条件求出。
由于问题比较简单,这里拟直接给出结果。
(a)
12
2
max
qlM = ,
EI
ql∆ BA 64
4
/ = (← →)
(b)
8max
FlM = ,
EI
Fl∆ BA 96
3
/ = (← →)
(c)
2max
FlM = , 0/ =BAΔ
(d)
4
2
max
qlM = , 0/ =BAΔ
14
弯矩图见图 14-8。
图 14-8
14-10 图示小曲率圆环,承受载荷 F作用。试计算支反力。设弯曲刚度 EI为常数。
题 14-10图
解:此为四度静不定问题。有双对称条件可以利用。
若圆环无左右刚壁约束,由题 14-5之解可得
2NN
FFF DC −== (负号代表压力)
FRMM DC π2
2π −== , π
FRMM BA −==
由 F引起的 CD ′∆ 可根据图 14-10a和 b来算。
15
图 14-10
弯矩方程为
( ) ( )ϕϕ cos1
2π2
2π −−−= RFFRM
( ) ϕϕ sinRM −=
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕ∆ d2 2
π
0
/ RMMEIDC ∫=′
积分后,得
EI
FR
DC π2
)π4(
3
/
−=′∆ (← →)
设 C与 D处的水平反力为 Fx,根据题 14-5所得的ΔA/B,这里有 Fx引起的 DC / ′′∆ ,
EI
RFx
DC
32
/ 4
)8π( π∆
−−=′′ (→ ←)
代入协调条件
0/// =+= DCDCDC ∆''∆'∆
最后得
FFx 8π
π28
2 −
−= (→ ←)
B处支反力为
FFBy = (↑)
14-11 图示桁架,承受载荷 F = 80kN 作用,各杆各截面的拉压刚度均为 EA。试求杆
BC的角位移。
16
题 14-11图
(a)解:此为一度静不定问题。由图 14-11a(1)可知,因为反对称,所以有
02N =F
又据图(2)可得
FF −=3N (压), FF 25N =
图 14-11a
求 BCθ 的载荷状态及单位状态可简画如图(2)和(3)。计算过程归纳如下表:
i il iF N iFN iii lFF NN
3 a
a
1− F− F
5 a2 a2
1 F2 F2
∑ ( )F21+
于是得
17
EA
F
EA
lFF iii
BC
)21(NN +=∑=θ (3)
(b)解:此为一度静不定问题。由图 14-11b(1)可知,由于反对称,故有
02N =F
进而可得
,1N FF = FF −=3N (压)
图 14-11b
求 BCθ 的载荷状态及单位状态如图(1)和(2)所示,杆 2均视为被切断。计算过程归纳如下
表:
i il iF N iFN iii lFF NN
1 2a
a32
1 F
3
F
3 2a
a3
1− –F
3
2F
∑ F3
于是得
EA
F
EA
lFF iii
BC
3NN =∑=θ (3)
14-12 图示结构(均为小曲率圆杆),弯曲刚度 EI为常数。试计算截面 A与 B沿 AB连
线方向的相对线位移。
18
题 14-12图
(a)解:此为一度静不定问题。有双对称条件可以利用。
取上半部分来分析,受力如图 14-12a所示。此即为求 BAΔ / 的载荷状态,将F换成 1,即为求 BAΔ /
的单位状态。
图 14-12a
取ϕ如图(这样取计算较方便),弯矩方程为
( )
−= ϕϕ sin
2
1
2
FRM
( )
−= ϕϕ sin
2
1
2
RM
将其代入
( ) ( ) ϕϕϕ d4 6
π
0
/ RMMEI
∆ BA ∫=
积分后,得
( )
EI
FR
EI
FR∆ BA
33
/ 0422.08
833 =−+= π
(b)解:此为三度静不定问题。有反对称条件可以利用。
19
先求内力。取相当系统如图 14-12b(1),另二内力均为零,图中未画。
图 14-12b
求 '/ AAΔ 的载荷状态及单位状态示如图(1)和(2)。弯矩方程为
( ) ( ) ϕϕϕϕ sinsin S2 RFqRM A−−=
( ) ϕϕ sinRM −=
将其代入
'/ AAΔ = ( ) ( ) ϕϕϕ d2 π0 RMMEI ∫
积分后,代入协调条件 '/ AAΔ =0,可得
qRF A =S
求 BAΔ / 的载荷状态及单位状态如图(1)和(3)所示。
由于 )(ϕM 左右异号,而 )(ϕM 左右同号,不难判断,二者相乘后的积分值必为零,即
0/ =BA∆
14-13 图示两端固定杆,如果温度升高 T,试计算杆内的最大正应力。材料的弹性模量
为 E,线膨胀系数为 lα ,截面宽度不变。
题 14-13图
解:此为三度静不定问题。有对称条件可以利用。
20
1.求对称面 C上的内力
载荷状态、求 CxΔ 的单位状态及求 Cθ 的单位状态分别示如图 14-13a,b和 c。
图 14-13
求 Cx∆ 的内力方程为
( ) CFxF N1N = , ( ) CFxF N2N =
( ) 11N =xF , ( ) 12N =xF
( )
4N1
hFMxM CC −= , ( ) CMxM =2
( )
41
hxM −= , ( ) 02 =xM
将其代入
( ) ( ) 111
0 1
2
1
NN d1 xxMxM
EIEA
lFF∆
l
i i
iii
Cx ∫∑ +=
=
算得
TlM
Eh
lF
Eh
l
lCCCx α∆ 2
33
4
11
3N2 =−= (1)
求 Cθ 的内力方程为
( )
4N1
hFMxM CC −= , ( ) CMxM =2
( ) 11 =xM , ( ) 12 =xM
将其代入
222
2
0 2
111
0 1
)d()(1)d()(1 xxMxM
EI
xxMxM
EI
ll
C ∫∫ +=θ
积分后,得
21
048
4
12
4
N
4 =+
−= CCCC MEh
lhFM
Eh
lθ (2)
联解方程(1)与(2),得
2
N
3
26
15 ,
104
3 TEhFTEhM lClC αα ==
2.求杆内的最大正应力
最大正应力存在于该杆中段,其值为
TETE
h
F
hh
M
ll
CC αασ 846.1
13
15
13
92
2
6
2
N
2max =
+=+
=
14-14 图示小曲率圆环,承受矩为Me的力偶作用,试计算截面 A与 B间的相对转角。
已知圆环的平均半径为 R,横截面的直径为 d,弹性模量为 E,切变模量为 G。
题 14-14图
解:此为六度静不定问题。有双对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。
设竖向直径两端截面为 C和 D,由于 C为对称截面,故有反对称内力素为零,即
0SS === CzCyC TFF
又由于这是平面-空间问题(即平面结构、外载荷均垂直于结构平面的问题),故有结构平面内的内
力素为零,即
0N == zCC MF
由此可知,截面 C(或 D)待求未知内力只剩下 yCM (或 yDM )一个(见图 14-14a)。
22
图 14-14
由于双对称,故有
yDyC MM =
由图 a可得
2
eMMM yDyC ==
由于双对称,求 BAϕ 的载荷状态及单位状态可示如图 b和 c。
内力方程为
αααα
αααα
sin)( ,cos)(
sin
2
)( ,cos
2
)( ee
==
==
MT
MMMT
将其代入
ααααααϕ d)()(2d)()(2 2
π
0
2
π
0 p
RMM
EI
RTT
GIBA ∫∫ +=
积分后,得截面 A与 B之间的相对转角为
)21(8)1
2
1(
4
π
4
ee
EGd
RM
EGI
RM
BA +=+=ϕ
14-15 图示等截面刚架,横截面为圆形,材料的弹性模量为 E,泊松比为 3.0=µ 。试画
刚架的弯矩图与扭矩图。
23
题 14-15图
(a)解:此为六度静不定问题。有对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。
如图 14-15a(1)所示,在对称截面 C处“切开”,有
0SS === CzCxC TFF
由于是平面-空间问题,故有
0N == zCC MF
至此,待求的未知内力只剩下 xCM 。
图 14-15a
变形协调条件为
0' =CCxθ
24
求 'CCxθ 的载荷状态及单位状态示如图(1)和(2)。内力方程为
( ) ( ) 22211 2 , 2 a
qM xTxqMxM xCxCx −=−=
( ) ( ) 1 ,1 21 == xT xM x
由于 ( ) 02 =xM ,故 ( )2xM 也可省写。
将内力方程代入
222
0 p
111
0
' )d()(
1)d()(1 xxTxT
GI
xxMxM
EI
a
x
a
x
x
CCx ∫∫ +=θ
积分后,得
( ) 0
2
11
6
2
2
' =
+−++−= qaMqaM
EI
a
xCxC
x
CCx
µµθ
注意到µ =0.3 ,故有
2355.0 qaM xC =
上述计算中用到
( ) ( ) µµ +=+= 1212p xx
EI
IEGI
xCM 求出后,可画内力图了。该刚架的弯矩图和扭矩图如图(3)和(4)所示,其中,
,2
max
qaM = 2max 145.0 qaT =
(b)解:法 1,解除多余外约束
此为六度静不定问题。有对称条件及平面-空间问题的规律可以利用。
此静不定刚架的相当系统如图 14-15b(1)所示。A端解除多余约束后,由于对称性(关于 o45
铅垂面对称),可得
2S
FF zA = (↑)
由于是平面-空间问题,故有
0SN === zAyAA MFF
25
实际上,待求的未知多余反力只剩下 yAM 和 AT 。
图 14-15b
求 yAθ 和 Aϕ 的单位状态示如图(2)和(3)。
内力方程为
( ) 11 2 x
FMxM yAy −= , ( ) ATxT =1
( ) 11 =xM y , ( ) 11 =xT
( ) aFMxT yA 22 −= , ( ) 22 2 x
FTxM Ax −=
( ) 12 =xT , ( ) 12 =xM x
将其代入
222
0 p
111
0
)d()( 1)d()( 1 xxTxT
GI
xxMxM
EI
a
y
a
yyA ∫∫ +=θ
26
及
222
0
111
0 p
)d()(1)d()(1 xxMxM
EI
xxTxT
GI x
a
x
a
A ∫∫ +=ϕ
完成积分,并代入协调条件
0 ,0 == AyA ϕθ
得方程
( ) 0
2
1
4
=
−++
− FaM
EI
aFaM
EI
a
yAyA
µ
及
0
4
)1( =
−++ FaT
EI
a
EI
aT
A
Aµ
依次解得
FaFaTFaFaM AyA 1087.046
5 ,391.0
23
9 ====
刚架的弯矩图和扭矩图示如图(4)和(5)。
法 2,解除多余内约束
此题亦可在对称面处切开(解除多余内约束),从而得到原静不定刚架的相当系统,如图 13-15b
(6)所示。由平面-空间问题的规律可知,被切截面上只有一种内力偶矩 M 存在,其矢量是沿铅
垂对称面与刚架平面的交线方向(45°方向)的。
取杆段 AB来分析,将内力偶矩分解(按矢量分解容易看清楚)为弯矩 0M 和扭矩 T(见图 7),
易知二者的大小相等,即
o45cos0 MTM == (a)
由对称性可知,变形协调条件为
045cos45cos
45
=+= ooo BBB ϕθθ (b)
式中, o45Bθ 为 B处对称截面的总转角, Bθ 为 B处横截面由弯矩产生的转角, Bϕ 为 B处横截面由
扭矩产生的扭转角。
用单位载荷法不难求出 Bθ 和 Bϕ ,其值分别为
27
−= 20 4
1 aFaM
EIB
θ (c)
和
EI
Ta
GI
Ta
B
)1(
p
µϕ +== (d)
将式(c)和(d)代入式(b),并注意到式(a),得
( )
( ) 01
4
1
2
2
2
2
02
0
45
=
++
−=
+=
EI
aMaFaM
EI
BBB
µ
ϕθθ o
由此得
( ) FaM
4
12 0 =+ µ
即
( ) FaFa
FaTM 1087.0
46
5
240
==+== µ
可见,法 2所得结果与法 1的结果是一致的,弯矩图同图(4),扭矩图同图(5)。
14-16 图示小曲率圆环,一重量为 P 的物体自高度 h 处自由下落。试计算圆环内的最
大正应力。已知圆环的平均半径为 R,横截面的直径为 d,弹性模量为 E,切变模量为 G,圆环的
质量与物体的变形忽略不计。
题 14-16图
解:此为三度静不定问题。
28
1.求被冲击点的静位移 st∆
由题 13-5之解可知,
st∆ =
( )
4
3332
03.31488.0π4
8π
Ed
PR
EI
PR
EI
PR ==− (↓)
2.求最大冲击载荷 dF
++=
st
d
211 Δ
hPF
3.计算圆环内的最大正应力 maxσ
由题 13-5之解还可知,
max
M 发生在冲击载荷作用处(及铅垂直径下端)截面上,其值为
max
M = RF
RF
d
d 318.0π =
由此得
maxσ =
++=
st
3
max 21124.3
∆
h
d
PR
W
M
4.检查
在水平直径两端的截面上,受 M、FN联合作用,检查其正应力,其值小于以上所算结果;对
任意截面求 ( )ϕσ ,进而求极值,未发现有新的极大值。
14-18 图示阶梯形梁,I1 =2I2 = I。试用三弯矩方程求解并画弯矩图。
题 14-18图
解:此为二度静不定问题。
原静不定梁的相当系统示如图 14-18a,待求的未知支点弯矩有 0M (即 AM )和 1M (即 BM )。
29
图 14-18
在图 a中,有
llllMMM =====− 210e21 ,0 , ,0
0 ;
2
, 21021 ===== ωωωIIII
对于支座 0,得三弯矩方程
0
2
1
1
1
0 =+
I
lM
I
lM
(a)
对于支座 1,得三弯矩方程
0112
2
e
21
1
1
0 =+
++
I
lM
II
lM
I
lM
(b)
方程(a)与(b)化简后联立求解,得
BMMMMM =−== e1e0 11
4 ,
11
2
进而求得支反力为
l
M
FyA 11
6 e= (↓), e11
2 MM A = (3),
l
M
FyB 11
21 e= (↑),
l
M
FyC 11
15 e= (↓)
该梁的弯矩图如图 14-18b所示。
14-20 试用三弯矩方程求图示梁的支反力。弯曲刚度 EI为常数。
30
题 14-20图
解:此为三度静不定问题。
原静不定梁的相当系统如图 14-20a所示。AB段载荷弯矩图示如图 b。
图 14-20
对于支座 A,有
0 , , ,0 11321 ==== aMMMMM BA ω
4
0
2
0
2
0
22 360
7
326546
lqll
lqlllqb −=⋅⋅−⋅⋅=ω
由此得三弯矩方程
( )
−×−=
+
+ 40360
7602 lq
IlI
lM
I
lM BA
或
2
060
72 lqMM BA =+ (a)
对于支座 B,有
0 , , 321 === MMMMM BA
4
0
2
0
2
0
11 45
1
3
2
265
4
46
lqll
lqlllqa −=⋅⋅−⋅⋅=ω
022 =bω
由此得三弯矩方程
( )
−×−=
++
4
045
1602 lq
lII
lM
I
lM BA
或
31
2015
22 lqMM BA =+ (b)
联解方程(a)与(b),得
2
030
1 lqM A = (3), 2020
1 lqM B = (4)
进而可求得
lqFyA 020
3= (↓), lqFyB 020
7= (↓)
14-21 图示梁,支座 B沉陷δ ,试用三弯矩方程求支反力并画弯矩图。弯曲刚度 EI为
常数。
题 14-21图
解:此为二度静不定问题。
原静不定梁的相当系统如图 14-21a所示。
图 14-21
对于支座 B,有
lllMMMMM CB ===== 21210 ; , ,0
l
''
l
'III δαδα =−=== 1121 , ;
得相应三弯矩方程
−−=+
l
EIlMlM CB
δ264 (a)
对于支座 C,有
32
0 , ;0 , , 32321 ===== lllMMMMM CB
0 , ; , 2232 =′′=′∞== αδα lIII
由此得得三弯矩方程
−=+
l
EIlMlM CB
δ62 (b)
将方程(a)与(b)联立求解,得
27
30
l
EIM B
δ= , 27
36
l
EIM C
δ−=
进而可求得
37
30
l
EIFyA
δ= (↑), 37
96
l
EIFyB
δ= (↓), 37
66
l
EIFyC
δ= (↑)
该梁的弯矩图如图 14-21b所示。
14-1
14-2
14-3
14-4
14-5
14-7
14-8
14-10
14-11
14-12
14-13
14-14
14-15
14-16
14-18
14-20
14-21